Как понимать квантовую механику
.pdf
¨ |
203 |
7.2. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ |
Эту же аналогию можно ожидать исходя из специальной теории относительности, в которой время — дополнительная координата, энергия — компонента 4-мерного импульса по времени, частота — компонента 4-мер- ного волнового вектора по времени.
Однако рассматриваемая нами (гамильтонова) формулировка квантовой механики предполагает выделение времени из числа пространственновременных координат. В рассматриваемом формализме время, в отличие от пространственных координат, — не наблюдаемая (эрмитов оператор), а некоторый числовой параметр. Пространственные координаты проквантовались (стали операторами), а время осталось классическим (числовым параметром).
Описание времени как числового параметра не позволяет описать процесс его измерения. «Время — это то, что измеряется часами» (см. эпиграф к данному разделу). То есть измерение времени — это измерение состояния часов, а соответствующая наблюдаемая («физическое время»), например, —
координата стрелки часов.
Оператор «физического времени» τˆ должен удовлетворять условию5
dτˆ |
= 1 |
|
ˆ |
(7.7) |
dt |
[ˆτ , H] = i¯h. |
Соотношение (7.7) можно заменить более слабым соотношением, представляющим его ограничение на интересующее нас подпространство состояний:
d τˆ |
|
ˆ |
|
dt |
= 1 |
[ˆτ , H] = i¯h. |
(7.8) |
5Данное замечание предназначено исключительно тем читателям, которые знакомы с ковариантными и контравариантными векторами применительно к специальной теории относительности. Векторы и ковекторы в данном случае следует понимать по отношению к линей-
ным преобразованиям координат. |
|
|
|
Если «сократить» уравнение Шредингера¨ |
ˆ |
∂ |
ψ на волновую функцию, то мы |
Hψ = i¯h |
∂t |
получим для гамильтониана выражение, аналогичное выражению для импульса с противо-
ˆ |
∂ |
. Формальное вычисление коммутатора [t, i¯h |
∂ |
|
−i¯h дает¨ |
положным знаком: H = i¯h |
∂t |
∂t |
] = |
противоположный (по сравнению с коммутатором координата-импульс) знак. Как это совмес-
ˆ
тить с [ˆτ , H] = +i¯h? Дело в том, что канонические коммутационные соотношения пишутся для обобщенных¨ координат и импульсов. Обобщенные¨ импульсы в теоретической механике
pα = ∂L следует считать компонентами ковариантного вектора. Однако 4-вектор энергии-
∂q˙α
импульса с компонентами pi = (E, px, py , pz ) — это контравариантный вектор. Таким образом, соответствие коммутатора время-энергия коммутатору координата-импульс должно иметь место только после того, как у всех компонентов импульса (включая энергию) будут с помощью метрики Минковского опущены индексы: pi = (E, −px, −py , −pz ) = i¯h i. Действительно, компоненты оператора набла образуют ковариантный вектор.
204 ГЛАВА 7
Соотношение неопределенностей¨ |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
||
для пары операторов τˆ-H записыва- |
|||||||||
ется стандартным образом (7.2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(δτ ) |
2 |
(δE) |
2 |
|
¯h2 |
(7.9) |
|||
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
4 |
|||||||
Как и другие соотношения неопределенности,¨ соотношение времяэнергия может интерпретироваться по-разному.
Так что же мы посчитали? (ф)
Введя оператор «физического времени», мы, тем самым, предположили, что рассматриваемая квантовая система содержит в своем¨ составе часы.
Можно было бы обсудить допустимость включения микро- и макрочасов в состав квантовой системы с точки зрения различных интерпретаций квантовой механики (такое обсуждение было бы практически тождественно обсуждению возможности включения в квантовую систему наблюдателя), однако такие рассуждения лишь уводят в сторону от главного вопроса: «Неопределенность¨ какой именно энергии мы обсуждаем?»
Если часы входят в квантовую систему в качестве отдельной подсистемы, слабо взаимодействующей с остальными степенями свободы, то мы
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
может выделить из суммарного гамильтониана H гамильтониан часов Hч, |
|||||
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
гамильтониан оставшейся части H0 |
и их взаимодействие V : |
||||
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
H = Hч + H0 |
+ V , |
[ˆτ , Hч |
] = i¯h, [ˆτ , H0 |
] = 0, [ˆτ , V ] = 0. |
|
Таким образом, неопределенность¨ энергии системы оказывается на самом деле неопределенностью¨ энергии часов.
Таким образом, соотношение неопределенностей¨ время-энергия (7.9) применимо не просто к системе, включающей часы, а к системе, которая
сама является часами.
Если система не является часами (ф)
Если квантовая система не является часами, то вместо «часовой стрелки» можно использовать любые зависящие от времени процессы. На малых временах любая несохраняющаяся наблюдаемая может выступать в роли
ˆ
«физического времени». Для не зависящей явно от времени наблюдаемой A имеем
ˆ |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
ˆ |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||
dA |
|
|
|
|
|
¯h |
dA |
|
|||||
|
= |
|
[A,ˆ Hˆ ], |
(δA) |
(δE) |
|
4 |
i[A,ˆ Hˆ ] |
|
= |
|
" dt |
# . (7.10) |
dt |
i¯h |
|
4 |
¨ |
205 |
7.2. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ |
ˆ
Если теперь учесть скорость хода «часов» ddtA , то получаем
|
2 |
2 |
|
¯h2 |
(7.11) |
(δt) |
(δE) |
4 . |
|||
|
|
|
|
|
|
(δA)2
" ˆ #2 dA
dt
Полученное соотношение может быть интерпретировано как связь характерного времени эволюции системы с неопределенностью¨ ее¨ энергии.
Время жизни и ширина уровня (ф)
Важный случай применения соотношения неопределенностей¨ времяэнергия (7.9) — связь времени жизни и ширины энергетического уровня для квазистационарного состояния.
Квазистационарное состояние на малых временах ведет¨ себя как стационарное состояние, но его амплитуда экспоненциально уменьшается со временем (см. 13.5.6 «Квазистационарные состояния в квазиклассике»). Примеры квазистационарных состояний: ядро радиоактивного атома (со временем распадается), атом в возбужденном¨ состоянии (со временем излучает фотон и переходит в состояние с меньшей энергией) и т. п.
Закон радиоактивного распада имеет вид
nˆ = n0e− |
t |
(7.12) |
τ0 , |
где nˆ — оператор числа нераспавшихся квазистационарных систем, а τ0 — время жизни. Начальное число нераспавшихся систем n0 = 1.
Среднее время жизни квазистационарного состояния и средний квадрат времени жизни вычисляются исходя из (7.12):
|
|
|
∞ |
|
t |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
t e− τ0 |
|
|
|
|
|
e− τ0 |
|
|
|||||||||||||
t0 |
= |
|
|
dt = τ0, |
t0 |
= |
|
t |
|
dt = 2τ0 . |
|||||||||||||
τ0 |
|
τ0 |
|
||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯h2 |
|
¯h |
2 |
|||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
. |
||||||
δt0 |
= t0 |
− t0 |
|
= τ0 |
δE |
|
|
= |
|
|
|||||||||||||
|
|
4τ02 |
2τ0 |
||||||||||||||||||||
Минимальную неопределенность¨ энергии ¯h в этом случае следует трак-
товать как ширину уровня энергии
2τ0
δE0 = |
¯h |
. |
(7.13) |
|
|||
|
2τ0 |
|
|
206 |
ГЛАВА 7 |
Действительно, колебание с экспоненциально затухающей амплитудой не может иметь строго определенную¨ частоту.
Квазистационарное состояние — это очень интересный пример, т. к. в нем¨ система является часами: время может измеряться по тому, какая доля ансамбля систем в квазистационарных состояниях распалась.
Простейшие (и грубейшие) часы такого типа определяют распалась ли единственная система, или еще¨ нет. Конечно, такие «часы» дают нам лишь два возможных «положения стрелки». Естественно откалибровать эти часы следующим образом:
nˆ = 1, τ = 0;
|
|
|
|
nˆ = 0, τ = τ0. |
|||
Тогда среднее время, показываемое часами, — |
|||||||
|
|
|
|
τˆ = τ0(1 − e− |
t |
||
|
|
|
|
τ0 |
). |
||
|
d τˆ |
= e− |
t |
||||
Мы видим, что |
τ0 |
, т. е. часы удовлетворяют условию (7.8) только |
|||||
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
в точке 0, с характерным временем ухода τ0.
Мы можем построить более точные часы из n0 систем в квазистационарых состояниях. Поскольку спектр оператора числа систем nˆ все¨ равно будет ограничен (собственные числа от 0 до n0 с шагом 1), такие часы попрежнему смогут измерять только ограниченные интервалы времени, но длина шкалы будет расти как ln n0.
Длительность измерения и точность определения энергии (ф)
Наиболее употребимая интерпретация соотношения неопределенностей¨ время-энергия — связь длительности измерения энергии и его точности.
Приведенные¨ выше рассуждения рассматривали идеальное мгновенное квантовомеханическое измерение. Моделирование реального процесса квантового наблюдения будет также обсуждаться ниже в разделе 8.2 «Моделирование измерительного прибора*».
(фф*) Пусть измеряемая квантовая система («микросистема») описы-
ˆ
вается гамильтонианом H0, а измерение состоит во взаимодействии систе-
ˆ
мы с часами, описывающимися гамильтонианом Hч. До начала измерения обе подсистемы (микросистема и часы) имеют определенную¨ энергию и не взаимодействуют. В некоторый момент времени t0 часы включают взаимо-
ˆ
действие V0 с микросистемой. Соответствующая добавка к гамильтониану
ˆ ˆ |
δ(ˆτ |
− t0). |
V = V0 |
208 |
ГЛАВА 7 |
К числу таких явлений относится дифракция в оптике, если учитывать, что электромагнитная волна переносится дискретными фотонами. При дифракции на каком-либо препятствии дифракционная картина образуется теми фотонами, которые пролетели мимо препятствия и никак с ним не взаимодействовали. То, что при этом вместо обычной тени образуется дифракционная картина (в частности, внесение препятствия усиливает яркость некоторых областей, например пятна Пуассона), означает, что фотоны, не поглощенные¨ препятствием, ведут себя иначе, чем в его отсутствие.
Многие эксперименты, демонстрирующие эффекты измерения без взаимодействия, можно ставить со светом. При этом отличие от обычных опытов на дифракцию и интерференцию будет состоять в следующем:
•вместо обычных источников света используются источники, испускающие отдельные фотоны;
• интерпретация не в терминах амплитуд полей и потоков энергии, а в терминах амплитуд вероятности и потоков частиц.
Следует отметить, что все обычные источники света достаточно слабы, чтобы можно было пренебречь нелинейными эффектами, т. е. чтобы фотоны взаимодействовали с установкой по одному. Поэтому обычные эксперименты по волновой оптике при взгляде с квантовой точки зрения могут выглядеть весьма загадочно и поучительно. Однако ослабление источника света может быть полезно, чтобы наглядно прояснить одночастичную природу оптических эффектов7.
что в квантовой теории не произошедшие события («в сослагательном наклонении») обнуляют в волновой функции кусок, отвечающий за возможность такого события. Можно привести такую грубую гуманитарную аналогию: если вопрос был поставлен на голосование (измерение) перед людьми, не имеющими четкой¨ позиции (чье¨ решение вероятностно), и предложение провалилось, то сразу обнулилась вероятность проваленного решения, при немедленном повторном голосовании. Другими словами, если человека, не имеющего четкой¨ точки зрения по какому-либо вопросу (находящегося в суперпозиции различных точек зрения), заставить высказаться (провести измерение его точки зрения), то сразу после измерения у него будет точка зрения, соответствующая тому, что он высказал, однако со временем эта точка зрения будет эволюционировать. В качестве развития аналогии можно попытаться найти также гуманитарный аналог фазы, например воздействия, действующие на мнение человека одинаково по отдельности, совместно могут как усиливать друг друга, так и взаимно гасить, в зависимости от разности фаз. (Метод гашения идей путем¨ вложения их в гнилые уста специально для этой цели выращенных деятелей достаточно распространен¨ в современной политике.) Данную аналогию, как почти все аналогии, не следует воспринимать слишком серьезно¨.
7Само по себе ослабление источника до уровня, когда в импульсе окажется менее одного фотона, недостаточно для создания однофотонного источника. Простое ослабление светового импульса светофильтрами даст нам состояние, точное число фотонов в котором не определено, причем¨ не определено в квантовом смысле, а не в классическом: импульс описывается как суперпозиция состояний с разным числом фотонов.
7.3. ИЗМЕРЕНИЕ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ* |
209 |
Последующие разделы 7.3.1 «Эксперимент Пенроуза с бомбами (ф*)», 7.4 «Квантовый эффект Зенона (парадокст незакипающего чайника)**» описывают невозможные с классической точки эффекты измерения без взаимодействия, которые могут быть реализованы на эксперименте как оптические эффекты.
7.3.1. Эксперимент Пенроуза с бомбами (ф*)
Под влиянием соотношения неопределенности¨ многие считают, что квантовая механика предоставляет меньше возможностей для измерений, чем классическая. Однако на самом деле ситуация интереснее: квантовая механика запрещает некоторые измерения, которые позволяет классическая физика, но одновременно позволяет измерения, невозможные в классике.
Интересный эксперимент, демонстрирующий осуществимость классически невозможных измерений, был предложен Роджером Пенроузом.
Интерферометр Маха – Цандера на рис. 7.2, состоящий из двух полупрозрачных зеркал (вероятность отражения — 12 ) и двух обычных зеркал, при правильной юстировке ведет¨ себя следующим образом:8
• 1-е полупрозрачное зеркало расщепляет входящий в него фотон ψ0
в суперпозицию двух волновых пакетов 1 (ψ1 + iψ2), каждый из ко-
√2
торых проходит по своей траектории;
• два обычных зеркала направляют волновые пакеты на 2-е полупроз-
рачное зеркало, преобразуя их в состояние 1 (iψ3 − ψ4);
√2
•2-е полупрозрачное зеркало собирает из двух волновых пакетов снова один −ψa, который выходит вправо.
В результате вошедший в интерферометр фотон всегда выходит вправо
всостояние ψa и никогда вниз в состояние ψb.
При этом важно, что фотон внутри интерферометра находится в суперпозиции двух состояний и мы в принципе не можем определить по какому плечу он прошел¨. Внесение в систему измерительного прибора, способного определить куда пошел¨ фотон, разрушает интерференцию, и фотон с равной вероятностью попадает как в состояние ψa, так и ψb. К такому эффекту приводит, например, перекрытие одного из плеч, однако ниже мы рассмотрим более изощренную¨ схему.
Представим себе набор бомб с очень чувствительным взрывателем, который способен сработать от толчка одного фотона. Однако некоторые
8Каждое отражение доставляет фазовый множитель i. Фазовые множители, связанные
сраспространением волнового пакета внутри интерферометра, полагаем равными (результат юстировки), в результате чего их можно отбросить.
210 |
ГЛАВА 7 |
0 1
2 |
3 |
a
4
Рис. 7.2. Интерферометр Маха – Цандера выпускает фотоны только по одному направлению из двух возможных.
бомбы неисправны и энергии фотона недостаточно для возбуждения их взрывателя.
На рис. 7.3 одно из непрозрачных зеркал закреплено на носу неисправной бомбы. В этом случае интерферометр работает по-прежнему: сколько бы фотонов в него не входило, все выходят в состояние ψa.
Рис. 7.3. Интерферометр Маха – Цандера с неисправной бомбой работает по-преж- нему.
Исправную бомбу можно рассматривать как измерительный прибор, детектирующий наличие фотона в нижнем плече интерферометра (плечо 2-4).
Если бомба детектирует фотон, то бомба взрывается, и волновой пакет из верхнего плеча (плечо 1-3) исчезает. Это изображено на рис. 7.4.
Если бомба не детектирует фотон, то имеет место измерение без взаимодействия. В результате исчезает волновой пакет в нижнем плече интерферометра, интерференция разрушается и фотон может выйти из интерферометра как вправо, так и вниз.
Таким образом, если мы запускаем один фотон в интерферометр с исправной бомбой, то возможны следующие исходы:
|
7.3. ИЗМЕРЕНИЕ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ* |
211 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.4. Если бомба исправна, то с вероятностью 12 фотон идет¨ вниз и бомба взрывается.
Рис. 7.5. Если бомба исправна, то с вероятностью 12 фотон идет¨ вправо и бомба не взрывается. Тем не менее разрушается интерференция и фотон может выйти как вправо, так и вниз.
•с вероятностью 12 бомба взрывается и мы узна¨ем, что она была исправна;
•с вероятностью 14 бомба не взрывается, фотон выходит вправо (в состояние ψa) и мы не знаем исправна ли бомба;
•с вероятностью 14 бомба не взрывается, фотон выходит вниз (в состояние ψb) и мы узна¨ем, что бомба исправна, не взорвав ее¨ при этом.
Таким образом, если нам дали большое количество бомб, срабатывающих от одного фотона, то в классическом случае мы не можем отобрать некоторое количество заведомо исправных бомб, не взорвав их при этом. В квантовом случае описываемая схема позволяет, тратя по одному фотону
