- •Глава 14
- •14.1. Определение кратного интеграла
- •14.2. Двойные интегралы
- •14.2.1. Области на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.2.2. Повторный интеграл
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. . 9..
- •10. . 11..
- •14.2.4. Замена переменных в двойном интеграле.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3. Тройные интегралы.
- •Задания.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3.3 Замена переменных в тройном интеграле
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.5.2 Криволинейные интегралы второго рода (ки-2)
- •105. . 106. . 107. .
- •14.6. Поверхностные интегралы
- •14.6.1. Двусторонние поверхности и их ориентация
- •14.6.2. Поверхностный интеграл первого рода (пи-1)
- •Задания
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.6.3. Поверхностные интегралы второго рода (пи-2)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •134. . 135..
- •15.1.2. Поток векторного поля
- •1. Определение потока векторного поля
- •2. Способы вычисления потока
- •15.1.3. Линейный интеграл вектора. Циркуляция векторного поля
- •15.1.4. Дивергенция векторного поля
- •15.1.5. Ротор (вихрь) векторного поля
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2.2. Соленоидальное векторное поле
- •15.2.3. Дифференциальные операции второго порядка.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •124. 125. 126.
15.2.2. Соленоидальное векторное поле
Определение. Векторное поле называется соленоидальным (трубчатым) полем, если дивергенция его равна нулю:
(2.7)
(то есть это поле без источников и стоков). Из теоремы (1.11) следует, что в соленоидальном поле поток
(2.8)
через любую замкнутую поверхность, лежащую в этом поле.
Пример.Какие из нижеследующих полей являются соленоидальными (в естественной области определения):
1) ;
2) ?
Решение. 1) вычислим критерий (2.7): - - поле вектора соленоидально; 2)- поле не соленоидально.
15.2.3. Дифференциальные операции второго порядка.
Лапласово (гармоническое) векторное поле
Дифференциальные операции второго порядка – это повторно примененные операции grad, div и rot к скалярным и векторным полям, полученным в результате применения этих же операций к скалярным и векторнымполям. Возможны лишь следующие повторные операции: ; , где -лапласиан; ; ; .
Операции первого и второго порядков удобно записывать (и вычислять, доказывать) с помощью специального символического оператора (читается “набла”):
. (2.9)
Для дифференциальных операций первого порядка имеем
; . (2.10)
Операции второго порядка:
;
;
;
;
.
При применении оператора “набла” руководствуются следующим правилом: при применении оператора к произведениям скалярных,) и векторных,полей:можно поступать так: применить операторк каждому из сомножителей отдельно, считая другой постоянным (их обозначаем), и результаты сложить; затем каждоеслагаемое преобразовать по правилам векторной алгебра так, чтобы операторстоял на предпоследнем месте перед переменным множителем.
Пример. Показать, что .
Решение. В символической форме записи . Учитывая сначала дифференциальный характер, мы должны написать. Рассматривая выражениемы можем постоянный множительвынести за знак “набла” и, как скаляр, за знак скалярного произведения, что дает(на последнем шаге мы опустили индекс “c”).
В выражении оператордействует только на скалярную функциюu; поэтому мы можем написать, что . В результате получаем формулуили.
Задачи для самостоятельного решения
Найти потенциалы следующих плоских и трехмерных полей:
91. ;92. ;
93. ; 94. ;
95. ; 96. ; 97. ;
98. ; 99. ; 100. ;
101. ;
102. ;
103..
104. Доказать, что поле вихрей соленоидально: .
105. Доказать, что в соленоидальном поле поток вектора через замкнутую поверхность, не содержащую внутри особых точек, равен нулю.
В задачах 106 – 109 проверить соленоидальность заданных полей:
106. ;107. ;
108. ; 109. .
110. Доказать, что в соленоидальном поле поток вектора поля через поперечное сечение любой векторной трубки (определенный в одном и том же направлении) сохраняет постоянное значение.
111. Показать, что поле вектора соленоидально во всякой области, не содержащей начало координатO(0,0,0).
112. Найти условие соленоидальности поля .
113. Показать, что в соленоидальном поле поток вектора не зависит от вида поверхности (S), натянутой на данный контур (L), а зависит только от самого контура.
114.Показать, что векторное поле - соленоидальное и безвихревое.
Используя правило применения оператора к произведениям скалярных и векторных полей, доказать справедливость следующих формул:
115. ;116. ;
117.; 118.;
119. ;
120. ;
121. .
122. Найти . В каком случае?
123. Показать, что скалярное поле ,, является гармоническим.
В задачах 124 – 131 выяснить, какие поля – гармонические, какие – нет: