Вища Математика для Економістів

б) 2 y xy 1 x e x y2,

y 0 2.

2

2x

2x

2x

в)

3x2

cos

dx

cos

dy 0.

y

y

2

y

y

Завдання 3. Розв’язати рівняння:

	1. а) y				2x		y 2x.
				x2 1
	б)	y 32sin3 y cosy,
		y 1 2,						y 1 4.
	в)	yIV 2y y 12x2 6x.
	г)	y 2y 3y 8x 14 e x .
	д)	y 4y 8y ex 3sin x 4cos x .
	е) y 3y 2sh3x.
	є)	y y ex				2 ex ,
		y 0 ln27,						y 0 1 ln9.
	3. а) y x ln x					y .
	б)	y 50sin3 y cosy,
		y 1 2,						y 1 5.
	в)	yIV 3y 3y y x 3.
	г)	y 5y 7y 3y 16x 20 ex .
	д)	y 4y 8y ex sin x 2cos x .
	е) y 5y 50ch5x.
	є)	y 3y 2y ex 1 e x ,
		y 0 0,					y 0 0.
	5. а) 2xy
					y .

	2. а)y
							tg 5x 5y .
	б)	y 8siny cos3 y 0,
		y 0 0,						y 0 2.
	в)	y y 6x 5.
	г)	y 4y 4y 9x 15 ex .
	д)	y 2y 5y cos x.
	е)	y 16y 16cos 4x 16e4x .
	є)	y y 1 sin x ,
			y 2 1,						y 2 2.
	4. а) x4y x3y 4.
				3		25		0,
	б)	y y
			y 2 5,					y 2 1.
	в)	yIV				y x.
	г)	y 2y 3y 8x 6 ex .
	д)	y 2y 5y 2sin x.
	е)y				81y
		9sin9x 3cos9x 162e9x .
	є)	y 4y 4 cos2x ,
			y 0 2,					y 0 0.
	6. а) y ctg 2x								2y 0.

481

y 18sin3 y cosy,

б)	y 1 2,			y 1 3.
в) y 4y 32 384x2.
г)	y y 5y 3y 8x 4 ex .
д)	y 4y 4y e2x sin6x.
е)	y 4y 24e2x 4cos 2x 8sin2x.
є)	y 9y 9 cos 3x ,
	y 0 1,		y 0 0.
7. а) tg x y
			2y .
б)	y 50siny cos3 y 0,
	y 0 0,			y 0 5.
в)	y 13y 12y 18x2				39.
г)	y y 6y 20x 14 e2x .
д)	y 2y 10ex sin x cos x .
е)	y 9y 18sin3x 18e3x .
є)	y 6y 8y 4e2x 1 e 2x ,
	y 0 0,		y 0 0.
9. а) 1 x2 y 2xy 12x3.
б) y 32y3,				y 4 1,	y 4 4.
в)	y 3y 2y x2 2x 3.
г)	y y 2y 6x 11 e x .
д)	y 6y 13y e 3x cos 4x.
е)

		3	16 0,
y y
б)	1 2,			y 1 2.
y

в) y 5y 6y x 1 2 .

г) y y 2y 6x 5 ex .

д) y y 2cos 3x 3sin3x.

е)

y 9y 9e3x 18sin3x 9cos3x.

	є)	y 4y 4 sin2x ,
		y	4 2,			y 4 .
	8. а)		xy 2y 0.
				3	4 0,
	б)	y y
		y	0 1,			y 0 2.
	в)	yIV		y 12x 6.
	г)	y 7y 15y 9y 8x 12 ex .
	д)	y 4y 8y ex 2sin x cos x .

е)y 36y

24sin6x 12cos6x 36e6x .

y y 4ctg x,

є)		2 4.
y 2 4, y
10. а) xy y x 1.
y 32siny cos3 y 0,
б)	y 0	4.
y 0 0,

в) y y 4x2 3x 2.

г) y 6y 9y 4x ex .

д) y 4y 4y e2x sin5x.

е) y 4y 16ch4y.

482

y 36y 36e6x 72 cos6x sin6x .		y y 1 cos x ,
y 9y 18y 9e3x 1 e 3x ,		є)	1,	y 0 0.
		y 0
є)	y 0 0.
y 0 0,

	11. а) cth x y y		1	0.
			ch x
	б) y 2y3,	y 1 1,		y 1 1.
	в) y y	3x2 2x 1.

	г)	y 6y 9y 16x 24 ex .
	д) y 4y 4y e2x sin3x.
	е)	y y 2ch x.
	є)	y 6y 8y 4 1 e 2x ,
		y 0 1 2ln2,	y 0 6ln2.

	12. а) tg x y y			1		0.
				sin x
	б)	y 18siny cos3 y 0,
		y 0 0,	y 0 3.
	в) y 2y 3x2 x 4.
	г)	y 4y 3y 4 1 x e x .
	д) y 6y 13y e 3x cos 8x.
	е)	y y 10sin x 6cos x 4ex .
	є)	y 2y 4e 2x 1 e 2x ,
		y 0 ln4,	y 0 ln4 2.

13. а) x 1 y y x 1 .

б)

y 16y 48e4x 64cos 4x 64sin4x.

в) y y 6x2 3x.

г) y 4y 5y 2y 12x 16 ex .

д) y 4y 8y ex 5sin x 3cos x .

е) y 100y 20e10x 100cos10x.

y

3y

9e 3x

є)

3 e 3x ,

y 0 4ln4,

y 0 3 3ln4 1 .

15. а) xy y

1

0.

x

3

64 0,

y 0 4,

0 2.

б)y y

y

14. а) xy y 1.
	3	9 0,
y y
б)			y 1 3.
y 1 1,
в) y 3y 2y 3x2 2x.

г) y 3y y 3y 4 8x ex .

д) y y 2cos 4x 3sin4x.

е)

y 4y 8sin2x 32cos2x 4e2x .

y 6y 8y 4e 2x		2 e2x ,
є)	y 0 0.
y 0 0,

16. а) x4y x3y 1.

483

	в) y y		49 24x2.
	г)	y 3y 2y 4x 9 e2x .
	д) y 2y 5y sin2x.
	е)	y y 2sh x.
	є)	y 16y 16 cos x ,
		y 0 3,	y 0 0.

17. а) y tg x y 1.

4y3y y4 16,

б)	y 0 1 2.
y 0 2 2,

в) y 13y 12y x 1.

г) y 5y 8y 4y 2x 5 ex .

д) y 2y 5y 17sin2x.

е)y		100y
20sin10x 30cos10x 200e10x .
y 4y 8ctg 2x,
є)		4 5,			y 4 4.
y
19. а) y
				th7x 7y .
б) y 50y3 ,					y 3 1,	y 3 5.
в) yIV			2y y 4x2.

г) y 2y y 2x 5 e2x .

д) y 6y 13y e 3x cos x.

е) y y 2ex cos x.

y3y 4 y4 1 ,

б)

y 0 2,	y 0 2.
в) yIV 2y y 2 3x2.

г) y 4y 4y x 1 ex .

д) y y 2cos5x 3sin5x.

е) y 3y 2ch3x.

y y 2ctg x,

є)	y 2 2.
y 2 1,
18. а) x2y xy 1.
б) y 3y3 ,	y 0 1,	y 0 2.
в) 7y y 12x.

г) y y 4y 4y 7 6x ex .

д) y y 2cos 7x 3sin7x.

е)y		64y
16sin8x 16cos8x 64e8x .
y 3y 9e3x 1 e3x ,
є)			y 0 3 1 ln2 .
y 0 ln4,

20. а) 1 sin x y cos x y .

б)

	3	36 0,	y 0 3,		0 2.
y y				y

в) yIV 2y y x2 x 1.

г) y 3y 2y 1 2x e x .

д) y 2y 2ex sin x cos x .

е) y 81y 162e9x 81sin9x.

484

y 3y 2y 1				1 e x ,
є)				y 0 3ln2.
y 0 1 2ln2,
21. а) xy y x 0.
4y3y y4 1,
б)
y 0 2,			y 0 1 2 2 .

в) 3yIV y 6x 1.

г) y 3y 4y 18x 21 e x .

д) y 4y 8y ex 3sin x 5cos x .

е) y 81y 162e9x 81sin9x.

y y ctg x 2 0,

є) 4

y 2, y 12.

23. а) 1 x2 y 2xy x3.

3

1

0, y 1 1,

y

1 1.

б)y y

в) yIV y 5 x 2 2 .

г)

y 3y 2y 4x ex .

д) y 2y 6ex sin x cos x .

е)

y y 2sin x 6cos x 2ex .

є)

y 3y 2y e x 2 ex

,

y 0 0,

y 0 0.

25. а) x5y

x4y 1.

б)

y3y y4

16,

y 0 2 2,

y 0 2.

									1
	є)	y			3y		2y 3 e x ,
		y	0 1 8ln2,						y 0 14ln2.

22. а) xy y x.

y 2sin3 y cosy,

б)	y 1 1.
y 1 2,

в) yIV 2y y 2x 1 x .

г)

y 5y 3y 9y 32x 32 e x .

д) y 4y 4y e2x sin6x.

е) y 81y 162e9x 81sin9x.

y y e x	2 e x ,
є)		y 0 ln9 1.
y 0 ln27,
24. а) x3y x2y				.
			x
б)y 98y3,	y 1 1,				y 1 7.

в) y y 5x2 1.

г)

y 5y 7y 3y 20 16x e x .

д) y 2y 4ex sin x cos x .

е) y 64y 128cos8x 64e8x .

y 4y 4ctg2x,

є)

y 4 2.

y 4 3,

26. а) xy

2y

2

x2 .

4y3y 16y4 1,

б)

y 0 2 2,

y 0 1 2.

485

в) y y x2 x.		в) yIV 3y 3y y 2x.
г) y y y y 8x 4 ex .		г) y 4y 3y 4x e x .
д) y 4y 4y e2x sin4x.		д) y 2y 3ex sin x cos x .
е)		е)y		25y
y 25y 25 sin5x cos5x 50e5x .		20cos5x 10sin5x 50e5x .
y 3y 2y 1	2 e x ,	y 2y 2			cos x ,
є)	y 0 5ln3.	є)		0 3, y	0 0.
y 0 1 3ln3,		y

27. а) cth xy y ch x.

б)

			3	49 0,				3 1.
	y y					y 3 7, y
	в)	yIV 4y 4y x x2.
	г)	y y y y 3x 7 e2x .
	д)	y 6y 13y e3x cos5x.
	е) y 2y 2ch2x.
	є)	y 9y 9 sin3x ,
		y 6 4,				y 6 3 2.
	29. а) th x y				IV
						y .
	б) y 72y3,					y 2 1,	y 2 6.
	в)	y 3y 2y 1 x2.
	г)	y 2y y 18x 21 e2x .

д) y y 2cos 7x 3sin7x.

е)

y 49y 14e7x 49 cos 7x sin7x .

28. а) x3y x2y 1.

б) y 18y3, y 1 1, y 1 3.

в) y 5y 6y 6x2 2x 5.

г) y 3y 2y 1 2x ex .

д) y 4y 4y e2x sin4x.

е)y		16y
48e4x 64cos 4x 64sin4x.
y 16y 16 sin4x ,
є)					y 8 2 .
y 8 3,
30. а) xy y						1		.
							x
y 2siny cos3 y 0,
б)					y 0 1.
y 0 0,

в) yV yIV 2x 3.

г)y 4y 5y 2y 16 12x e x .

д) y 2y 5y 10cos x.

е) y 2y 2sh2x.

486

	y			1	y		1	,	y 6y 8y 4	2 e 2x ,
				2			2 cos x
									є)	y 0 10ln3.
	є)						y 0 0.		y 0 1 3ln3,
	y 0 2,

Завдання 4. Розв’язати системи рівнянь:

	dx				2x y,
1.	dt
	dy				3x 4y.
	dt
	dx				x 8y,
3.	dt
		dy			x y.
	dt
	dx				x 3y,
5.	dt
	dy				3x y.
	dt
	dx				2x y,
7.	dt
		dy			4y x.
	dt
	dx				2y 3x,
9.	dt
		dy			y 2x.
	dt
		dx						2x y,
11.		dt
			dy					4y x.
		dt
		dx
							x y,
13.		dt
			dy				x y.
		dt

	dx				x y,
2.	dt
	dy				y 4x.
	dt
	dx				x y,
4.	dt
		dy			3y 2x.
	dt
	dx				x 5y,
6.	dt
		dy			x y.
	dt
	dx				3x y,
8.	dt
	dy				4x y.
	dt
		dx
							5x 3y,
10.		dt
			dy				3x y.
		dt
		dx						2y,
12.		dt
		dy						2x.
		dt
		dx
							x 4y,
14.		dt
			dy					3y x.
		dt

487

dx

dt

15.

dy

dt

dx

dt

17.

dy

dt

dx

dt

19.

dy

dt

dx

dt

21.

dy

dt

dx

dt

23.

dy

dt

dx

dt

25.

dy

dt

dx

dt

27.

dy

dt

dx

dt

29.

dy

dt

2x 5y,

x 4y.

x 5y,

2x y.

3x y,

x 3y.

x y,

2x y.

x 2y,

2x 3y.

2x y,

x 2y.

y,

4x 2y.

4y 2x,

x.

dx

dt

16.

dy

dt

dx

dt

18.

dy

dt

dx

dt

20.

dy

dt

dx

dt

22.

dy

dt

dx

dt

24.

dy

dt

dx

dt

26.

dy

dt

dx

dt

28.

dy

dt

dx

dt

30.

dy

dt

x 2y,

4x 3y.

x y,

x 3y.

y 7x,

2x 5y.

3x 2y,

2x 3y.

x 2y,

2x 2y.

3x 2y,

2x 3y.

x 4y,

2x y.

x 2y,

2x y.

Завдання 5. Встановити тип положень рівноваги систем рівнянь та побудувати фазові портрети систем:

488

	dx						3x 4y,
1.	dt
	dy						2x y.
	dt
	dx						y,
3.	dt
			dy				2x y.
	dt
	dx						3x 4y,
5.	dt
			dy				x 2y.
	dt
	dx						3x 2y,
7. dt
		dy					2x y.
	dt
	dx						x,
9.	dt
	dy						y.
	dt

dx			3x,
11. dt
	dy		2x y.
dt
dx			x 3y,
13. dt
	dy		6x 5y.
dt
dx			2x 5y,
15. dt
	dy		2x 2y.
dt

dx

2. dt

dy

dt

dx

4. dt

dy

dt

dx

6. dt

dy

dt

dx

8. dt

dy

dt

dx

dt

10.

dy

dt

dx

dt

12.

dy

dt

dx

dt

14.

dy

dt

dx

dt

16.

dy

dt

2x 3y,

x 4y.

2x 3y,

x 4y.

x y,

2x y.

x y,

2x 4y.

3x 2y,

4x y.

x 2y,

2x 5y.

x,

2x y.

3x y,

x y.

489

dx

dt

17.

dy

dt

dx

dt

19.

dy

dt

dx

dt

21.

dy

dt

dx

dt

23.

dy

dt

dx

dt

25.

dy

dt

dx

dt

27.

dy

dt

dx

dt

29.

dy

dt

3x 2y,

6x 4y.

2x,

x y.

x y,

2x 2y.

0,

x y.

2x 5y,

2x 2y.

x 2y,

3x 4y.

7x y,

2x 5y.

dx

dt

18.

dy

dt

dx

dt

20.

dy

dt

dx

dt

22.

dy

dt

dx

dt

24.

dy

dt

dx

dt

26.

dy

dt

dx

dt

28.

dy

dt

dx

dt

30.

dy

dt

2x y,

4x 2y.

x 2y,

4x 3y.

x 2y,

0.

3x 2y,

x 4y.

x 2y,

2x 3y.

3x y,

6x 2y.

2x 2y,

x 3y.

Завдання 6. Знайти залежність ціни р і попиту d від часу t, якщо попит і пропозиція s визначаються співвідношеннями:

1.	d(t) p 4p p 17; s(t) 2p p 3p 5;			p(0) 3; d(0)		11.
2.	d(t) 3p 12p 10p 7;	s(t) 2p 6p p 5;			p(0) 2; d(0) 1.
3.	d(t) 4p 10p 9p 1;	s(t) 2p p 1;	p(0) 1; d(0) 2.

490