Цель работы:

1. Изучение метода определения моментов инерции путем крутильных

колебаний.

2. Определение момента инерции цилиндра относительно оси, проходящей вне цилиндра, параллельной его оси симметрии.

Теория метода

При рассмотрении многих задач динамики вращательного и колебательного движения важное значение имеет понятие момента инерции твердого тела относительно заданной оси.

Моментом инерции I материальной точки относительно какой-либо оси называется произведение массы m этой точки на квадрат её расстояния r до оси:

(14)

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен сумме моментов инерции материальных точек тела относительно этой оси (закон аддитивности):

(15)

Момент инерции является физической величиной, характеризующей инерционность тела при изменении им угловой скорости под действием вращающего момента. Момент инерции одного и того же тела будет различным в зависимости от выбора оси вращения. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр его инерции, то момент инерции относительно другой оси, параллельной первой, может быть найден на основании теоремы Штейнера. Момент инерции тела I относительно произвольной оси равен моменту инерции тела I₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, плюс произведение массы тела и квадрата расстояния а между осями (рис.2):

I = I₀ + ma² (16)

Описание экспериментальной установки.

Установка представляет собой кронштейн (рис.3) с подвешенным на проволоке диском 1.

Если диск повернуть на некоторый угол и отпустить, то возникнут крутильные колебания.

Дифференциальное уравнение движения системы согласно основному закону динамики вращательного движения можно записать:

(17)

где: I - момент инерции системы,

- угловое ускорение системы,

с - модуль кручения, зависит от материала, диаметра и длины проволоки.

Уравнение (17) легко приводится к виду:

В теории колебаний показывается, что коэффициент перед  в этом уравнении имеет физический смысл квадрата собственной циклической частоты, т.е.

, ,(18)

Таким образом, из формулы (18) следует, что момент инерции диска равен:

(19)

Откуда модуль кручения с проволоки можно рассчитать по формуле:

(20)

где - период крутильных колебаний диска.

Исследуемое тело – цилиндр 2 (рис.3). Чтобы система тел была симметрична относительно проволоки – оси вращения, берут два одинаковых цилиндра и устанавливают на краю диска. Для такой системы момент инерции равен сумме моментов инерции двух цилиндров и диска. Согласно формуле (19) период крутильных колебанийT системы этих тел увеличится:

Подставив в это выражение значение модуля кручения проволоки c (20), получим

Отсюда для момента инерции исследуемого тела имеем:

Если учесть, что

и

то получим рабочую формулу:

(21)

где: t, и tэ - время N колебаний системы - исследуемых цилиндров с эталоном - диском и эталона - диска соответственно;

M, D - масса и диаметр диска.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

1. Рычажком в верхней части экспериментальной установки возбудить крутильные колебания диска, при этом достигается почти полное отсутствие других, не крутильных колебаний для снижения систематической погрешности.

2. Измерить время N полных колебаний (N = 20-30) диска .

3. Повторить измерения 3 раза, записать результаты в таблицу формы 2.

Форма 2

Число колебаний N	Время колебаний						D, (м)	D, (м)	M, (кг)	m, (кг)	a, (м)
	tэ, с			t, с

4. Установить на диск два цилиндра. Возбудить крутильные колебания, измерить время N полных колебаний системы тел не менее 3 раз.

5. Поменять цилиндры. Измерить время N полных колебаний системы тел не менее 3 раз.

6. Записать в таблицу формы 2 массы и диаметры диска и цилиндров. Измерить расстояние a от оси проволоки до центра цилиндров.

7. Провести обработку результатов, сделать выводы.

Обработка результатов измерения.

1. Рассчитать экспериментальные значения моментов инерции цилиндров по формуле (21).

2. Сравнить полученные значения с теоретическими, полученными по теореме Штейнера:

, (22)

где m – масса цилиндра, d - диаметр цилиндра, a - расстояние от оси проволоки до центра цилиндра на диске.

3. Оценить погрешность измерения момента инерции цилиндра по формуле:

, (23)

где - погрешность измерения времени крутильных колебаний.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сформулируйте теорему Штейнера.

2. Запишите формулы для момента инерции материальной точки, тела.

3. Выведите выражения для вычисления I и I.

Лабораторная работа № 5