Приложение 1

Пример построения модели для метода исследования работоспособности ХТС

В этом примере формализации физико-процессно-математической модели наглядно демонстрируется сам подход к этой формализации. Главное, что здесь мощно работает теория процессов и аппаратов химической технологии. Одновременно показывается последовательность формализации модели: сначала заданные параметры, потом законы сохранения в виде материальных и тепловых балансов, потом поиск количественных связей об интенсивностях процессов переноса и окончательно – замкнутая модель аппарата (процесса). В модели должны фигурировать все aprioryизвестные заданные параметры, возможно появление новых заданных параметров. Итак, ищутся потоки и их параметрына выходе из аппарата в зависимости от потоков и их параметровна входе.

Далее в примере будем выполнять одно из правил формализации модели: все величины, известные с хорошей точностью, будем записывать в модели в виде чисел с размерностью в СИ. Это позволяет не увеличивать размерность модели и ее громоздкость.

Рис. Расчетная схема аппарата – зоны термообработки

в линии производства керамзитового песка мощностью 50 тыс. м³/год.

На этом рисунке:

G_Г^′- массовый расход глины на входе в аппарат, кг. а.с.гл./с.

a′ - влажность глины, кг воды/кг. а.с.гл.

t₀– температура частиц глины на входе в аппарат,⁰С.

f^′(d) – плотность распределения вероятностей случайного размераdчастицы глины, м^-1.

G_ДГ– массовый расход абсолютно сухих дымовых газов на входе в аппарат, кг.а.с.дг./с.

G^′_ПЫЛЬ– массовый расход абсолютно сухой пыли глины на входе в аппарат, кг. пыли/с.

u′ - влажность дымовых газов, кг. воды/кг. а.с.дг.

t_ДГ– температура дымовых газов на входе в аппарат,⁰С.

G″_ГЛ– массовый расход абсолютно сухой глины на выходе из аппарата, кг. а.с.гл./с.

а″ - влажность глины на выходе из аппарата, кг. воды/кг.а.с.гл.

t– температура в зоне термообработки, зернистого материала и газов с пылью на выходе из аппарата,⁰С.

f″(d) – плотность распределения вероятностей случайного размера d частиц глины в псевдоожиженном слое и на выходе из аппарата, м^-1.

G_ДГ– массовый расход абсолютно сухих дымовых газов на выходе из аппарата, эти газы проходят аппарат как инерт с постоянным расходом, кг. а.с.г./с.

G″_ПЫЛЬ– массовый расход пыли на выходе из аппарата, эта пыль принимается абсолютно сухой, кг. пыли/с.

u″ - влажность дымовых газов на выходе из аппарата, кг. воды/кг.а.с.дг.

Заданные параметры:температура в аппарате t, W – число псевдоожижения в слое аппарата.

Пишем законы сохранения.

Баланс по абсолютно сухой глине:

G′_ГЛ+ G′_ПЫЛЬ= G″_ГЛ+ G″_ПЫЛЬ(1)

Баланс по воде:

G′_ГЛ∙ а′ + G_ДГ∙ u′ =G_ДГ∙ u″ +G″_ГЛ∙ а″ (2)

Из экспериментов по сушке глиняных частиц известно, что влажность «а» можно разделить на два вида. Первый – свободная влага в капиллярах и трещинах в частицах и абсорбированная влага на стенках этих капилляров и трещин.Вторая– кристаллизационная вода, т.е. входящая в состав кристаллогидратов, в минералы глины. Первая удаляется при небольших температурах < 350⁰С-400⁰С, вторая – при высоких ~ 1000⁰С. Следовательно, в зоне термообработке удаляется только свободная и абсорбированная влага, а кристаллизационная а_КРИСТвлажность глины проходит аппарат в виде инерта. Величина а_КРИСТопределяется экспериментально для глин различных месторождений и считается в этой модели известной величиной. Следовательно,

а″ = а_ПЫЛЬ= а_КРИСТ(3)

Баланс по пыли:

G′_ПЫЛЬ+ G_УНОС= G″_ПЫЛЬ(4)

Здесь G_УНОС– массовый расход пыли из псевдоожиженного слоя в аппарате, кг. пыли/с. Это по существу пыль, отдуваемая из входящего потока зернистого материала.

Может удивить такое внимание разработчика модели к потокам пыли. На самом деле при эксплуатации промышленной установки величина уноса доходила до 30% от входного потока глины. Следовательно, треть самосвалов, привозящих сырцовую глину из карьера, делали бессмысленную и вредную для природы работу.

Займемся расчетом величины G_УНОСА.

Линейная скорость газовой фазы w_СЗв верху сепарационной зоны (см. рисунок).

W_СЗ= G_ДГ(1 +w″) ∙ 1/ρ_СМЕСИ∙ 4/πD²_СЗ, м/с. (5)

Плотность смеси дымовых газов и паров воды ρ_СМЕСИнайдем, зная массовые расходы дымовых газов G_ДГи массовый расход паров воды G_ВОДЫ

G_ВОДЫ= G_ДГ∙ w″, кг. воды/с. (6)

(7)

(8)

(9)

Здесь Р – давление в аппарате, Па.

Критерий Рейнольдса для уносимых частиц глины вверху сепарационной зоны аппарата:

,

где d_max– максимальный размер частиц в уносе, который технолог решил вынести из псевдоожиженного слоя, ν_СМЕСИ– коэффициент кинематической вязкости дымовых газов, справочная величина.

Расчетная формула для определения величины уноса из слоя основана на функциональной связи Re_СЗ= f(Ar) [П.1.1], где

Для

После подстановки известных численных величин окончательно получаем зависимость

(10)

Расчетную формулу для поиска потока пыли из слоя G_УНОСнаходим следующим образом. Массовый расход зернистого материала на входе равен:

G′_ГЛ= N∙ρ_ГЛ∙ πd³/6 ∙f′(d) ∙d(d),

где N - штучный расход частиц в аппарат, шт/с. Отсюда

,

,

Окончательно, G_УНОС=G′_ГЛ∙d³∙f′(d) ∙d(d) ∙ (d³∙f′(d) ∙d(d))^-1.

(11)

Сразу найдем распределение частиц по размеру d, которые останутся в слое аппарата зоны термообработки после уноса мелочи с d < d_MAXиз исходного потока глины в аппарат:

,d_MAX<d< ∞. (12)

С этим же распределением по размеру будет поток высушенного и нагретого зернистого материала в зону обжига, т.е. в следующий по технологической схеме агрегат.

Тепловой баланс зоны термообработки:

Приход:

G′_ГЛ∙с_ГЛ∙t₀– теплосодержание абс. сухой глины на входе в аппарат;

G′_ГЛ∙(а′ - а_КРИСТ)∙с_В∙t₀– теплосодержание свободной и абсорбированной воды в частицах глины;

G_ДГ∙с_р∙t_ДГ– теплосодержание абс. сухих дымовых газов на входе в псевдоожиженный слой зоны термообработки;

G_ДГ∙u′∙с_рв∙t_ДГ– теплосодержание паров воды в дымовых газах на входе в аппарат;

G′_ПЫЛЬ∙с_ГЛ∙t_ДГ– теплосодержание пыли на входе в аппарат, пришедшей из зоны обжига.

Уход:

G″_ГЛ∙с_ГЛ∙t– теплосодержание абс. сухой глины на выходе из зоны термообработки (напоминаем: кристаллизационная вода находится в минералах глины);

G_ДГ∙с_р∙t– теплосодержание абс. сухих дымовых газов на выходе из аппарата;

G″_ПЫЛИ∙с_ГЛ∙t– теплосодержание пыли на выходе;

G′_ГЛ∙(а″ - а_КРИСТ)∙с_рв∙t– теплосодержание паров воды, которые образовались в результате сушки глины;

G_ДГ∙u′∙с_рв∙t– теплосодержание паров воды, которые ранее вошли в слой с дымовыми газами;

G′_ГЛ∙(а′ - а_КРИСТ)∙r– затраты теплоты на процесс парообразования при сушке глины (теплота парообразованияr– справочная величина при температуре t).

Приравняв приход теплоты уходу, получаем зависимость температуры в зоне термообработки от параметров ведения процесса:

t= [G′_ГЛ∙с_ГЛ∙t₀+G′_ГЛ∙(а′-а_КРИСТ)∙с_ГЛ∙t₀+G_ДГ∙с_р∙t_ДГ+G_ДГ∙u′∙c_рв∙t_ДГ+

+G′_ПЫЛЬ∙с_ГЛ∙t_ДГ-G′_ГЛ∙(а′-а_КРИСТ)∙r] ∙

[G″_ГЛ∙с_ГЛ+G_ДГс_р+G″_ПЫЛЬс_ГЛ+G′_ГЛ∙(а″-а_КРИСТ)∙с_рв+G_ДГ∙u′∙c_рв]^-1(13)

Напомним, что величина t является заданным технологическим параметром. Другим, уже процессным, заданным параметром является число псевдоожижения W в зоне термообработки. По определению

W=w_р/ w_кр,

где w_р– рабочая скорость газовой фазы, рассчитанная на все сечение аппарата, w_кр– критическое число псевдоожижения. По известной формуле О.М. Тодеса имеем зависимость:

Здесь ε_кр= ε₀∙1,1 , ε₀-порозность частиц при плотной упаковке, ε₀= 0,45. Тогда ε_кр= 0,495. Критерий Архимеда

Ar≡ (gd_*³/ν_ДГ²)∙(ρ_ГЛ/ρ_СМЕСИ).

В выражениях для Re и Ar величина d_*- средний размер частиц полидисперсного псевдоожиженного слоя в аппарате:

d_*= (14)

После подстановки этого выражения в формулу Тодеса, после проведения необходимых вычислений получаем зависимость критической скорости псевдоожижения от параметров процесса:

, м/с. (15)

Рабочая скорость псевдоожижения рассчитывается как

, м/с. (16)

Тогда число псевдоожижения для слоя частиц глины в аппарате равно:

Кинетика сушки частиц глины

Механизмы переноса субстанций в частице представляется следующими. Поверхность частицы подвергается потоку теплоты от дымовых газов лучистым и конвективным механизмом. Далее теплота распространяется по объему частицы молекулярным механизмом (теплопроводностью). Свободная и адсорбированная влага в порах глины нагревается о стенки пор и трещин и затем испаряется. Пары воды движутся по порам и трещинам под действием градиента давления. Следовательно, происходит конвективный и диффузионный перенос паров по каналам длиной ~ d/2. Эти физические представления были формализованы в виде математической модели (записаны уравнения переноса теплоты и массы и сформулированы граничные условия). Полученная модель обработана методом натуральных масштабов [2]. В результате установлено, что основным лимитирующим процессом является подвод теплоты в массе глины к стенкам пор и трещин, на поверхности которых испаряется свободная и абсорбированная влага. Получилась чисто внутренняя задача процессов переноса: лучистый и конвективный подвод теплоты к поверхности частицы избыточно интенсивнее, чем молекулярный перенос теплоты в частице. Окончательно, масштаб времени прогрева частицы равен:

τ_* = d²_max /4a_ГЛ, с. (17)

Здесь а_ГЛ– коэффициент температуропроводности глины (экспериментальная величина для каждого месторождения глины). Согласно [2] за время

Т_{нагрева}= 10∙τ_*. (18)

процесс нагрева частицы произойдет со всей полнотой вплоть до равновесия с внешней средой, т.е. до температуры t в зоне термообработки.

Чтобы частица успела прогреться (и, следовательно, высохнуть), необходимо, чтобы время Т_пребпребывания самых крупных частиц в псевдоожиженном слое аппарата удовлетворяло неравенству:

Т_преб³Т_{нагрева}.

Время пребывания частицы в объеме псевдоожиженного слоя определяется массой М частиц в слое и массовым расходом G″_ГЛчастиц из аппарата. Поэтому

М = (1–ε)∙ρ_ГЛ∙πD²_ЗТ/4 ∙ Н_ЗТ, кг.

.

Если принять ε = 0,45, то получаем:

, с. (19)

Подставляя все выражения в неравенство, получаем:

Т_преб³Т_нагр→ 0,173ρ_ГЛD²_ЗТН_ЗТ /G″_ГЛ³d²_max/a_ГЛ.

Получился еще один заданный параметр – время пребывания самых крупных частиц в объеме слоя в аппарате. Если указанное неравенство будет нарушено, то частицы глины будут не досушены. Попадая затем в зону обжига с температурой ~ 1000⁰С, водяной пар просто разорвет частицу. Начнется термическое дробление частиц, резко увеличится пылеунос из зоны обжига, снизится производительность установки и возрастет экологическое давление на природу.

Сконцентрируем все искомые величины в модели.

1. G″_ГЛ– массовый поток абс. сухой глины из зоны термообработки, кг. а.с.гл/с.

2. G″_ПЫЛЬ– массовый поток а.с. пыли на выходе из зоны, кг.а.с.пыли/с.

3. а″ - влажность частиц глины на выходе из зоны, кг. влаги/кг.а.с.глины.

4. G_УНОС– массовый поток пыли из входного потока глины в зону, кг. а.с.пыли/с.

5. u″ - влажность дымовых газов на выходе из зоны, кг. влаги/кг.а.с.дг.

6. ρ_СМЕСИ– плотнось смеси паров воды с абс. сухими дымовыми газами, кг. смеси/м³.

7. ρ_ДГ– плотность абс. сухих дымовых газов, кг. дг./м³.

8. ρ_ВОДЫ– плотность паров воды в смеси, кг. воды/м³.

9. d_УНОС– максимальный размер частиц, уносимых из аппарата, м.

10. f″(d) – плотность распределения вероятностей случайного размера d частиц в псевдоожиженном слое, м^-1.

11. t– температура в псевдоожиженном слое,⁰С.

12. w_СЗ– скорость газов на выходе из сепарационной зоны аппарата с псевдоожиженным слоем, м/с.

13. d_*- средний размер частиц в слое, м.

14. w_кр– критическая скорость псевдоожижения зернистого материала, м/с.

15. w_р– рабочая скорость газа в аппарате со слоем, м/с.

16. W– число псевдоожижения зернистого материала.

17. τ_*- натуральный масштаб времени перестройки поля температуры в частице глины, с.

18. Т_{нагрева}– необходимое время нагрева частицы в слое, с.

19. Т_{пребывания}– среднее время пребывания частиц в объеме псевдоожиженного слоя, с.

Число искомых величин равно числу уравнений модели, следовательно, модель замкнута.

Напишем подмножество внешних воздействий на процессы в зоне термообработки:

1. G′_ГЛ– массовый расход абсолютно сухой глины на входе в аппарат, кг. а.с.гл./с.

2. а′ - влажность исходной глины на входе в аппарат, кг. влаги/кг.а.с.гл.

3. t₀– температура исходной глины на входе в аппарат,⁰С.

4. f′(d) – плотность распределения вероятностей случайного размера d частиц во входном потоке глины в аппарат, м^-1.

5. ν_ДГ– коэффициент кинематической вязкости дымовых газов в зависимости от температуры, м²/с.

6. ρ_ГЛ– плотность исходной глины, кг. глины/ м³.

7. с_ГЛ– удельная массовая теплоемкость глины, кДж/кг.К.

8. с_рв– удельная массовая изобарная теплоемкость паров воды, кДж/кг.К.

9. с_р– удельная массовая изобарная теплоемкость дымовых газов, кДж/кг.К.

10 r– теплота фазового перехода воды при температуреtв зоне термообработки, кДж/кг.

11. D_СЗ– диаметр сепарационной зоны аппарата, м.

12. D_ЗТ– диаметр зоны термообработки в основании псевдоожиженного слоя, м.

13. Н_ЗТ– высота псевдоожиженного слоя в аппарате, м.

14. а_КРИСТ– влажность глины, обусловленная кристаллизационной водой в минералах глины, кг. воды/кг.а.с.гл.

15. Р – давление в зоне термоподготовки, оно зависит от барометрического давления В, Па.

16. а_ГЛ– коэффициент температуропроводности глины, м²/с.

Итого – 16 внешних воздействий будут возмущать течение процессов переноса в зоне термообработки, они войдут в состав общей таблицы внешних воздействий. Заметим, что такие параметры, как G_ДГ, G′_ПЫЛЬ,u′,t_ДГ– определяются процессами в зоне обжига, это входы в зону термообработки.