- •Глава 14
- •14.1. Определение кратного интеграла
- •14.2. Двойные интегралы
- •14.2.1. Области на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.2.2. Повторный интеграл
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. . 9..
- •10. . 11..
- •14.2.4. Замена переменных в двойном интеграле.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3. Тройные интегралы.
- •Задания.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3.3 Замена переменных в тройном интеграле
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.5.2 Криволинейные интегралы второго рода (ки-2)
- •105. . 106. . 107. .
- •14.6. Поверхностные интегралы
- •14.6.1. Двусторонние поверхности и их ориентация
- •14.6.2. Поверхностный интеграл первого рода (пи-1)
- •Задания
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.6.3. Поверхностные интегралы второго рода (пи-2)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •134. . 135..
- •15.1.2. Поток векторного поля
- •1. Определение потока векторного поля
- •2. Способы вычисления потока
- •15.1.3. Линейный интеграл вектора. Циркуляция векторного поля
- •15.1.4. Дивергенция векторного поля
- •15.1.5. Ротор (вихрь) векторного поля
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2.2. Соленоидальное векторное поле
- •15.2.3. Дифференциальные операции второго порядка.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •124. 125. 126.
105. . 106. . 107. .
108. (контурное интегрирование не пересекает поверхность .
Найти первообразную функцию и по полному дифференциалу:
109. .
110. .
111. .
112. .
113. . 114.
С помощью формулы Грина вычислить КИ-2:
115. , гдеl – окружность .
116. , гдеl – эллипс .
117. Вычислить , гдеl – простой замкнутый контур, пробегаемый в положительном направлении. Указание. Рассмотреть случаи: 1) начало координат находится вне контура l; 2) контур l окружает начало координат.
118. В каждой точке эллипса приложена сила, равная по величине расстоянию от точкиM до центра эллипса и направленная к центру эллипса. Найти работу при перемещении в положительном направлении: а) вдоль дуги эллипса в первом октанте; б) вдоль всего эллипса.
119. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки ее приложения от оси Oz , перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу этой силы по окружности от точкидо точки.Указание. .
14.6. Поверхностные интегралы
14.6.1. Двусторонние поверхности и их ориентация
Гладкая поверхность называется двусторонней поверхностью , если при возвращении в исходную точку после обхода замкнутого контура , лежащего на и не имеющего общих точек с ее границей, направление нормали к поверхности не меняется.
Совокупность всех точек поверхности с приписанными в них по указанному правилу нормалями называется определенной стороной поверхности.
Выбор определенной стороны поверхности называется ориентацией поверхности. Выбранная сторона - это положительная сторона поверхности. Для замкнутой поверхности положительной считается внешняя сторона.
Если задана неявным уравнением , то сторона характеризуется одним из единичных нормальных векторов
. (6.1)
Если задана явным уравнением ,, то сторона характеризуется одним из векторов:
, . (6.2)
14.6.2. Поверхностный интеграл первого рода (пи-1)
Пусть : 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно-гладкой) поверхности из пространства , ограниченной кусочно-гладким контуром, определена ограниченная скалярная функция; 2) - произвольное разбиение на n частей с площадямии диаметрами; 3) - произвольный набор точек;
4)- интегральная сумма, соответствующая данному разбиению поверхности и выбору точек .
Определение. Конечный предел интегральной суммы при,не зависящий ни от способа разбиения поверхности, ни от выбора точек , называетсяповерхностным интегралом первого рода от функции по поверхности:
.
Вычисление ПИ-1. Теорема 14.10. Если : 1) поверхность задана неявным уравнением иесть решение этого уравнения приили- решение уравнения при, или-решение уравнения при, где- проекции на плоскости - соответственно, 2) между точками и ее соответствующей проекцией установлено взаимно однозначное соответствие, то
, (6.3)
причем ПИ-1 существует, если существуют соответствующие двойные интегралы.
Здесь координаты вектораи находятся по формулам (6.1). ПИ-1 не зависит от выбора стороны поверхности.
Следствие. При явном задании : в силу (6.2) из (6.3) получим
. (6.4)
Некоторые приложения ПИ-1
Масса материальной поверхности. Пусть - поверхностная плотность материальной поверхности площади s. Тогда масса этой поверхности .
Площадь искривленной поверхности . Если принять в предыдущей формуле , то масса поверхности числено равна площади s , т.е. .
Статические моменты материальной поверхности с поверхностной плотностью и массой m относительно плоскостей соответственно равны: ,,.
Координаты центра тяжести материальной поверхности :
.