Как понимать квантовую механику
.pdfГЛАВА 10
Квантовая информатика**
Квантовая информатика рассматривает процессы получения, передачи, хранения и обработки информации с точки зрения квантовой теории. Адекватная квантовой теории квантовая логика допускает не только такие значения логических переменных, как «да» («истина», 1) и «нет» («ложь», 0), но и их линейные суперпозиции.
Многие очевидные положения классической информатики в квантовой механике оказываются неверными, причем¨ квантовая теория, по сравнению с классической, не только накладывает новые ограничения, но и дает¨ дополнительные возможности, которые на языке классической теории звучат как парадоксы.
Одно из ключевых ограничений на возможности квантовой обработки информации накладывает теорема о невозможности клонирования квантового состояния. Эта теорема лежит в основе квантовой криптографии, обеспечивая невозможность «подсмотреть» состояние передаваемого квантового бита, она же не позволяет извлечь из одного квантового бита более одного классического бита информации и ограничивает тем самым применимость основанного на суперпозиции состояний квантового параллелизма.
10.1. Квантовая криптография**
Квантовая криптография изучает методы секретной передачи информации, при которых секретность сообщения обеспечивается принципами квантовой механики.
Поскольку в квантовой механике любое измерение может оказать влияние на измеряемую систему, владелец системы, который знает в каком состоянии система была приготовлена изначально, может впоследствии проверить, измерял ли его систему кто-либо другой.
10.1.1. Зачем нужен ключ в классической криптографии (пример)
Для того чтобы обеспечить абсолютно надежную¨ классическую линию связи, достаточно, чтобы отправитель сообщения (Алиса) и получатель
296 ГЛАВА 10
В дальнейших рассуждениях будут использоваться 4 состояния квантового бита, принадлежащих к двум ортонормированным базисам «0-1»
и «±»: |
|0 − |1 |
||||||||
|0 + |1 |
|
||||||||
|0 , |1 , |+ = |
√ |
|
|
, |
|− = |
√ |
|
|
. |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
1.Алиса передает¨ Борису случайную последовательность квантовых битов в состояниях |0 , |1 , |+ или |− .
2.Борис измеряет полученные от Алисы фотоны, используя случайным образом базисы «0-1» или «±», и получает цепочку нулей и единиц.
3.Алиса по открытому классическому каналу сообщает Борису, какой из базисов она использовала для каждого бита (но не говорит, какое из двух состояний было использовано).
4.Борис сообщает Алисе, какой из двух базисов он использовал при измерении каждого бита (но не сообщает результат измерения).
5.Алиса и Борис выбирают из цепочки только те биты, которые были испущены и измерены в одинаковых базисах (это предварительный ключ).
6.Алиса и Борис сравнивают (переговариваясь по открытому классическому каналу) некоторое количество случайно выбранных бит из предварительного ключа. Если проверенные биты совпадают, то делается вывод (с соответствующей численной оценкой), что перехвата на квантовом канале не было.
7.Из предварительного ключа исключаются биты, которые были использованы для проверки, остальное составляет секретный ключ.
Если Ева пытается вести перехват на квантовом канале, то ее¨ измерение будет нарушать состояние кубитов, во всех случаях, когда она не угадала, какой из базисов использует Алиса. Это будет происходить в половине случаев. После этого, если Ева не угадала базис, то поляризация, измеренная Борисом, будет полностью случайна. Также поляризация, измеренная Борисом, полностью случайна, если Борис не угадал базис Алисы. Таким образом, в восьмой части случаев перехвата Ева внесет¨ искажение в цепочку бит предварительного ключа. Это искажение должно быть выявлено сравнением случайной выборки бит на этапе 6.
В процессе генерации ключа Алиса и Борис не обмениваются никакой информацией, которая позволила бы узнать содержание ключа, поэтому Ева может сорвать генерацию ключа, но не может этот ключ перехватить.
10.5. КВАНТОВЫЙ ПАРАЛЛЕЛИЗМ |
299 |
Универсальный квантовый компьютер — устройство, которое позволяет для системы L квантовых битов осуществлять преобразование, сколь угодно близкое к любому желаемому унитарному преобразованию пространства HL = C2L .
В статье Дойча (1985) содержатся также рассуждения, обосновывающие возможность полного моделирования открытых квантовых систем, однако эти рассуждения не представляются в достаточной степени строгими
иубедительными.
10.5.Квантовый параллелизм
Квантовый параллелизм — возможность одновременного выполнения каких-либо обратимых вычислений над разными членами квантовой суперпозиции.
Набор из L классических битов может находиться в 2L различных состояниях. Однако для квантовых битов эти 2L состояний оказываются базисом линейного пространства и допустимы также любые их суперпозиции, в частности, состояние
|
|0 + |1 |
· · · |
|0 + |1 |
|
|0 + |1 |
= |
||||||||||
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |0 · · · |0 |0 + |0 · · · |0 |1 + |0 · · · |1 |0 + |0 · · · |1 |1 + · · · + |1 · · · |1 |1 .
2L/2
|
L |
L |
L |
2 |
|
L |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
L |
|
|
|
Таким образом, мы получаем суперпозицию всех двоичных чисел от
00 · · · 02 |
= 0 до 11 · · · 12 = 2L − 1. То же самое равенство мы можем |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
L |
|
|
|
|
|
||||||||
переписать так: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0 + 1 |
|
L |
2L |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|X = |
| | |
= |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
√ |
2 |
|
2L/2 |
n=0 |n . |
|
||||||||
Если у нас есть некоторая функция f |
: {0, . . . , 2L − 1} → {0, . . . , 2L − 1}, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
, которое сле- |
тогда ей можно сопоставить унитарное преобразование Uf |
дующим образом действует на первых 2L базисных состояниях пространства
300 |
|
ГЛАВА 10 |
|
|
L+L = C2L+L |
: |
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
n ; f (n) . |
|
|
Uf | n ; 0 = | |
|||
|
L |
L |
L |
L кубит |
|
кубит |
кубит |
кубит |
|
|
|
ˆ
Любое унитарное преобразование Uf может быть реализовано как оператор эволюции для некоторого гамильтониана, задающего взаимодействие L+L кубитов, т. е. может быть выполнено на универсальном квантовом компьютере
|
|
2L−1 |
|
|
2L −1 |
ˆ |
1 |
|
ˆ |
1 |
|
Uf |X; 0 = |
2L/2 |
n=0 |
Uf |n; 0 = |
2L/2 |
|n; f (n) . |
|
|
|
|
n=0 |
Таким образом, применение этого преобразования к состоянию |X; 0 позволяет вычислить функцию f одновременно для всех чисел от 0 до 2L − 1.
С точки зрения многомировой интерпретации квантовой механики5 можно сказать, что у нас имеется 2L эвереттовских миров, которые отличаются друг от друга только тем, какое число введено в квантовый компьютер, в каждом из этих миров идет¨ вычисление функции f для своего значения аргумента. Однако извлечь из L кубитов мы по-прежнему можем не более L классических битов информации. По этой причине квантовый параллелизм оказывается не столь эффективным, как это может показаться на первый взгляд.
10.6. Логика и вычисления
10.6.1. Логика классическая
Классическая логика изучает функции двоичных переменных (классических битов): каждый аргумент такой функции пробегает два значения (0 и 1, «да» и «нет», «ложь» и «истина»), и значение самой функции также может принимать те же два значения. Такие функции могут также называться логическими операциями.
5Дэвид Дойч утверждает в своих статьях и книгах, что многомировая интерпретация квантовой механики является стандартной для физиков, работающих в области квантовых вычислений. Д. Дойч также является автором философской книги «Структура реальности», рассматривающей современную науку с точки зрения квантовой механики по Эверетту, эволюции по Дарвину и теории познания по Попперу (познание как естественный отбор среди научных теорий).
10.6. ЛОГИКА И ВЫЧИСЛЕНИЯ |
301 |
Логические операции удобно изображать графически в виде блока
снесколькими входными линиями (входами), соответствующими аргументам, и одной выходной линией (выхода), соответствующей значению функции. Логические операции в графическом представлении мы будем называть логическими вентилями.
Любое численное или логическое вычисление может быть представлено как комбинация логических операций или в виде графической схемы (логической схемы), состоящей из нескольких логических вентилей, соединенных¨ между собой линиями: у части вентилей выходы соединены
свходами других вентилей. При этом линия, идущая от выхода, может разветвляться. Графическая схема может иметь несколько внешних входных линий, на которые подаются входные данные и несколько выходных — на которые выдается¨ результат вычисления. Входные линии схемы (они также могут разветвляться) могут подключаться к выходным линиям схемы, а также к входным линиям логических вентилей.
Доказано, что для описания любого вычисления достаточно применить конечное число разновидностей логических вентилей, например, «и», «или», «не»:
00 |
→ 0 |
|
00 |
→ 0 |
|
→→ |
|
||
«и»: 1001 |
→→ |
00 |
, |
«или»: 1001 |
→→ |
11 |
, «не»: 10 |
01 . |
|
11 |
→ |
1 |
|
11 |
→ |
1 |
|
|
|
Более того, достаточно одного универсального вида логических вентилей «не-и»:
|
00 |
→ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«не-и»: |
01 |
→ 1 |
, |
«не-и»( |
• |
, |
• |
) = «не»(«и»( |
• |
, |
• |
)). |
|
10 |
→ 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
11 |
→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.6.2. Вычисления и необратимость
Описанные выше логические схемы представляют собой графическое описание процесса вычислений, который может быть реализован на некотором классическом вычислительном устройстве. То есть логические схемы — описания физических процессов, которые реализуют данное вычисление.
Поскольку линии логической схемы могут разветвляться, произвольная информация в логических схемах может копироваться. Согласно теореме о невозможности клонирования квантового состояния, возможность