Вычисление определенных интегралов

Приближенное вычисление определенного интеграла основано на геометрическом смысле интеграла и сводится к приближенному вычислению площади, ограниченной графиком подынтегральной функции f(x), прямыми x = a = x₀, x = b = x_n и осью OX. Интервал [a, b] делится на n равных частей длиной . Тогда значениямx_i = x _{i  1} + h, i = 1, 2, ..., n соответствуют значения y_i = f(x_i).

Согласно методу левых прямоугольников, искомая площадь вычисляется как сумма площадей прямоугольников, основание которых равно h, а высота равна соответственно y₀ для первого прямоугольника, y₁ – для второго и т. д. вплоть до последнего с высотой y _{n  1}. Тогда

Приближенное значение определенного интеграла по методу правых прямоугольников вычисляется по формуле

Согласно методу трапеций значение интеграла определяется по формуле

Например, для n = 5 метод трапеций дает следующее выражение для приближенного вычисления интеграла:

Здесь h = (2 – 1) / 5, y₀ = 1³, y₁ = (1+1 / 5)³ и т. д.

Рассмотрим алгоритм метода трапеций.

1. Ввод a, b, n.

2. Вычисление , x = a + h, s = 0.

3. Расчет s = s + f(x), x = x + h.

4. Если x > (b – h), то переход к пункту 5, иначе – переход к пункту 3.

5. Вычисление значения интеграла

6. Вывод z.

При использовании метода парабол для вычисления определенного интеграла интервал [a, b] делится на четное количество частей – 2n. Тогда , x_i = x_i–1 + h, i = 1, 2, …, 2n.

Алгоритм метода парабол

1. Ввод a, b, n.

2. Вычисление , x = a + 2h, s1= 0, s2 = 0, i = 1.

3. Расчет s2 = s2 + f(x) , x = x + h, s1 = s1 + f(x), x = x + h, i = i + 1.

4. Если i < n – 1, то переход к пункту 3, иначе – переход к следующему пункту.

5. Вычисление значения интеграла:

6.  

7. Вывод z.

Здесь s1 = y₃ + y₅ + … + y_{2n  1}, а s2 = y₂ + y₄ + … + y_{2n  2}.

Приближенное вычисление интеграла в приложении Excel. В приложении Excel можно составить программы по алгоритмам, приведенным выше, на языке VBA. Рассмотрим пример.

Пусть на рабочем листе Excel в ячейках А1, А2, А3 располагаются значения a, b и n. На этом же листе можно создать кнопку и составить для неё программу вычисления, например, интеграла методом левых прямоугольников.

Sub CommandButton_Click()

a = Range(“A1”)

b = Range(“A2”)

n = Range(“A3”)

h = (b  a) / n : S = 0

For x = a To b  h Step h

S = S + Fint(x)

Next

z = h * S

Range(“A4”) = z

End Sub

Подпрограмма записывается на листе кода до или после основной программы.

Function Fint(x)

Fint = x ^ 3

End Function

Здесь a = 1, b = 2, значение n можно определить достаточно большим, например, n = 200. Функция пользователя Fint(x) вычисляет значение подынтегральной функции.

Для вычисления интеграла методом правых прямоугольников надо в вышеприведенной программе внести изменения в оператор For: For x = a + h To b Step h

Приближенное вычисление интеграла в приложении Mathcad. Для вычисления определенного интеграла в приложении Mathcad нужно записать интеграл, подынтегральную функцию и пределы интегрирования. Например:

Для получения численного значения записывается выражение:

z =

Назад