3.5 Построение, решение и анализ регрессионной модели связи выручки с факторами производства

а) однофакторная модель

Корреляционно-регрессионный анализ применяется для определения количественных характеристик корреляционной связи, проявляющейся в среднем по достаточно большому числу наблюдений. С этой целью связь между переменными выражается посредством математического уравнения соответствующего вида, называемого уравнением корреляционной связи или уравнением регрессии. Например, линейная связь между двумя переменными (парная связь) выражается уравнением: , между несколькими переменными (множественная связь) -и т.д.

В уравнениях регрессии - зависимая переменная,- независимые переменные,- параметры уравнения. Параметр- начало отсчета. В уравнении линейной парной связи параметрназываетсякоэффициентом полной регрессии; он показывает, на сколько единиц в среднем изменится значение зависимой переменной при изменении независимой на единицу. В уравнениях линейной множественной связи параметры называютсякоэффициентами чистой регрессии; каждый из них показывает, на сколько единиц в среднем изменится значение зависимой переменной при изменении соответствующей независимой переменной на единицу при условии, что другие независимые переменные, включенные в уравнение, не изменяются.

Следует помнить, что вопрос об установлении вида уравнения является одним из наиболее сложных в корреляционном анализе. При парных связях он может быть решен посредством графиков путем нанесения фактических значений зависимой переменной при соответствующих значениях независимой переменной на корреляционное поле. При достаточно большом числе единиц наблюдения определенное представление о виде уравнения дает построение рядов распределения по двум признакам, или так называемых корреляционных таблиц.

Для изучения наличия и направления связи выручки на 1 га с.-х. угодий с несколькими факторами эффективно применение результативной группировки по выручке с рассмотрением средних значений факторных признаков (см.п.А). Для определения формы связи можно сопоставить по каждой группе средние значения результативного и факторных признаков. Постоянство этих соотношений по группам будет свидетельствовать о наличии линейной формы связи. Перед составлением уравнения множественной связи необходимо исключение возможной коллинеарности факторов. С этой целью анализируется матрица парных коэффициентов корреляции, которая может быть получена в результате анализа данных по программе Excel (корреляция). Но коэффициент парной корреляции между факторами в матрице не превышает по своему значению коэффициенты парной корреляции результативного признака (выручки) с каждым из них, то в одну модель можно включать оба фактора.

После установления вида уравнения необходимо исчислить показатели регрессионной связи. В частности, следует решить уравнение регрессии, то есть найти значения его параметров.

При этом параметры уравнения должны быть определены способом наименьших квадратов, в соответствии с которым сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной от значений, определенных по уравнению, должна быть минимальной: . Поэтому для определения параметров решают систему нормальных уравнений. Число нормальных уравнений в системе равно числу параметров уравнения регрессии. Так, для парной линейной связи, выраженной уравнениемх₀=а₀+а₁х₁ , где а₀ и а₁ - неизвестные параметры уравнения, система нормальных уравнений имеет вид(47):

(47)

Таблица 19 -Исходные и расчетные данные по выручке и трудовым ресурсам

Номер	Исходные данные		Расчетные данные
	Выручка, x0	человек, x1	x0*x1	x0^2	x1^2
1	6,93	5,15	35,693213	48,02680833	26,52696
2	8,60	9,43	81,10866	74,04108645	88,85087
3	10,11	17,55	177,39248	102,1595374	308,0289
4	10,90	4,95	53,907821	118,8052712	24,46064
5	12,80	2,34	29,929229	163,8417935	5,467218
6	14,40	3,09	44,519715	207,3616043	9,558207
7	15,49	4,52	70,034739	240,0113608	20,43597
8	15,93	2,65	42,259938	253,621391	7,041608
9	17,48	3,06	53,522774	305,6801671	9,371519
10	18,60	4,24	78,862163	346,0081636	17,97426
11	19,51	0,63	12,382731	380,7308695	0,402731
12	20,28	4,06	82,43678	411,4226077	16,51786
13	20,98	6,33	132,72916	440,2654475	40,01456
14	21,80	2,93	63,947122	475,3910944	8,601832
15	22,54	1,57	35,468721	508,0303185	2,47629
16	23,27	2,12	49,280956	541,5859212	4,484261
17	24,87	5,57	138,54712	618,5470047	31,03289
18	26,34	4,97	131,02939	693,9960375	24,73891
19	27,98	3,89	108,9148	782,710783	15,15558
20	29,04	4,13	119,86068	843,1408302	17,03936
21	30,33	20,47	620,71879	919,6708323	418,9454
22	31,76	3,40	107,93631	1008,958915	11,5468
23	38,40	6,56	251,93648	1474,753572	43,03905
24	45,72	10,72	490,03704	2090,382128	114,8767
25	66,35	73,85	4899,4083	4401,81213	5453,254
26	86,18	10,62	915,47641	7427,466865	112,8375
27	121,04	31,31	3790,3464	14650,63134	980,6216
28	167,82	30,32	5087,897	28165,11672	919,1049
29	523,75	52,93	27719,747	274314,0625	2801,112
30	4183,44	943,75	3948119,1	17501149,32	890664,1
Итого	5662,66	1277,11	3993544,47	17843157,55	902197,58
Средняя	188,75536	42,570419	133118,15	594771,9183	30073,25

Таблица 20- Вывод итогов
Регрессионная статистика
Множественный R			0,998187
R-квадрат			0,996378
Нормированный R-квадрат			0,996257
Стандартная ошибка			74,36633
Наблюдения			32
Дисперсионный анализ
			df		SS	MS	F	Значимость F
Регрессия			1		45635667,11	45635667,11	8251,856894	3,51077E-38
Остаток			30		165910,5376	5530,351252
Итого			31		45801577,64
			Коэффициенты		Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение			0,236012		13,72925022	0,017190422	0,986398523
человек, x1			4,431048		0,048778739	90,83973191	3,51077E-38
Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%		Верхние 95,0%
-27,80285786	28,27488108	-27,80285786		28,27488108
4,331428122	4,530667072	4,331428122		4,530667072

Система нормальных уравнений для однофакторной модели(47.1):

(47.1)

a0=0,333

a1=4, 425

Следовательно, уравнения связи ( однофакторная модель) будет выглядеть так(48):

X 0,1=0,333+4,425x1 ₍₄₈₎

Вывод: Параметр a₀=0,333 - начало отсчета. В уравнении линейной парной связи параметр a₁=4,425 называется коэффициентом полной регрессии; он показывает, на сколько единиц в среднем изменится значение зависимой переменной при изменении независимой на единицу, т.е. при изменении независимой переменной на единицу, значение зависимой переменной изменится на 4,425.

б) многофакторная модель

Для проведения многофакторного корреляционно-регрессионного анализа взяты следующие факторы: затраты на 1 га с.-х. угодий предприятий и число работников на 1 га с.-х. угодий. Необходимо определить наличие и направление связи выручки с данными факторами.

Регрессионный и корреляционный анализ выполнен с помощью средств Microsoft Excel.

Таблица 21- вывод итогов
Регрессионная статистика
Множественный R	0,998302044
R-квадрат	0,996606972
Нормированный R-квадрат	0,99637297
Стандартная ошибка	73,20402364
Наблюдения	32
Дисперсионный анализ
	df	SS		MS		F		Значимость F
Регрессия	2	45646171,6		22823085,8		4258,968791		1,56141E-36
Остаток	29	155406,0433		5358,829078
Итого	31	45801577,64
	Коэффициенты	Стандартная ошибка		t-статистика		P-Значение
Y-пересечение	-3,346862933	13,75481816		-0,24332295		0,809468208
человек, x1	5,725753174	0,925983113		6,183431526		9,64141E-07
Произв. Затрат, х2	-0,012229529	0,008734883		-1,40007926		0,172097668

Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
-31,47862433	24,78489846	-31,47862433	24,78489846
3,831905092	7,619601256	3,831905092	7,619601256
-0,030094371	0,005635313	-0,030094371	0,005635313

Матрица корреляционных связей показывает, что между факторными признаками существует тесная связь. Следует учесть, что в экономике многие факторы тесно связаны друг с другом. Поэтому при минимальном числе исходных факторных признаков в данной курсовой работе, включаются оба фактора в одно уравнение с оговоркой, что выводы будут не вполне объективными и каждый фактор в силу положительной их связи будет преувеличивать значимость отдельного признака.

Таким образом, в результате решения по программе Expel получены следующие коэффициенты уравнения: a0 = -3,35; a1 = 5,73 a2 = -0,01.

Уравнение регрессии в решенном виде: y = -3,35+5,73х1-0,01х2.

При этом: a0 = -3,35 – условное начало отсчета результативного признака при нулевом значении факторов, т.е. возможное значение выручки на 1 га с.-х. угодий при нулевых затратах и численности работников, если такие уровни факторов могут быть в производстве; a1 = 5,73 – коэффициент чистой регрессии при факторе х1, показывает, что с увеличением затрат на 1 тыс. руб. на 1 га с.-х. угодий выручка в среднем увеличивается на 5,73 тыс. руб. при фиксированной численности работников; a2 = -0,01- коэффициент чистой регрессии при факторе х2, показывает, что с увеличением численности работников на одного, выручка в среднем уменьшится на 0,01 тыс. руб. при условии, что затраты зафиксированы на среднем уровне.