Задачи для самостоятельного решения

Перейти в двойном интеграле к полярным координатами расставить пределы интегрирования в порядке: внешнее – по, внутреннее - по :

27. D – область, ограниченная окружностями ,и прямыми , .

28. D - область, являющаяся общей частью двух кругов и.

29. D - меньший из двух сегментов, на которые прямая рассекает круг.

30. D - внутренняя часть правой петли лемнискаты Бернулли .

31. D:.

32. D: .Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.

33. D - область, ограниченная линией .Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.

34. . 35. . 36. .

С помощью перехода к полярным координатам вычислить интегралы:

37. .38. .

39. .40. ,D - часть кольца ,

, .41. .

Вычислить, перейдя к эллиптическим полярным координатам, интегралы:

42. .

43. - область, ограниченная линией .

14.3. Тройные интегралы.

14.3.1. Области в пространстве.

Определение. Область назовем правильной в направлении Oz (правильной в направлении Ox, правильной в направлении Oy), если прямая, проходящая через внутреннюю точку области V параллельно оси Oz (параллельно оси Ox, параллельно оси Oy) пересекает границу области ровно в двух точках.

Область V будет правильной в направлении Oz, если существуют функции и, заданные вS и такие, что координаты точек, принадлежащих V, удовлетворяют условиям: . Тогда символически записывают:

(3.1)

Если, в свою очередь, область S - правильная в направлении Oy, то (см.(2.1))

. (3.2)

Если область S правильная в направлении Ox, то (см.(2.2))

. (3.3)

Задания.

1. Записать символически правильную в направлении Oy область , если ее проекция на плоскостьOxz, в свою очередь, есть правильная область.

2. Записать символически правильную в направлении Ox область , если ее проекция на плоскостьOyz есть правильная область.

Пример 10. Область V ограничена поверхностями и z=0. Изобразить область и записать как правильную: а) в направлении Oz,

б) в направлении Ox.



Рис.14.12

Рис.14.13

Область V - круговой конус с боковой поверхностью, описываемой уравнением конической поверхности , основанием, лежащим на плоскостиz=0, с вершиной в точке M(0;0;2) и осью, совпадающей с Oz (рис. 14.12).Область V - правильная во всех направлениях Ox, Oy, Oz. При z=0 из уравнения имеем- уравнение окружности радиуса 2; таким образом, в основании конуса круг. а) Рассмотрим областьV как правильную в направлении Oz. Из уравнения имеем . Для точек областиV имеем: . Проекция области V на плоскость Oxy есть (рис. 14.13), поэтому в силу (3.1) ,где .Так как S - правильная область, то (см.(2.1)) или (см.(2.2)) . Поэтому требуемая запись будет (см. (3.2)) или (см. (3.3)) .

б) Рассматривая область V как правильную в направлении Ox, из уравнения имеем . Линии пересечения плоскости Oyz и конической поверхности находятся из решения системы уравнений: ; в результате имеем- прямые в плоскостиOyz. Итак, проекцией V на плоскость Oyz является область D - треугольник со сторонами z=y+2, z = –y+2, z=0 (рис. 14.14), поэтому в силу (3.1) , где .

2

Так как областьD – правильная, то рассматривая ее как правильную в направлении Oy, имеем , а потому

Рис.14.14

