- •Глава 14
- •14.1. Определение кратного интеграла
- •14.2. Двойные интегралы
- •14.2.1. Области на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.2.2. Повторный интеграл
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. . 9..
- •10. . 11..
- •14.2.4. Замена переменных в двойном интеграле.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3. Тройные интегралы.
- •Задания.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3.3 Замена переменных в тройном интеграле
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.5.2 Криволинейные интегралы второго рода (ки-2)
- •105. . 106. . 107. .
- •14.6. Поверхностные интегралы
- •14.6.1. Двусторонние поверхности и их ориентация
- •14.6.2. Поверхностный интеграл первого рода (пи-1)
- •Задания
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.6.3. Поверхностные интегралы второго рода (пи-2)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •134. . 135..
- •15.1.2. Поток векторного поля
- •1. Определение потока векторного поля
- •2. Способы вычисления потока
- •15.1.3. Линейный интеграл вектора. Циркуляция векторного поля
- •15.1.4. Дивергенция векторного поля
- •15.1.5. Ротор (вихрь) векторного поля
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2.2. Соленоидальное векторное поле
- •15.2.3. Дифференциальные операции второго порядка.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •124. 125. 126.
15.1.3. Линейный интеграл вектора. Циркуляция векторного поля
Пусть поле - непрерывное векторное поле, (L) – кусочно гладкая кривая с выбранным на ней положительным направлением (ориентированная кривая).
Определение 1.Линейным интегралом (обозначается) векторавдоль ориентированной кривой (L) называется криволинейный интеграл
(1.7)
Для линейного интеграла справедливы следующие формулы:
(1.8)
=.
Если поле есть силовое поле, то линейный интеграл (1.7) дает величину работы этого поля вдоль линии (L). Вычисление линейного интеграла в зависимости от задачи может быть проведено по одной из формул “списка” (1.8).
Определение 2.Циркуляцией (обозначаетсяЦ) векторного поляназывается линейный интеграл по замкнутой ориентированной кривой (L):
. (1.9)
За положительное направление обхода замкнутой кривой (L) берется то, при котором область, ограниченная кривой, лежит под левой рукой.
Пример 1.Найти линейный интеграл векторавдоль дуги (L) винтовой линииот точкиAпересечения линии с плоскостьюz=0 до точкиВпересечения с плоскостьюz=1.
Решение. Имеем по последней формуле из списка (1.8): . ТочкеAсоответствует значение параметраt=0, точкеB– значениеи, таким образом,.
Пример 2.Вычислить работу силового полявдоль отрезкапрямой, проходящей через точкии.
Решение.Работа.
Запишем канонические уравнения прямой . Отсюда; параметры. Вычислим работу:.
Пример 3.Вычислить циркуляцию полявдоль эллипса.
Решение. Имеем по формуле (1.9) и (1.8): . Запишем параметрические уравнения эллипса:. Вычисляяdxиdy, получим:- здесь использовано, что(вычисление этих интегралов проводится с помощью понижения степени подынтегральной функции).
Пример 4.Вычислить циркуляцию векторного полявдоль линииL, полученной пересечением конусас координатными плоскостями (см. рис.4).
Р
Рис.
4.
Пример 5.Вычислить циркуляцию векторного полявдоль линии,.
Решение. Имеем: . ЛинияLесть эллипс, получающийся в результате сечения цилиндраплоскостью. Найдем параметрические уравнения этой линии. Проекция любой точки этой линии на плоскостьOxyнаходится на окружности. Отсюда, полагая, найдем, что. Дляzиз уравненияполучим:. Таким образом,. Находим отсюда:, и для циркуляции запишем определенный интеграл:.
15.1.4. Дивергенция векторного поля
Интегральные характеристики – поток и линейный интеграл – характеризуют векторное поле “в целом”. Количественную характеристику поля в каждой точке дают, вводимые ниже, дифференциальные характеристики. Введем понятие дивергенции.
Окружим произвольную точку Mповерхностью (S) произвольной формы (например, сферой достаточно малого радиуса). Пусть (V) – объем, заключенный внутри поверхности (S).
Определение.Конечный предел отношения потока поля через поверхность (S) к объему, заключенному внутри нее при стягивании поверхности к точкеMи стремлении объемаVк нулю называется дивергенцией векторного поляв точкеM:
(1.10)
Замечание.Определение (1.10) есть инвариантное (не зависящее от системы координат) определение дивергенции.
Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля, “исходящего” из точки M, то есть мощность источника (при), или стока (при), находящегося в точкеM.
В декартовой системе координат дивергенция вычисляется по формуле
. (1.10)
Свойства дивергенции. Пусть и- векторные поля,- скалярная функция. Тогда:
1) ; 2) . (1.11)
С учетом формулы (1.10) перепишем формулу Гаусса-Остроградского (1.6)
(1.12)
- поток векторного поля через замкнутую поверхность (S) равен тройному интегралу по объему (V), заключенному внутри этой поверхности от дивергенции поля.
Пример 1.Вычислить.
Решение. .
Пример 2.Вычислить, гдеu(M) – скалярная функция,- векторная функция.
Решение. По формуле (1.10) находим: .
Пример 3.Используя теорему Гаусса-Остроградского (1.12), найти поток векторного полячерез всю поверхность (S) тела (V):
в направлении внешней нормали.
Решение. Имеем . Поэтому=. Для вычисления тройного интеграла перейдем к цилиндрическим координатам. Уравнение поверхности примет вид,=.