Решение систем линейных уравнений

С

Подпрограмма решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Sub Gauss(A, B, n, X)

For k = 1 To n – 1

For i = k + 1 To n

C = A(i, k) / A(k, k)

For j = k + 1 To n

A(i, j) = A(i, j) – C * A(k, j)

Next

B(i) = B(i) – C * B(k)

Next

Next

X(n) = B(n) / A(n, n)

For i = n – 1 To 1 Step – 1

S = 0

For j = i + 1 To n

S = S + A(i, j) * X(j)

Next

X(i) = (B(i) – S) / A(i, i)

Next

End Sub

истема линейных уравнений в матричном виде имеет вид

AX = B.

Рассмотрим алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

1. Выполнение пунктов 2–6 данного алгоритма с изменением номера вычитаемого уравнения k с 1 до n – 1.

2. Выполнение пунктов 3–6 с изменением номера уравнения i, из которого производится вычитание, с k + 1 до n.

3. Вычисление c = a_ik / a_kk, a_ik = 0.

4. Выполнение пункта 5 с изменением номера столбца j c k + 1 до n.

5. Расчет a_ij = a_ij – ca_kj.

6. Вычисление b_i = b_i – cb_k.

7. Определение корня x_n = b_n / a_nn.

8. Выполнение пунктов 10–13 с изменением номера уравнения i с n – 1 до 1.

9. Подготовка переменной для вычисления суммы s = 0.

10. Выполнение пункта 11 с изменением номера столбца j с i + 1 до n.

11. Вычисление s = s + a_ijx_j.

12. Определение x_i = (b_i – s) / a_ii.

Согласно матричному методу решение системы определяется соотношением X = A^–1B. Элементы вектора X и являются корнями системы линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений в приложении Excel. В приложении Excel для решения системы линейных уравнений можно написать основную программу, в которой надо осуществить ввод матриц А и В, обращение к подпрограмме, реализующей рассмотренный выше метод Гаусса, и вывод результатов.

Рассмотрим способы использования матричного метода для решения системы линейных уравнений в приложении Excel. Пусть имеется система линейных уравнений третьего порядка. Первоначально необходимо ввести элементы матрицы А, например в ячейки А1:С3. Затем – вектор В, например в ячейки Е1:Е3.

Далее следует выделить диапазон ячеек для вычисления корней, например G1:G3, и в строке формул набрать:

=МУМНОЖ(МОБР(A1:C3);E1:E3)

После ее набора нажать не одну клавишу ввода, а вместе три клавиши: <Shift> + <Ctrl> + <Enter>. В ячейках G1:G3 появятся вычисленные корни системы линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений в приложении Mathcad. Рассмотрим решение систем линейных уравнений в приложении Mathcad матричным методом. Сначала записываются коэффициенты системы в матрицу A. Далее задается вектор B и записывается формула для определения корней:

X:= A^–1B.

Корни вычисляются после набора выражения:

X =

Решение систем нелинейных уравнений в приложении Mathcad.Системы нелинейных уравнений могут иметь разнообразный вид. Рассмотрим способ решения системы нелинейных уравнений на примере.

Пусть имеется система:

Чтобы решить эту систему в приложении Mathcad, надо записать начальные приближения корней и систему уравнений в блоке given:

x1:= 1 x2:= 1

given

5x1 x2 + 0.2x2 = – 6

– 6x1 + 4x1x2 = 0.8

При записи системы используется не знак равенства, а знак логического равенства =, который имеется на панели Логический. Затем вводится встроенная функция:

r:= find(x1, x2)

Чтобы получить значения корней, надо записать:

r =

Назад