- •Глава 14
- •14.1. Определение кратного интеграла
- •14.2. Двойные интегралы
- •14.2.1. Области на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.2.2. Повторный интеграл
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. . 9..
- •10. . 11..
- •14.2.4. Замена переменных в двойном интеграле.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3. Тройные интегралы.
- •Задания.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3.3 Замена переменных в тройном интеграле
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.5.2 Криволинейные интегралы второго рода (ки-2)
- •105. . 106. . 107. .
- •14.6. Поверхностные интегралы
- •14.6.1. Двусторонние поверхности и их ориентация
- •14.6.2. Поверхностный интеграл первого рода (пи-1)
- •Задания
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.6.3. Поверхностные интегралы второго рода (пи-2)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •134. . 135..
- •15.1.2. Поток векторного поля
- •1. Определение потока векторного поля
- •2. Способы вычисления потока
- •15.1.3. Линейный интеграл вектора. Циркуляция векторного поля
- •15.1.4. Дивергенция векторного поля
- •15.1.5. Ротор (вихрь) векторного поля
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2.2. Соленоидальное векторное поле
- •15.2.3. Дифференциальные операции второго порядка.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •124. 125. 126.
Задания
Записать линейные свойства ПИ-1.
Записать свойство аддитивности для ПИ-1.
Пример 23. Вычислить ПИ-1 , где - часть плоскости
, вырезанная цилиндром (рис.14.26).
Рис. 14.26
Поверхность проецируется на плоскость в круг. По формуле (6.4). Из уравнения следует ,; тогда=
=
=.
Пример 24. Вычислить ПИ-1 , где - полная поверхность тетраэдра, отсекаемого от первого октанта плоскостью .
Полная поверхность тетраэдра складывается из его граней: ,где(рис.14.27).
Выпишем уравнения поверхностей и вычислим для них элементы:
а) ;
б) ;
в
Рис.14.277
г) .
Задав уравнения поверхностей в явном виде, мы определили тем самым плоскости проецирования их; - области, на которые проецируются.
.
По поводу последней записи напомним, что следует в подынтегральной функции независимые переменные (переменные из области) оставлять без изменения, зависимую переменную заменить из явного уравнения соответствующей поверхности, азаменить выражением, полученным выше, причем. Находим:
;
, так как области ипереходят одна в другую заменойна;
;
=.
.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить поверхностные интегралы первого рода:
120. , где - часть плоскости , лежащая в первом октанте.
121. , где - часть сферы , лежащая в первом октанте.
122. , где - полусфера .
123. , где - полусфера .
124. , где - цилиндр , ограниченный плоскостями, аr –расстояние от точки поверхности до начала координат.
125. , где - часть конической поверхности , вырезанная поверхностью.
126. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию этой точки от некоторого фиксированного диаметра сферы.
127. Найти массу параболической оболочки , плотность которой меняется по закону.
128. Найти массу полусферы , плотность которой в каждой ее точке равна.
129. Найти координаты центра тяжести части однородной поверхности , вырезанной поверхностью.
14.6.3. Поверхностные интегралы второго рода (пи-2)
Пусть : 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно- гладкой) поверхности задана ограниченная функция ; 2) выбрана положительная сторона поверхности; 3)- разбиение на n частей с площадямии диаметрами; 4) - произвольный набор точек; 5) - проекция элементана плоскость(проекция определенной стороны поверхности связана со знаком “+” или “–“ ); 6)- интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и выбору точек.
Определение. Конечный предел приназываетсяповерхностным интегралом второго рода от по определенной стороне поверхности :
(здесь напоминает о проекциинаи содержит знак).
При проецировании ориентированной поверхности на плоскости иполучаем ПИ-2:
.
Вычисление ПИ-2. Теорема 14.11. Пусть ориентированная гладкая поверхность задана явно. Тогда
а) если , то;
б) если , то; (6.5)
в) если , то.
Связь между ПИ-1 и ПИ-2. Теорема 14.12. Если - гладкая двусторонняя поверхность, ориентация характеризуется нормалью = - функции, определенные и непрерывные на , то
. (6.6)
Связь между ПИ-2 и тройным интегралом (формула Гаусса – Остроградского). Теорема 14.13. Пусть функции - непрерывные вместе со своими частными производными (первого порядка) в некоторой пространственной областиV, ограниченной гладкой замкнутой поверхностью с положительной внешней стороной. Справедлива формула
.
Замечание. О приложениях ПИ-2 смотри в разделе “Элементы теории поля”.
Пример 25. Вычислить ПИ-2: , где- положительная (внешняя) сторона сферы.
Рис.14.28
ибо угол между и положительным направлениемOz, т.е. (,Oz), – острый, а положительная сторона поверхностности - вектором, ибо угол (,Oz)- тупой. Проекция каждой из поверхностей иесть область- круг радиусаR с центром в начале координат. Поэтому по формуле (6.5) +=переходим к полярным координатам :
, = ===двойной интеграл “расщепился” в произведение определенных интегралов=;
=
=; .
Итак, .
Пример 26. Вычислить ПИ-2 общего вида: , где- внешняя сторона конической поверхности, ограниченной плоскостьюz =2.
Внешняя сторона поверхности характеризуется нормальным вектором, который составляет тупой угол с положительным направлением осиOz (рис.14.29),
а
Рис.14.29
Тогда ,.
Данный ПИ-2 можно вычислять по разному. Первый способ – вычислять три ПИ-2, составляющих данный поверхностный интеграл. Второй способ – использовать связь ПИ-2 с ПИ-1, что и сделаем. По формуле (6.6)
=
=
Рис.14.29
== ==.