Как понимать квантовую механику

ГЛАВА 8

Место теории измерений

Эта глава продолжает предыдущую главу 7 «Эффекты теории измерений» и в существенной степени перекликается с главой 9 «На грани физики и философии (фф*)», поскольку философские споры вокруг квантовой теории в существенной степени связаны с пониманием процесса измерения. Различие между эти главами состоит в том, что здесь больше физики, а там — философии. Те рассуждения, которые приводят к конкретным физическим выводам, а не просто к удивлению и философскому озарению были помещены сюда, а нестрогие рассуждения о реальности, сознании и познании — в следующую главу.

Некоторые исторически связанные рассуждения оказались разнесены по двум главам. Введенное¨ Эвереттом понятие относительного состояния и моделирование измерительного прибора по фон Нейману имеют смысл при любой интерпретации квантовой механики. Однако мотивированные этими построениями многомировая интерпретация Эверетта и «абстрактное Я» фон Неймана уже не физика, а философия физики.

8.1. Структура квантовой теории (ф)

8.1.1. Понятие классического селективного измерения (ф)

Выше в разделе 2.3 «Две ипостаси квантовой теории» мы уже приводили разбиение квантовой теории на разделы, согласно тому, как в них описывается процесс измерения.

В предыдущей главе 7 «Эффекты теории измерений» мы установили, что селективное измерение естественно рассматривать как неселективное до тех пор, пока нам не известны его результаты. Это позволяет разбить квантовое селективное измерение на два этапа: квантовое неселективное измерение и классическое селективное измерение.

«Классическое» селективное измерение подобно измерению в классических теориях, оно описывается выбором одной из альтернатив, описывающихся классическим распределением вероятностей. Поэтому мы и назвали его «классическим».

244

ГЛАВА 8

Неселективным является любое измерение, проводимое с помощью удаленного¨ прибора (удал¨енное измерение), до тех пор, пока информация об его исходе не получена наблюдателем. Таким образом, если квантовое неселективное измерение соответствует процессу квантового взаимодействия системы и прибора, классическое селективное измерение соответствует процессу передачи классической информации от прибора к наблюдателю1.

8.1.2. Квантовая теория крупными блоками

Приведем¨ обновленное¨ разбиение квантовой теории на разделы, согласно тому, как в них описывается процесс измерения, указав попутно степень разработанности разделов, и их связь с увеличением/уменьшением энтропии, как мерой неопределенности¨ состояния системы.

•Теория замкнутой квантовой системы — очень хорошо разработанная

фундаментальная теория (обратима, полностью детерминистрична, не содержит вероятностных понятий, энтропия постоянна);

•Теория измерений — полуфеноменологическая теория взаимодействия ранее замкнутой системы с измерительным прибором (необратима, содержит вероятностные понятия, энтропия возрастает):

–вычисление вероятностей различных исходов измерения (правило Борна) — фундаментальная закономерность, лежащая в основе вероятностной интерпретации,

–изменение состояния системы после измерения — феноменология, есть разные модели:

если (пока) результат измерения неизвестен (квантовое неселективное измерение) — феноменология, есть хорошо разработанные модели (необратима, полностью детерминистрична, не содержит вероятностных понятий, энтропия возрастает),

если (после того как) результат измерения известен (классическое селективное измерение) — загадка: (само)сознание, эвереттовская интерпретация и т.п. (необратима, вероятностна, энтропия уменьшается).

Всоответствующем измерению базисе квантовое неселективное измерение обнуляет недиагональные члены матрицы плотности, а классическое

1Передается¨ ли информация по классическому или квантовому каналу для нас не важно. Впрочем при достаточно внимательном рассмотрении любой классический канал окажется, в конечном итоге, квантовым.

8.1. СТРУКТУРА КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ (Ф)

245

селективное измерение обнуляет диагональные члены матрицы плотности, соответствующие нереализовавшимся исходам измерения.

При квантовом селективном измерении на первом этапе квантовое неселективное измерение «расцепляет» между собой состояния, отвечающие разным исходам измерения, а на втором этапе классическое селективное измерение производит выбор одной из альтернатив.

Классическое селективное измерение имеет прямую аналогию в классической физике, но при этом оказывается наиболее загадочным. В литературе по квантовой механике его часто игнорируют, сводя обсуждение теории измерений к рассмотрению квантового неселективного измерения. При этом вопрос о выборе одной из взаимоисключающих альтернатив в процессе селективного измерения остается¨ открытым.

8.1.3. Квантовая локальность (ф)

Что такое локальность? Мы будем считать, что локальность — это те свойства теории, которые не позволяют мгновенную передачу классической информации.

Суммируя результаты предыдущей главы 7, касающиеся квантовой локальности и нелокальности можно сказать, что квантовая локальность основывается на трех¨ «китах»:

•локальность унитарной эволюции (локальность гамильтониана: отсутствие членов, описывающих мгновенное дальнодействие),

•локальность неселективного квантового измерения (линейность, теорема о невозможности клонирования, правило Борна),

•локальность «классического» измерения (локальность канала передачи классической информации о результате удаленного¨ измерения).

8.1.4. Вопросы о самосогласованности квантовой теории (ф)

Поскольку квантовая теория состоит из существенно разнородных блоков, естественно возникает ряд вопрос о том, насколько хорошо эти блоки подогнаны друг к другу. Поскольку теория замкнутых систем давно заслужила статус фундаментальной теории, то эти вопросы адресуются в первую очередь к теории измерений.

Квантовая теория измерений описывает взаимодействие квантовой системы с измерительным прибором. Теория измерений строится на основе постулатов, которые не выводятся из квантовой теории замкнутых квантовых систем, тем не менее, теорию измерений исследуют с точки зрения квантовой механики. При этом могут ставиться следующие вопросы:

246

ГЛАВА 8

•Согласована ли теория измерений с теорией замкнутых систем?

•Как можно модифицировать теорию измерений?

•Может ли теория измерений быть выведена из теории замкнутых систем?

•Можно ли модифицировать теорию замкнутых систем так, чтобы она включила в себя теорию измерений?

8.2. Моделирование измерительного прибора*

Сам процесс измерения, который обычно рассматривается в соответствии с проекционным постулатом как мгновенный процесс, иногда сам становится предметом изучения с точки зрения квантовой механики. При этом вводится модель измерительного прибора (точнее его микроскопической части), который описывается как квантовая система. В волновую функцию вводятся дополнительные переменные, описывающие прибор, а в гамильтониан включаются дополнительные члены, описывающие сам прибор и его взаимодействие с микрообъектом.

Однако такое моделирование само по себе не способно объяснить, чт´о такое измерение над квантовой системой: процесс взаимодействия квантовой системы и микроприбора описывается как унитарная эволюция, а проекционный постулат снова проявляется уже при рассмотрении считывания показаний прибора (измерении положения «стрелки»).

Таким образом, моделирование измерительного прибора сдвигает границу между системой и наблюдателем, рассматривая прибор не как часть наблюдателя, а как часть квантовой системы. Вопрос о природе процесса измерения при этом остается¨ открытым.

Последовательное применение такого метода демонстрирует, что квантовая механика позволяет по-разному проводить границу между системой

инаблюдателем (часто кроме «системы» и «наблюдателя» выделяют еще¨

и«среду»). В «систему» иногда включается даже часть организма самого наблюдателя, но здесь мы уже вступаем в область интерпретаций квантовой механики, которые мы обсудим подробнее в главе 9 «На грани физики

ифилософии (фф*)».

8.2.1.Измерительный прибор по фон Нейману**

Простейшая модель процесса измерения была рассмотрена фон Нейманом в книге «Математические основы квантовой механики». Рассматривается система, состоящая из двух одномерных квантовых частиц, одна из которых (m) — измеряемая система, а другая (M ) — стрелка прибора.

8.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА*

247

Наблюдатель хочет измерить координату частицы q, но непосредственно наблюдает только координату стрелки Q. Гамильтониан системы имеет вид

	pˆ2		ˆ2
ˆ			P	ˆ
H =	2m	+	2M	+ αqˆP .

Здесь маленькими буквами обозначаются параметры и наблюдаемые, относящиеся к частице, а большими — к стрелке.

Параметр α определяет силу взаимодействия. Мы считаем, что в начальный момент времени взаимодействие выключено (α|t<0 = 0), потом на протяжении времени T взаимодействие включено (α|t [0,T ] = τ1 ), после чего — снова выключено (α|t>0 = 0).

Сразу после выключения взаимодействия наблюдатель производит над стрелкой идеальное определение координаты Q.

Будем считать, что массы m и M достаточно велики, чтобы за время T (при заданном начальном состоянии) можно было пренебречь кинетической энергией частицы и стрелки.

Оператор эволюции за время взаимодействия в координатном представлении можно переписать как

ˆ	−	iT ˆ	−	T	q	∂
		τ ¯h qˆP		τ		∂Q	.
UT = e		= e

Таким образом, эволюция сводится к сдвигу координаты стрелки на рас-
стояние T	q, пропорциональное координате частицы q.2
τ	начальное состояние системы факторизуемо Φ0(q, Q) =
Если

= ψ0(q) φ0(Q), то после взаимодействия получается перепутанное состояние

ˆ		T	−	T
Φ1(q, Q) = UT Φ0(q, Q) = Φ0(q, Q −		τ q) = ψ0(q) φ0(Q		τ q).
После обнаружения стрелки в точке Q0 (т. е. обнаружения стрелки в состоя-
нии δ(Q − Q0)) частица оказывается в состоянии
ψ1(q) = ψ0(q) φ0(Q0 − Tτ q),
а система в состоянии
ˆ		T
Φ2(q, Q) = PQ0 Φ1 = ψ0(q) φ0(Q − τ q) δ(Q − Q0),
				iT ˆ
2В импульсном представлении получаем другой взгляд на процесс: UˆT
			= e− τ h¯ qˆP		=

= e Tτ P ∂p∂ , что соответствует сдвигу импульса частицы на величину −Tτ P , пропорциональную импульсу стрелки.

248

ГЛАВА 8

с плотностью вероятности (скалярное произведение не возводится в квадрат, т. к. состояние Φ2 нормировано на плотность вероятности)

w1(Q0) = Φ2|Φ1 =

=dq dQ )ψ0(q) φ0(Q − Tτ q) δ(Q − Q0)* ψ0(q) φ0(Q − Tτ q) =

=dq ψ0(q) φ0(Q0 − Tτ q) 2 = ψ1|ψ1 .

Если начальное распределение вероятности для стрелки (w0(Q) = |φ(Q)|2) было достаточно узко и локализовано около нуля, то конечное состояние частицы умножается на φ0(Q0 − Tτ q) — узкий всплеск, локализованный около измеренного значения координаты q, которое равно

q0 = Q0 Tτ .

В пределе, когда wlim φ0(Q) = δ(Q), мы получаем идеальное измерение величины с непрерывным спектром.

Можно рассмотреть более реалистичную процедуру обнаружения стрелки в чистом состоянии φ1(Q) = f (Q0 − Q). После такого измерения система попадает в факторизуемое состояние

|φ1 φ1|Φ1 ,

а частица в состояние

|ψ2f = φ1|Φ1 .

Такое состояние можно назвать относительным состоянием частицы, относительно состояния |φ1 стрелки (см. (7.20) в 7.5.5 «Относительные состояния (ф*)»).

Поскольку φ1 — одночастичное состояние, а Φ1 — двухчастичное, их скалярное произведение дает¨ не число, а одночастичное состояние:

ψ2f (q) = dQ f (Q0 − Q) ψ0(q) φ0(Q − Tτ q) =

=		dQ f (Q0 − Q) φ0(Q − Tτ q)!ψ0(q).
ψ2f (q) = F (q) ψ0(q),		F (q) =	dQ f (Q0 − Q) φ0(Q − Tτ q). (8.1)

8.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА*

249

Таким образом, исходная волновая функция частицы в результате из-

мерения умножается на св¨ертку3 φ0(• − Tτ

q) и f .

Например, при свертке¨ двух гауссовых пакетов

1

−

Q2

1

−

Q2

φa =

2a2

, φa =

2b2

√4

· e

√4

· e

πa2

πb2

шириной a и b получаем гауссов пакет шириной c = √

:

a2 + b2

−

Q2

−

Q2

4 4πa2b2

2ab

4 4πa2b2

1

2(a2

+b2)

2(a2+b2)

'a2 + b2 φc =

'

a2 + b2

·e

= 'a2 + b2

4

·e

.

π(a2

+ b2)

Если f задается¨ прямоугольным импульсом,

f (Q

−

Q0) =

1

1, Q − Q0

δQ,

2 δQ

0, ||Q − Q0||

> δQ,

а φ0 — гауссовым пакетом

1

−

Q2

φ0 =

2a2

√4

· e

,

πa2

то в результате мы получаем сглаженный «почти прямоугольный» импульс шириной 2 δQ с размытыми краями (a — ширина размытия), локализованный около точки Q0:

+δQ

	1		1				(Q−Q0−	T	q)	2
F (q) =						· e−		τ			dQ.
							2a2
	2 δQ		√4
				πa2
		−δQ

Ранее (уравнение (3.9) в разделе 3.1.4 «Распределения вероятностей и волновые функции при измерении») мы уже постулировали, что при измерении волновая функция умножается на прямоугольный импульс (характеристическую функцию), который «вырезает» из нее¨ часть, соответствующую диапазону, в который попала измеренная величина. Теперь, путем¨ анализа квантового процесса измерения с точки зрения квантовой механики, мы

3Свертка¨ (f g) двух функций f и g определяется соотношением

(f g)(t) = f (τ ) g(t − τ ) dτ.

R

250

ГЛАВА 8

получили обобщение этого правила, которое допускает замену прямоуголь-

ного импульса на сглаженный импульс, либо на волновую функцию общего вида4.

Мы сдвинули границу между системой и наблюдателем, включив в систему «стрелку» прибора. Взаимодействие системы и стрелки мы рассмотрели в рамках унитарной квантовой механики (с помощью оператора эволюции). Однако результат измерения положения стрелки наблюдателем мы снова были вынуждены постулировать как неунитарный процесс, не описываемый унитарной квантовой механикой.

Таким образом, мы «вывели» проекционный постулат для системы, но в качестве исходного положения использовали аналогичный проекционный постулат, но уже для стрелки прибора. Тем не менее, новый проекционный постулат имеет более общий вид, чем исходный. Теперь волновые функции, получаемые при взаимоисключающих результатах измерения, могут быть уже не ортогональными. Однако по-прежнему конечная волновая функция линейна по начальной.

8.3. Возможна ли иная теория измерений? (фф)

Прежде всего следует отметить, что теория измерений состоит из двух частей:

•формула для вероятности определенного¨ исхода измерения;

•формула для волновой функции после измерения с определенным¨ исходом (проекционный постулат).

Статус этих двух частей теории измерений в рамках квантовой механики различен.

Формула для вероятностей едва ли может быть модифицирована. По всей видимости она столь же фундаментальна, как унитарная эволюция. Единственность этой формулы была выведена при определенных¨ предположениях Эвереттом (см. раздел 8.3.1 «Эвереттовский “вывод” теории измерений (фф*)»). Ниже мы продемонстрируем «жесткость»¨ этой формулы с точки зрения отсутствия релятивистских парадоксов.

Проекционный постулат является естественным приближением. Мы можем рассматривать модифицированные теории измерений, в которых

4Замена характеристической функции на функцию R → [0, 1] общего вида соответствует замене обычного множества, неч¨етким множеством (fuzzy set), когда для точек определяется не принадлежность/непринадлежность к множеству, а вероятность принадлежности. Впрочем, классические нечеткие¨ множества не позволяют описать умножение на волновую функцию произвольного вида, а значит уместнее рассматривать квантовые (неч¨еткие) множества, для попадания точек в которые задается¨ не вероятность, а амплитуда вероятности.

8.3. ВОЗМОЖНА ЛИ ИНАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ? (ФФ)

251

проекционный постулат изменен¨ (см. правило (8.1) в разделе 8.2.1 «Измерительный прибор по фон Нейману**»), или выводится из иных постулатов. (Если эти «иные постулаты» представляются кому-то более естественными.)

Помимо фундаментальных аспектов теории следует помнить и о простой корректности ее¨ применения: при анализе конкретного эксперимента надо аккуратно исследовать, какие именно физические величины мы мерим на самом деле.

8.3.1. Эвереттовский «вывод» теории измерений (фф*)

Если строить теорию измерений, опираясь только на те понятия, которые уже были введены для описания эволюции замкнутой системы (линейное пространство чистых состояний, на котором задано скалярное произведение), то формула для вероятностей фиксируется однозначно при некоторых разумных (по крайней мере пока) предположениях.

Такого рода вывод был проделан Х. Эвереттом. Мы обобщим этот вывод и сформулируем в виде теоремы, явно оговорив условия, которые были опущены Эвереттом.

Теорема Эверетта. Вероятность исходу измерения может быть приписана единственным способом

	pφψ =	|φ|ψ|2	=	ψ|φ φ|ψ	,	(8.2)
		ψ 2 φ 2		ψ|ψ φ|φ

при условии, что:

•вероятность исхода pφψ [0, 1] определяется только векторами состояния до измерения |ψ и после измерения |φ , причем¨ состояния определяются с точностью до ненулевого множителя;

•зависимость вероятности от состояний непрерывна;

•вероятность инвариантна относительно произвольных унитарных преобразований пространства состояний;

•pψψ = 1;

•суммарная вероятность равна 1, т. е. если дан максимальный набор взаимоисключающих чистых состояний |φi (ортогональный базис), то

суммарная вероятность равна 1:

pφiψ = 1;

i

• размерность пространства состояний не меньше 3.

252 ГЛАВА 8

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Поскольку состояния определены с точностью до ненулевого множи-

| ˜ |˜ |˜

теля, мы можем перейти к рассмотрению векторов состояний ψ , φ , φi , нормированных на единицу. Более того, мы можем считать, что скалярное

˜ ˜	˜ ˜	˜ ˜
произведение φ|ψ вещественно и неотрицательно, т. е. φ|ψ =		|φ|ψ|.

Поскольку формула не должна зависеть от унитарных преобразований, ис-

комая вероятность pφψ = p ˜ ˜ должна выражаться через скалярное произ-

˜ ˜

φψ

ведение φ|ψ , т. е.

.

ψ φ

φ ψ

pφψ = g(|φ˜|ψ˜|2) = g

|

|

ψ ψ

φ φ

|

|

Для суммарной вероятности получаем

i

˜ ˜ 2

˜ 2

˜

˜ 2

.

g(|φi|ψ| ) = 1 = ψ = i

ψ

|φi| |

g ( φ˜ ψ˜ 2)

˜ ˜ 2

˜ ˜

2

0 | | |

Ясно, что функция g0(|φ|ψ|

) = |φ|ψ|

удовлетворяет этому условию.

Заметим, что g(0) = 0, т. к., выбрав |φ1 = |ψ , мы получаем

1 = 1

+

g(0).

g(1)

i =1

Покажем, что функция g единственна.

Мы всегда можем выбрать векторы |φi так, чтобы |ψ принадлежал

плоскости, натянутой на |φ1 и |φ2 . Отсюда получаем, что
	g(x) + g(1 − x) = 1,			x = |φ1|ψ|2 [0, 1].
Отсюда g( 1 ) = 1 .
2	2					так, чтобы				принадлежал
Мы всегда можем выбрать векторы					|φi			|ψ 2
										=	1	. Отсюда
пространству, натянутому на |φ1 , |φ2 и |φ3 . Пусть |φ3|ψ|											2
получаем, что
	1	− x) +	1				2		1
	g(x) + g( 2		2 = 1,		x = |φ1|ψ|			[0,	2	].
Отсюда g( 1 ) = 1 :
4	4
	g(	1	3			3	3
		4 ) + g(	4 ) = 1		g( 4 ) =		4 .
	1

/4