Получение математической модели одномерного объекта

Для определения математической модели некоторого объекта нужно провести эксперимент и получить табличную зависимость значений выходного параметра процесса y от значений входного параметра x. Затем для выбранного вида математической модели, которую в общем виде можно записать y = f(x, a0, a1, a2, …, am), определяются значения параметров a0, a1, …, am, которые обеспечивают соответствие этой модели экспериментальным данным.

В соответствии с методом наименьших квадратов параметры a0, a1, …,am выбираются так, чтобы была минимальной сумма квадратов:

Чтобы найти нужные параметры, следует взять частные производные от правой части по a0, a1, …, am и приравнять их к нулю. Полученную систему уравнений можно решить одним из известных методов.

Например, для полинома второй степени y = a0 + a1x + a2x² искомые значения a0, a1, a2 определяются решением системы линейных уравнений:

Рассмотрим алгоритм метода наименьших квадратов для вычисления коэффициентов полинома второй степени:

1. Ввод количества опытов n, значений x₁, x₂, …, x_n, y₁, y₂, …, y_n.

2. Определение коэффициентов системы линейных уравнений:

a_1,2 = a_1,3 = a_2,3 = a_3,3 = b₁ = b₂ = b₃ =

a_1,1 = n, a_2,1 = a_1,2, a_2,2 = a_1,3, a_3,1 = a_1,3, a_3,2 = a_2,3.

3. Решение системы AZ = B, где A – матрица коэффициентов; Z – вектор, в котором определяются корни z₁ = a0, z₂ = a1, z₃ = a2; B – вектор свободных членов системы.

4. Вывод искомых коэффициентов a0, a1, a2.

5. Определение и вывод разностей (так называемых невязок) ₁, ₂, …, _n.

Рассмотрим пример, в котором определяется система уравнений для вычисления параметров a, b, c математической модели y = acos(x) + bln(x) + c.

Частные производные:

Таким образом, система линейных уравнений для определения параметров модели y = acos(x) + bln(x) + c принимает вид:

Получение математических моделей одномерных объектов в приложении Excel. В приложении Excel имеется возможность получения математических моделей через построение графиков функций. Пусть имеются значения x₁, x₂, …, x_n и соответствующие им значения y₁, y₂, …, y_n. Надо для этих данных построить точечный график и выполнить Работа с диаграммами / Макеты диаграмм / Добавить элемент диаграммы / Линия тренда / Дополнительные параметры линии тренда.

В появившемся окне на вкладке определить вид математической модели и отметить флажок Показывать уравнение на диаграмме. После нажатия ОK искомое уравнение появится на графике.

Получение математических моделей одномерных объектов в приложении Mathcad. В приложении Mathcad можно записать формулы приведенного выше алгоритма и вычислить коэффициенты функциональной зависимости. Существуют также и встроенные функции для определения математических моделей.

Например, пусть имеются значения х и у, полученные в результате проведения опытов. Надо найти математическую модель в виде полинома второй степени: y = a0 + a1 x + a2 x²

Можно использовать для решения задачи встроенную функцию linfit. На листе Mathcad тогда нужно записать:

А:= linfit(Х,Y,F)

Вычисленные значения a0, a1, a2 будут записаны в векторе А, который появится после ввода: A =

Для построения графика теперь можно определить значения:

i:= 0..5 t:= 0, 0.01..1 Z(t):= F(t)*A

Здесь Z(t) − искомая математическая модель.

Если построить на одном графике зависимость Z(t) от t и зависимость Y_i от X_i, то можно сравнить, насколько хорошо полученный полином описывает данные опытов.

Назад