7. Функция распределения и плотность вероятности.

Плотность вероятности — один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве . В случае когда вероятностная мера является распределением случайной величины, говорят о плотности случайной величины.

Пусть является вероятностной мерой на , то есть определено вероятностное пространство , где обозначает борелевскую σ-алгебру на . Пусть обозначает меру Лебега на .

Определение 1. Вероятность называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) (), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность ноль:

Если вероятность абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция такая, что

,

где использовано общепринятое сокращение , и интеграл понимается в смысле Лебега.

Определение 2. В более общем виде, пусть — произвольное измеримое пространство, а и — две меры на этом пространстве. Если найдется неотрицательная , позволяющая выразить меру через меру в виде

то такую функцию называют плотностью меры по мере , или производной Радона-Никодима меры относительно меры , и обозначают

.

Свойства плотности вероятности

• Плотность вероятности определена почти всюду. Если является плотностью вероятности и почти всюду относительно меры Лебега, то и функция также является плотностью вероятности .

• Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:

.

Обратно, если — неотрицательная п.в. функция, такая что , то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера на такая, что является её плотностью.

• Замена меры в интеграле Лебега:

,

где любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры .

Плотность случайной величины

Пусть определено произвольное вероятностное пространство , и случайная величина (или случайный вектор). индуцирует вероятностную меру на , называемую распределением случайной величины .

Определение 3. Если распределение абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то его плотность называется плотностью случайной величины . Сама случайная величина называется абсолютно непрерывной.

Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:

Функция распределения плотности вероятностей и ее свойства.

Из формулы P{Α ≤ X < Β}=F(Β)-F(Α)следует, что вероятность попадания случайной величины в заданный интервал определяется скоростью изменения функции распределения вероятностей на этом интервале. Скорость изменения непрерывной функции равна ее производной. Это позволяет ввести новую функцию для задания случайной величины. Рассмотрим снова вероятность попадания случайной величины в интервал [x,x+Δx]:

P{x≤X<x+Δx}=F(x+Δx)-F(x).

Пусть Х - непрерывная случайная величина. Тогда для малых значений Δx эта вероятность будет также достаточно малой. Поделим ее на Δx и перейдем к пределу при Δx →0:

lim_{Δx →0}(P{x≤X<x+Δx}/Δx)=lim_{Δx →0}(F(x+Δx)-F(x))/Δx).

Если это предел существует, то он равен производной от функции распределения F(x):

 lim_{Δx →0}(F(x+Δx)-F(x))/Δx)=F'(x)=f(x).

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины Х. Из определения следует, что при малых значениях Δx справедливо равенство:

 P{x≤X<x+Δx}≈f(x)*Δx

Рассмотрим свойства плотности распределения f(x).

1. Всегда f(x)≥0, так как функция F(x) является неубывающей функцией.

2 Для функции распределения F(x) справедливо равенство:

F(x)=_-∞∫^xf(t)dt.

Действительно, так как по определению f(x)=F'(x), то F(x) является первообразной функцией по отношению к плотности распределения f(x). Следовательно,

 _-∞∫^∞f(t)dt=F(t)_-∞ι^x=F(x)-F(-∞)=F(x)-0=F(x.)

3. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [Α ; Β] равна:

P{Α≤X<Β}=_Α∫^βf(t)dt.

Действительно, в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница этот определенный интеграл равен F(Β)-F(Α). По 3-му свойству функции распределения вероятностей эта разность и представляет собой вероятность P{Α≤X<Β} .

4. Интеграл от плотности распределения вероятности по всей области задания случайной величины равен единице:

 _-∞∫^∞f(t)dt=1 .

Равенство _-∞∫^∞f(t)dt=1 представляет условие нормировки вероятностей для непрерывных случайных величин. По смыслу данный интеграл есть не что иное, как F(∞)=1. Условие нормировки вероятностей часто используется для определения неизвестного параметра закона распределения.

Для иллюстрации геометрического смысла перечисленных свойств приведем пример графика плотности распределения вероятностей. Для большей наглядности на рис. представлен также график соответствующей функции распределения вероятностей.

Вся кривая плотности распределения вероятностей располагается выше оси 0Х (свойство1), причем максимум плотности достигается в точке х=а, в которой функция распределения вероятностей имеет наибольшую крутизну. Вероятность попадания случайной величины в интервал [Α ; Β] численно равна площади криволинейной трапеции, построенной на этом интервале как на основании и ограниченной сверху графиком плотности распределения (заштрихованная на рисунке область). Площадь всей криволинейной трапеции, заключенной между осью 0Х и графиком плотности распределения, всегда равна единице. Любая функция, удовлетворяющая перечисленным выше свойствам, может быть плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины.