Как понимать квантовую механику

8.3. ВОЗМОЖНА ЛИ ИНАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ? (ФФ)

253

Аналогично беря значение | φ3|ψ |2 в уже установленных точках, мы можем показать, что

g	k	=	k		n
				, n = 0, 1, 2, . . . ,	k = 0, 1, . . . , 2 .
	2n		2n

Это множество точек плотно на отрезке [0, 1]. Из непрерывности функции g заключаем, что g(x) = x, x [0, 1].

Обсуждение

Мы доказали теорему Эверетта, использовав весьма общие и естественные предположения. Если мы «верим в квантовую механику», т. е. если мы считаем, что разработанная для описания замкнутых систем унитарная квантовая механика в самом деле позволяет описать Вселенную вокруг нас, и нам не требуется вводить в теорию никаких новых ингредиентов, то теорема должна нас убедить, что никаких других формул для квантовой вероятности в принципе не может быть.

Однако в названии этого раздела слово «вывод» было взято в кавычки. Дело в том, что у нас нет достаточных оснований полагать, что процесс измерения описывается на языке унитарной квантовой механики, без введения дополнительных структур. Например, если процесс измерения характеризуется не только начальным и конечным состояниями системы, но и какими-то выделенными состояниями, характеризующими измерительную установку, то приведенное¨ доказательство теоремы уже не работает (квантовая механика при этом могла бы даже оставаться унитарной). Тем более теорема не должна работать, если мы рассмотрим какое-либо нелинейное обобщение квантовой теории.

8.3.2. «Жесткость»¨ формулы для вероятностей (фф)

Можем ли мы тем или иным способом (см., например, раздел 9.3.9 «Активное сознание (фф*)») управлять квантовыми случайностями, или хотя

бы изменить квантовые вероятности по сравнению со стандартной формулой |ψn|2?

Продемонстрируем на примере измерения системы (кубита), имеющей два базисных состояния |0 и |1 , что управление вероятностями привело бы к возможности передавать информацию на расстоянии со сколь угодно большой скоростью, грубо нарушая постулаты специальной теории относительности.

Пусть наш кубит находится в состоянии, зацепленном с другим куби-

том:

|0 |0 + |1 |1 |Ψ = √ . (8.3)

2

254

ГЛАВА 8

Пусть первый кубит находится у Алисы, а второй у Бориса.

Алиса измеряет состояние своего кубита в базисе |0 , |1 . При этом кубит Бориса оказывается в том же состоянии, что и кубит Алисы:

|Ψ −→ |0 |0 или |1 |1 .

Таким образом, управляя результатом своего измерения, Алиса тем самым управляет результатом измерения, которое чуть позже производит Борис над своим кубитом.

Мы видим, что если почти на полпути между Алисой и Борисом есть источник запутанных кубитов, которые прилетают к Алисе чуть-чуть раньше, то Алиса может передавать Борису информацию на любое расстояние со сколь угодно малой задержкой! Для такой передачи не надо даже полностью управлять результатом измерения, достаточно лишь чуть-чуть сдвинуть вероятность в желаемую сторону, тогда, повторив передачу несколько раз, удастся передать Борису любое сообщение, закодировав его состояниями |0 и |1 . А если сделать преобразование Лоренца, то окажется, что управляя вероятностями, Алиса может передавать информацию не только со сверхсветовой скоростью, но и в прошлое.

Полученные противоречия со специальной теорией относительности позволяют сделать заключение, что квантовая формула для вероятностей является очень «жестким»¨ элементом квантовой теории. Попытки ее¨ модифицировать наверняка приведут к проблемам с причинностью (причина позже следствия). Соответствующая теорема о квантовой телепатии доказывается ниже в разделе 8.3.3.

8.3.3. Теорема о квантовой телепатии (фф*)

Выше в разделе 8.3.2 «“Жесткость”¨ формулы для вероятностей (фф)» мы показали, как отклонение от стандартных квантовых вероятностей для состояний определенного¨ вида (8.3) позволяет осуществлять квантовую телепатию — сколь угодно быструю передачу информации посредством квантовых запутанных систем. Квантовая телепатия грубо противоречит специальной теории относительности, а, следовательно, ее¨ наличие оказывается проблемой для теории.

Обобщив эти рассуждения, докажем (на физическом уровне строгости)

Теорему о квантовой телепатии:

Если для некоторой системы возможно проведение измерения, удовлетворяющего проекционному постулату, но нарушающему формулу для вероятностей, то можно построить запутанное состояние этой системы и двухуровневой системы (кубита), позволяющее осуществлять квантовую телепатию.

8.3. ВОЗМОЖНА ЛИ ИНАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ? (ФФ)

255

Пусть состояние системы, для которой мы можем нарушать правило вероятностей (осуществлять неправильное измерение), описывается некото-

| H ˆ

рой волновой функцией ψ . Наблюдаемой величине A, для которой мы можем осуществить наше неправильное измерение, соответствует на-

ˆ H

бор проекторов Pn на собственные подпространства n. Мы имеем два распределения вероятностей по n: pn соответствует неправильному изме-

ˆ

рению, а pn — правильному. Определим проектор P+ и соответствующее

подпространство H+:					3
	ˆ
ˆ			H+ =		ˆ
P+ =	Pn,				Hn = P+H,
n:pn >pn					n:pn>pn
ˆ	ˆ		ˆ		ˆ
P− = 1		− P+,		H− = P−H.

Также мы можем определить вероятности p+ и p+, отвечающие неправильному и правильному измерениям:

p = 1		p		p ,		= 1			=
+	−	−		n	+		−	−		n
			n:pn >pn							n:pn>pn
Мы можем разложить наше состояние |ψ на сумму двух членов:
|ψ = |ψ+ + |ψ− ,					ˆ					ˆ
				|ψ+ = P+|ψ ,				|ψ− = P−|ψ .

Построим теперь следующее запутанное состояние:

|Ψ = |ψ+ |1 + |ψ− |0 .

Наша исходная система находится в распоряжении Алисы, а кубит — в распоряжении Бориса.

ˆ

При неправильном измерении Алисой величины A кубит попадает в состояние |1 с вероятностью p+ и в состояние |0 с вероятностью p−. С этими же вероятностями Борис обнаружит 1 или 0, производя (обычное) измерение своего кубита.

Если Борис делает измерение своего кубита раньше Алисы, то он получает 1 или 0 уже с другими вероятностями p+ и p−.

Располагая достаточным запасом систем в состоянии |Ψ , Алиса и Борис могут проводить измерения сразу над несколькими экземплярами системы. Борис при этом вычисляет вероятность получения 1 или 0 и определяет, сделал ли он свои измерения раньше Алисы (вероятность p+ для 1) или позже Алисы (вероятность p+ > p+ для 1).

Таким образом, Алиса может передавать Борису информацию (осуществлять квантовую телепатию), измеряя (неправильным измерением) или

256

ГЛАВА 8

ˆ

не измеряя величину A в заранее оговоренные моменты времени для большого набора заранее заготовленных систем в состоянии |Ψ .

Грубое противоречие со специальной теорией относительности проявляется здесь и в другом результате: с помощью неправильного измерения Алиса и Борис могут ввести абсолютное понятие одновременности, что запрещено СТО.

8.3.4.«Мягкость» проекционного постулата (фф)

Вотличие от формулы для вероятности проекционный постулат легко допускает различные модификации.

Например, если мы стартуем с обычного проекционного постулата, а потом объявим «волновой функцией после измерения» не ту волновую функцию, что получается сразу после измерения, а волновую функцию спустя малое время δt, то волновые функции, полученные проекцией на собственные подпространства, подвергнутся за это время «повороту» (дей-

ствию унитарного оператора) Uˆδt = e−	i	ˆ
	h¯	Hδt. Такой «поворот» пока не

слишком интересен: он повернул собственные подпространства одного эрмитового оператора, превратив их в собственные подпространства другого эрмитового оператора. Такая модификация проекционного постулата всего лишь утверждает, что надо брать вероятности для одного эрмитового оператора, а собственные пространства — для другого эрмитового оператора, получаемого из первого унитарным преобразованием.

Легко получить и более сложные модификации. Пусть гамильтониан после измерения зависит от результата измерения. В этом случае каждое собственное подпространство «доворачивается» с помощью своего опера-

тора эволюции Uˆδt,n = e−	i	ˆ
	h¯	Hnδt, где n — результат измерения. Теперь ис-

ходно ортогональные подпространства, на которые спроецировалась первоначальная волновая функция повернулись по-разному и перестали быть ортогональными. Таким образом, эти подпространства уже не являются собственными подпространствами какого-либо эрмитового оператора.

Мы можем формализовать эти модификации проекционного постулата или придумывать и другие версии.

Впрочем (см. также 8.2 «Моделирование измерительного прибора*»), большинство таких модификаций в некотором смысле сводится к обычному проекционному постулату, путем¨ различного проведения границы между прибором и объектом, перепутывания чистого измерения и унитарной эволюции, размытия момента измерения (непрерывное измерение) и т. п.5

5Однако поручиться, что это всегда так, автор не берется¨.

8.4. ДЕКОГЕРЕНЦИЯ (ФФ)

257

8.4. Декогеренция (фф)

Более подробное рассмотрение взаимодействия наблюдателя и прибора включает в себя неконтролируемое взаимодействие прибора и среды (термостата). В результате микросистема, прибор и среда попадают в зацепленное состояние, и хотя состояние системы в целом (микросистема+прибор+среда) остается¨ чистым (могло бы описываться волновой функцией), при описании только подсистемы микросистема+прибор мы должны применять язык смешанных состояний (матриц плотности). Этот процесс называют декогеренцией.

Доказывается, что матрица плотности, получаемая при описании прибора, взаимодействующего со средой, оказывается неотличимой от матрицы плотности, возникающей при неселективном измерении (стремится

кдиагональному виду в базисе конечных состояний). Многие авторы делают из этого вывод, что теория декогеренции позволяет вывести проекционный постулат теории квантовых измерений. Часто декогеренция рассматривается как альтернатива многомировой интерпретации квантовой механики, т. е. как интерпретация квантовой механики с точки зрения декогеренции. К преимуществу декогеренции перед прочими интерпретациями относят развитый математический аппарат, который в приложении к физическим задачам позволяет говорить о том, что декогеренция не просто интерпретирует ранее постулированные классиками принципы квантовой механики, но и позволяет их уточнять (ведь матрица плотности при декогеренции диагонализуется лишь в пределе) и делать нетривиальные теоретические предсказания.

Однако рассмотрение процесса декогеренции прибора со средой на самом деле не позволяет вывести проекционный постулат, который относится

кселективному измерению. Декогеренция описывает как различные исходы измерения отделяются друг от друга (как матрица плотности в базисе конечных состояний становится почти диагональной), но не объясняет как из всех возможных исходов измерения выбирается один.

Некоторые авторы при рассмотрении процесса декогеренции включают в систему (наряду с прибором) также наблюдателя. Они получают, что подсистема микросистема+прибор+наблюдатель описываются матрицей плотности близкой к диагональной, и делают вывод, что ими описан процесс редукции квантового состояния (выведен проекционный постулат). Однако это снова описание неселективного измерения, не объясняющее, как и почему из возможных альтернатив остается¨ одна.

По существу рассмотрение декогеренции с участием наблюдателя следует рассматривать в рамках многомировой интерпретации квантовой ме-

258

ГЛАВА 8

ханики (9.3.7 «Многомировая интерпретация Эверетта (фф)»), поскольку результат декогеренции описывает одновременное сосуществование всех возможных исходов измерения, а также предполагает возможность применения унитарной квантовой механики ко Вселенной в целом. С этой точки зрения декогеренция не конкурирует с многомировой интерпретацией, а поддерживает и дополняет ее¨.

ГЛАВА 9

На грани физики и философии (фф*)

Не читайте эту главу, особенно если вам предстоит сдача экзамена по квантовой механике. Если вы все¨ же решитесь ее¨ прочитать, то автор

снимает с себя всякую ответственность за ваше психическое здоровье, а также за оценку, полученную на экзамене. Если, вопреки совету, вы все¨ же заинтересовались интерпретациями квантовой механики, то избегайте обсуждать прочитанное с экзаменатором во время экзамена по теоретической физике. Впрочем, если вам предстоит сдача экзамена и/или реферата по философии, данная глава может оказаться полезной, особенное если вы также найдете¨ время для прочтения книги В. И. Ленина «Материализм и эмпириокритицизм».

М. Г. Иванов

Интерпретации квантовой механики находятся на грани физики и философии. Это приводит к тому, что здесь, как и в философии, большую роль играет субъективный взгляд исследователя: в одинаковые термины может вкладываться различный (порой существенно различный) смысл. Автор не

может гарантировать, что его изложение тех или иных интерпретаций и парадоксов квантовой механики в точности соответствует тому, как их понимали те физики, с чьим именем эти построения связаны. Автор излагает только свое¨ понимание проблемы.

9.1. Загадки и парадоксы квантовой механики (ф*)

— Все страньше и страньше! — вскричала Алиса. От изумления она совсем забыла, как нужно говорить.

Льюис Кэрролл, «Приключения Алисы в стране чудес»

В основаниях квантовой механике есть ряд загадок и парадоксов, связанных с пониманием процесса измерения. Загадочность проявляется также

260

ГЛАВА 9

и в том, что разные физики считают парадоксами то, что для других представляется совершенно естественной особенностью теории, порой даже не заслуживающей упоминания.

9.1.1.Мышь Эйнштейна (ф*)

—Гхе-гхе! — откашлялась с важным видом Мышь. — Все готовы? Тогда начнем¨.

Льюис Кэрролл, «Приключения Алисы в стране чудес»

Если квантовая теория верна, то Вселенная, как большая система элементарных частиц, тоже должна описываться волновой функцией (спорное утверждение, см. раздел 9.3.2). Однако волновая функция меняется при наблюдении. Так неужели любая мышь, сидящая тихонько где-то в уголке и наблюдающая окружающий мир, меняет Вселенную?! Этот мысленный эксперимент называется «Мышь Эйнштейна».

Этот парадокс разрешается легче всего, причем¨ разными способами, хотя его решения и порождают новые вопросы:

•Мы не имеем права писать волновую функцию Вселенной в целом, т. к. у нас для всей Вселенной нет внешнего наблюдателя. (Копенгагенская интерпретация.) (Возражение, с которым не согласится сторонник эвереттовской интерпретации, для которого волновая функция существует вне зависимости от наблюдателя.)

•Наблюдатель в квантовой механике не должен быть составной частью системы, а значит если мы рассматриваем процесс наблюдения Вселенной Мышью, то волновую функцию следует писать для всей Вселенной, за исключением данной Мыши. Тогда Мышь, наблюдая Вселенную, действительно ее¨ изменяет.

•Мышь и Вселенная слишком тесно взаимодействуют. Таким образом, измерение как бы происходит постоянно. Вместо волновой функции Вселенную с точки зрения Мыши следует описывать матрицей плотности. А матрица плотности уже содержит обычные (классические) вероятности, к которым мы привыкли и в которых парадоксов нет. (Но это объяснение не говорит как из разных альтернатив при измерении остается¨ одна.)

•Матрица плотности для Вселенной предполагает усреднение по состояниям Мыши, но Мышь-то знает (хотя бы приблизительно) в каком она состоянии, а значит усреднять по всем состояниям Мыши нельзя, а надо все¨-таки описывать Вселенную волновой функцией.

9.1. ЗАГАДКИ И ПАРАДОКСЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (Ф*)

261

•Мы не имеем права писать «волновую функцию Вселенной» (и даже Вселенной за вычетом Мыши), т. к. Вселенная — макроскопический объект. (Копенгагенская интерпретация.)

9.1.2. Кот Шредингера¨ (ф*)

Другой мысленный эксперимент — «Кот Шредингера»¨ показывает, какие трудности мы испытаем, если попытаемся описать макроскопического наблюдателя (Кота) с точки зрения квантовой теории. Конечно, не все наблюдения сопряжены с таким риском, которому подвергается Кот, но существо парадокса от этого не меняется: система, включающая наблюдателя, оказывается в суперпозиции макроскопически различных состояний, в которых наблюдатель должен наблюдать существенно разные события.

Эксперимент «Кот Шредингера»¨ был предложен Э. Шредингером¨ в статье «Сегодняшнее положение дел в квантовой механике»1, посвященной¨ обсуждению парадокса ЭПР. В этой же статье был введен¨ термин зацепленность или запутанность2, означающий состояние, при котором волновая функция квантовой системы не может быть описана как произведение отдельных сомножителей. В экспериментах «Кот Шредингера»¨ и 9.1.3 «Друг Вигнера (ф*)» наглядно демонстрируется как запутанность постепенно охватывает всю систему.

Лазер	Полупрозрачное
	зеркало
Кот	Датчик	ЯД
	Адская
	машинка

Рис. 9.1. Установка для проведения мысленного эксперимента «Кот Шредингера»¨.

Итак, представим себе экспериментальную установку — «коробку», хорошо изолирующуюся от окружающего мира (чтобы на достаточно больших временах ее¨ состояние можно было описывать уравнением

1Schr¨odinger E. Die gegenw¨artige Situation in der Quantenmechanik // Naturwissenschaften, 48, 807, 49, 823, 50, 844 (November 1935).

2По-немецки: Verschr¨ankung, по-английски: entanglement.

262

ГЛАВА 9

Шредингера)¨ . В коробку в начале помешается Кот, а также «адская машинка», устройство которой разные авторы описывают по-разному. Задача машинки — за время эксперимента убить или не убить Кота, причем¨ решение должно быть принято квантово-случайным образом. Например, Кот убивается (пулей, ядом, бомбой или как-либо иначе), если за время эксперимента распался единичный атом радиоактивного вещества, или если единичный фотон прошел¨ через полупрозрачное зеркало.

Для определенности¨ рассмотрим ход эксперимента для «адской машинки», принимающую решение по судьбе единичного фотона и разбивающей или не разбивающей колбу с ядом. (Мы опускаем лишние детали, описывая лишь принципиальную схему.)

1.Источник испускает единичный фотон, который летит к полупрозрачному зеркалу (в состоянии |фотон ). Примем этот момент за начало

эксперимента. Колба в это время цела (в состоянии |колба0 ), а Кот жив (в состоянии |жив ). Такое состояние системы (мы его обозначим как |КОТ0 ) описывается как

|фотон|колба0|жив = |КОТ0 .

ЯД

Рис. 9.2. Фотон расщепляется зеркалом. . . .

2.Фотон попадает на полупрозрачное зеркало, после чего попадает в су-

перпозицию двух состояний |фотон0 и |фотон1 , одно из которых отразилось от зеркала, а другое прошло сквозь зеркало. Все¨ остальное в коробке пока по-прежнему.

|фотон0 √+ |фотон1 |колба0|жив .

2

Ничего необратимого пока не произошло. Если бы вместо датчиков на пути |фотон0 и |фотон1 стояли зеркала, отклоняющие их на второе