- •Определение вероятности.
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •Формула полной вероятности и формула Байеса.
- •Формулы Бернулли и Пуассона.
- •Закон распределения вероятностей.
- •6. Математическое ожидание и дисперсия.
- •7. Функция распределения и плотность вероятности.
- •8. Равномерное распределение.
- •9. Эмпирическая функция распределения.
- •Определения
- •13.Проверка нулевой гипотезы.
-
Формулы Бернулли и Пуассона.
Формула Бернулли удобна для вычислений лишь при сравнительно небольшом числе испытаний n. При больших значениях n пользоваться этой формулой неудобно. Чаще всего в этих случаях используют формулу Пуассона. Эта формула определяется теоремой Пуассона.
Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность наступления события A ровно m раз приближенно равна Pn(m) = , где .
Доказательство. Пусть даны вероятность наступления события A в одном испытании p и число независимых испытаний n. Обозначим . Откуда p = . Подставим это выражение в формулу Бернулли:
Pn(m) = ()m(1 – )n-m = m\ nm (1 -)n(1 – )-m = m\m! * (n - 1)\ n * (n - 2)\n * (n – m +1)\n * (1 – )n (1 – )-m = m\ m! (1 –1\n) (1 – 2\n) … (1 – (m-1)\n) (1 – )n (1 – )-m.
При достаточно большом !!n,, и сравнительно небольшом !!m,, все скобки, за исключением предпоследней, можно принять равными единице, т.е.
Pn(m) = m\ m! (1 – )n.
Учитывая то, что n достаточно велико, правую часть этого выражения можно рассмотреть при n , т.е. найти предел n = .
Тогда получим Pn(m) = m\m! * .
-
Закон распределения вероятностей.
Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.
Определение. Пусть задано вероятностное пространство (), и на нём определена случайная величина X : . В частности, по определению, X является измеримым отображением измеримого пространства () в измеримое пространство (R, ), где обозначает борелевскую сигма-алгебру на R. Тогда случайная величина X индуцирует вероятностную меру Px на R следующим образом:
Px(B) = P(X-1(B)), .
Мера Px называется распределением случайной величины X. Иными словами, Px(B) = P(X), таким образом Px(B) задаёт вероятность того, что случайная величина попадает во множество B.
6. Математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины x обозначается Mx .
Математическое ожидание дискретной случайной величины x , имеющей распределение
x1 |
x2 |
... |
xn |
p1 |
p2 |
... |
pn |
называется величина , если число значений случайной величины конечно.
Если число значений случайной величины счетно, то . При этом, если ряд в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей px (x) вычисляется по формуле . При этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.
Если случайная величина h является функцией случайной величины x , h = f(x), то
.
Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:
, .
Основные свойства математического ожидания:
-
математическое ожидание константы равно этой константе, Mc=c ;
-
математическое ожидание - линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x , h и произвольных постоянных a и b справедливо: M(ax + bh ) = a M(x )+ b M(h );
-
математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(x h ) = M(x )M(h ).
Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.
Если случайная величина x имеет математическое ожидание Mx , то дисперсией случайной величины x называется величина Dx = M(x - Mx )2.
Легко показать, что Dx = M(x - Mx )2= Mx 2 - M(x )2.
Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mx 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам
, .
Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение , связанное с дисперсией соотношением .
Основные свойства дисперсии:
-
дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx 0;
-
дисперсия константы равна нулю, Dc=0;
-
для произвольной константы D(cx ) = c2D(x );
-
дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x ± h ) = D(x ) + D (h ).