- •Глава 14
- •14.1. Определение кратного интеграла
- •14.2. Двойные интегралы
- •14.2.1. Области на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.2.2. Повторный интеграл
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. . 9..
- •10. . 11..
- •14.2.4. Замена переменных в двойном интеграле.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3. Тройные интегралы.
- •Задания.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3.3 Замена переменных в тройном интеграле
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.5.2 Криволинейные интегралы второго рода (ки-2)
- •105. . 106. . 107. .
- •14.6. Поверхностные интегралы
- •14.6.1. Двусторонние поверхности и их ориентация
- •14.6.2. Поверхностный интеграл первого рода (пи-1)
- •Задания
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.6.3. Поверхностные интегралы второго рода (пи-2)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •134. . 135..
- •15.1.2. Поток векторного поля
- •1. Определение потока векторного поля
- •2. Способы вычисления потока
- •15.1.3. Линейный интеграл вектора. Циркуляция векторного поля
- •15.1.4. Дивергенция векторного поля
- •15.1.5. Ротор (вихрь) векторного поля
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2.2. Соленоидальное векторное поле
- •15.2.3. Дифференциальные операции второго порядка.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •124. 125. 126.
Задачи для самостоятельного решения
Перейти в тройном интеграле к цилиндрическим координатамили сферическим координатами расставить пределы интегрирования:
52. V – область, находящаяся в первом октанте и ограниченная поверхностями ,.
53. V – область, ограниченная поверхностями .
54. .
55. .
Перейдя к цилиндрическим или сферическим координатам, вычислить интегралы:
56. . 57..
58. . 59..
60. , где.
61. , где.
62. , где областьV ограничена поверхностью .
14.4. Некоторые приложения двойных и тройных интегралов
1. Площадь фигуры. а) Для плоской фигуры
. (4.1)
б) Площадь части искривленной поверхности рассматривается в разделе 14.6. этой главы.
2. Объем тела V: (- проекцияV на плоскость Oxy):
(4.2)
или . (4.3)
3. Масса. а) Если - поверхностная плотность массы плоской фигуры, то
. (4.4)
б) если - объемная плотность массы тела, то
. (4.5)
Для однородных фигур и тел плотность примем равной единице.
4. Статические моменты и координаты центра тяжести. а) Для плоской фигуры c плотностью и массойm статические моменты относительно координатных осей:
, ;
координаты центра тяжести:
, .
б) Для тела V с плотностью и массойm статические моменты относительно координатных плоскостей
, ,;
координаты центра тяжести:
, ,.
Пример14. Найти массу пластинки с поверхностной плотностью.
По формуле (4.4) . ОбластьD и подынтегральная функция совпадают с областью интегрирования и функцией из примера 9 в пункте 14.2.4 при ; там же вычислен этот двойной интеграл, поэтомуи при.
Пример 15. Найти массу тела. , если объемная плотность.
По формуле (4.5) . Тройной интегралI по данной области V вычислен в примере 12 из пункта 14.3.3, , и потому.
Пример 16. Найти объем тела ;,.
Из формулы (4.3) . ТелоV ограничено сферами, полуконусами и плоскостями (рис.14.21).
a) |
|
Рис.14.21
Рис.14.21
в)
3) или ;
4) ;
5) ; 6) .
Область изменения сферических координат точек области V есть
.
Тогда в силу формулы (3.7) =
=
.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:
63. . 64..
65. .
66. . 67.
68. - гиперболический параболоид,.
69. .70. .
71. .72. .
73. Найти массу квадратной пластинки со стороной a , если плотность пластинки в каждой точке пропорциональна расстоянию этой точки от одной из вершин и равен в центре квадрата.
Найти координаты центра тяжести однородных пластинок, ограниченных кривыми:
74. . 75..
76. . 77. - кардиоида, .
Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных поверхностями:
78. (усеченный параллелепипед).
79. .
80. .
14.5. Криволинейные интегралы.
14.5.1. Криволинейные интегралы первого рода (КИ-1)
Пусть: 1) в точках простой (без точек самопересечения), спрямляемой (т.е. имеющей длину) кривой l из пространства определена ограниченная скалярная функция2)- произвольное разбиение кривойl на элементарные дуги с длинами; 3)- произвольный набор точек; 4)- интегральная сумма, соответствующая данному разбиению кривой l и выбору точек .
Определение. Конечный предел интегральной суммы при, не зависящий ни от способа разбиения кривойl, ни от выбора точек , называетсякриволинейным интегралом первого рода от функции по кривойl: .
Вычисление КИ-1. Теорема 14.6. Если кривая l задана параметрическими уравнениями: , где- непрерывно дифференцируемые поt функции и возрастание длины L дуги кривой соответствует возрастанию t, то в предположении существования определенного интеграла имеет место равенство
. (5.1)
Следствия.
а) Если плоская кривая l задана явно: , и, то
. (5.2)
б) Если плоская кривая l задана в полярных координатах: , то
. (5.3)
Некоторые приложения КИ-1
1. Масса материальной линии. Пусть ,- линейная плотность массы материальной линииl. Тогда масса этой линии есть:
. (5.4)
2. Длина пространственной (или плоской) кривой l есть L: .
3. Статические моменты и координаты центра тяжести.
а) Для плоской линии c плотностью и массойm статические моменты относительно координатных осей Oy и Ox:
, ;
координаты центра тяжести:
, .
б) Для пространственной линии l c плотностью и массойm статические моменты относительно плоскостей иOxy:
, , ;
координаты центра тяжести:
, , .
Пример 17. Вычислить КИ-1: , гдеl – прямолинейный отрезок, соединяющий точки и.
Уравнения отрезка прямой AB в параметрической форме: , или . Тогдаи из (5.1) имеем.
Замечание. В случае явного задания отрезка прямой следует воспользоваться формулой (5.2).
Пример 18. Вычислить КИ-1: , гдеl – кривая, заданная уравнением при условии.
Для построения кривой l преобразуем уравнение ее к виду ; таким образом,l есть полуокружность с центром в точке радиуса 1, расположенная слева от осиOy (рис. 14.22).
Наличие комбинациив подынтегральной функции и в уравненииl наводит на мысль провести вычисления в полярных координатах, которые связаны с декартовыми координатами формулами . Тогда: из Рис. 14.22получаем– уравнениеl в полярных координатах; из рис. 14.22 (или условий ,,следует:;,= ==,и из (5.3).
Пример 19. Найти массу одного витка материальной винтовой линии ,,(рис. 14.23), если линейная плотность в точке обратно пропорциональнаквадрату расстояния этой точки от начала координат.
По условию задачи плотность +
=, гдеk – коэффициент про-
п
Рис.14.23. L
= .