- •Глава 14
- •14.1. Определение кратного интеграла
- •14.2. Двойные интегралы
- •14.2.1. Области на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.2.2. Повторный интеграл
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. . 9..
- •10. . 11..
- •14.2.4. Замена переменных в двойном интеграле.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3. Тройные интегралы.
- •Задания.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3.3 Замена переменных в тройном интеграле
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.5.2 Криволинейные интегралы второго рода (ки-2)
- •105. . 106. . 107. .
- •14.6. Поверхностные интегралы
- •14.6.1. Двусторонние поверхности и их ориентация
- •14.6.2. Поверхностный интеграл первого рода (пи-1)
- •Задания
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.6.3. Поверхностные интегралы второго рода (пи-2)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •134. . 135..
- •15.1.2. Поток векторного поля
- •1. Определение потока векторного поля
- •2. Способы вычисления потока
- •15.1.3. Линейный интеграл вектора. Циркуляция векторного поля
- •15.1.4. Дивергенция векторного поля
- •15.1.5. Ротор (вихрь) векторного поля
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2.2. Соленоидальное векторное поле
- •15.2.3. Дифференциальные операции второго порядка.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •124. 125. 126.
Задачи для самостоятельного решения
Изобразить указанные ниже области и записать как правильные: а) в направленииOz, б) в направлении Ox.
44. Область V ограничена поверхностями .
45. Область V ограничена поверхностями .
46. Область V ограничена поверхностями .
14.3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
Пусть правильная в направлении Oz область V ограничена снизу и сверху непересекающимися поверхностями и, а с боков – цилиндрической поверхностьюF(x,y)=0 c образующими, параллельными оси Oz, т.е.
, где S- проекция V на плоскости Oxy.
Теорема 14.4. Пусть:1) в области задана функцияf(x,y,z), интегрируемая по Риману, т.е. существует тройной интеграл ; 2) существует повторный интеграл. Тогда справедлива формула
(3.4)
Замечание. Цилиндрическая поверхность , ограничивающаяV, может частично или полностью вырождаться в пространственную линию.
Задания. Записать формулы, связывающие тройной интеграл с повторным, в случаях, когда: 1) область V правильная в направлении Ox проецируется на плоскость Oyz; 2) область V правильная в направлении Oy проецируется на плоскость Oxz.
Пример 11. Вычислить , где областьV ограничена
поверхностями: .
Поверхности иесть параболические цилиндры с образующими, параллельными- плоскости. ОбластьV – правильная в направле-
Рис.14.15 Рис.14.16
нии Oz, а потому для точек, принадлежащихV (рис.14.15).
Проекция V на плоскость Oxy есть правильная область S, ограниченная линиями и(рис.14.16), а потому, например (см.(2.1)),и в силу (3.2). Тогда по формуле (3.4)==
==см. (2.3)= ==
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить интегралы:
47. .
48. , - область, ограниченная плоскостями ,
.
49. ,V – область, ограниченная гиперболическим параболоидом и плоскостями.
50. ,V – область, ограниченная цилиндром и плоскостямии.
51. ,V – область, ограниченная поверхностями .
14.3.3 Замена переменных в тройном интеграле
Пусть функции осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области из пространства Ouvw на область V пространства Oxyz. Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение области V на область , если якобиан преобразования
.
Величины u,v,w можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области и в то же время как криволинейные координаты точек области V. Точки пространства Oxyz , для которых одна из координат u, v, w сохраняет постоянное значение, образуют координатную поверхность. Всего будет три семейства таких поверхностей.
Теорема 14.5. Пусть , , есть диф-ференцируемое преобразование области из пространства Ouvw в область V из пространства Oxyz. Тогда
. (3.5)
Замечание. Последнее равенство сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями V и нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий, или на отдельных поверхностях.
Переход в тройном интеграле к цилиндрическим координатам
Формулыпреобразуют цилиндрические координатыточкиM в декартовы координаты этой точки и переводят область изменения криволинейных координат (или) на все пространство Oxyz. Геометрически: - радиус-вектор OM точки P – проекции точки M на плоскость Oxy; - угол между Ox и OP; z- ап- Рис. 14.17. пликата точки M (рис. 14.17).
Обратное преобразование задается формулами:
Фиксируя в последних формулах , получим тройку координатных поверхностей: круговой цилиндр с осьюOz , полуплоскость, исходящую из оси Oz, и плоскость, параллельную плоскости Oxy (рис.14.17).
Я
Рис.14.17
При переходе в тройном интеграле к цилиндрическим координатам формула (3.5) примет вид0
, (3.6)
где - область изменения цилиндрических координат точек области V из Oxyz.
Переход к сферическим координатам
Формулы ,,преобразуют сферические координатыточкиM в декартовы координаты этой точки и переводят область (или ) изменения сферических координат на все пространство Oxyz.
Геометрически: r - радиус-ветор OM точки M; - угол между осью Ox и проекцией радиус-вектора r на плоскость Oxy; - угол между осью Oz и радиус-вектором r, отсчитываемый по ходу стрелки часов (рис.14.18). Обратное преобразование имеет вид
, ,
,
Фиксируя в последних формулах, получим тройку координатных поверхностей: сферу, полуплоскость, полуконус, соответственно (рис.14.18).Якобиан преобразования
.
Рис.14.18
, (3.7)
где - область изменения сферических координат точек области V из Oxyz.
Пример 12. Вычислить тройной интеграл , где.
Область V ограничена полусферой и полуконусом (рис.14.18). Для удобства вычисления тройного интеграла перейдем к сферическим координатам по формулам: , при этом . Неравенства, описывающиеV , преобразуются: а)
б) .
Так как нет ограничений на , то. В итоге, область интегрирования в сферических координатах есть(этот же результат можно было усмотреть из чертежа). Тогда по формуле (3.7)=повторный интеграл "расщепился" в произведение определенных интегралов =
=.
Пример 13. Вычислить тройной интеграл , гдеV ограничена полусферой , цилиндроми плоскостью.
Тело V и проекция его на плоскость Oxy - круг радиусаR изображены на рис.14.19 и 14.20. Для вычисления I перейдем к цилиндрическим координатам по формулам. Поверхности, ограничивающиеV преобразуются: а) , б), в)z=a . Так как нет ограничений на координату , то(или.Область интегрирования в цилиндрических координатах есть.
Т
Рис.14.20 Рис.14.19