Как понимать квантовую механику

7.5. КВАНТОВАЯ (НЕ)ЛОКАЛЬНОСТЬ

223

Состояние является коррелированным (аналог запутанного), если оно не может быть представлено как произведение распределений для отдельных подсистем:

(x, y) = 1(x) · 2(y).

Если над подсистемой-2 совершается селективное измерение и в результате установлено, что y W (W — область с ненулевым объемом),¨ то состояние системы в целом умножится на характеристическую функцию (см. (3.10)) множества W :

после(x, y) = (x, y) · IW (y).

При точном измерении y, показавшем, что y = y0, распределение надо аналогично умножить на δ-функцию:

после(x, y) = (x, y) · δ(y − y0).

При таком измерении новое распределение уже оказывается некоррелированным (т. е. представляется как произведение независимых распределений для подсистемы-1 (x, y0) и подсистемы-2 δ(y − y0)).

Распределение для подсистемы-1 получается интегрированием по переменным подсистемы-2. Таким образом, до измерения мы имеем

1(x) = dy (x, y),		(7.15)
а после селективного измерения
1после(x) = (x, y0)
или
1после(x) = W	dy (x, y).

Таким образом, селективное измерение, выполненное над подсистемой-2, мгновенно изменило распределение вероятностей для подсистемы-1.

Если же измерение над подсистемой-1 является неселективным, то распределение вероятностей для подсистемы-2 неизвестно, и мы должны усреднить это распределение по всем возможным y, что снова, как и до измерения, дает¨ (7.15). То есть неселективное измерение, выполненное над одной подсистемой, в классической теории не может изменить распределение вероятностей для другой подсистемы.

224

ГЛАВА 7

Таким образом, все рассуждения о селективных и неселективных измерениях систем в запутанных состояниях переносятся из квантовой теории в классическую за одним принципиальным исключением: в классической теории любые наблюдаемые считаются одновременно измеримыми (вспомним еще¨ раз ботинок Пьера Ришара, рис. 7.8). Все мгновенные изменения классических состояний могут интерпретироваться как изменение нашего знания о системе.

7.5.5. Относительные состояния (ф*)

Корреляции между состояниями подсистем возможны не только в квантовой теории, но и в классической теории вероятностей, там для описания корреляций могут использоваться условные вероятности: вероятности измерения для одной подсистемы, при условии, что измерение для другой подсистемы дало определенный¨ результат. Таким образом, состояние (распределение вероятностей) для сложной системы описывается совместным распределением вероятностей

(x, y),

где x и y нумеруют возможные чистые состояния подсистемы-1 и под- системы-2. Условное ненормированное распределение вероятностей для подсистемы-1, при условии, что измерение для подсистемы-2 дало y = y0, получается фиксированием значения второго аргумента:

y0 (x) = (x, y0).

(7.16)

Аналогично условному распределению вероятности, для квантовых подсистем в зацепленном состоянии Х. Эверетт III ввел¨ относительное состояние — состояние, в котором оказывается подсистема-1, при условии, что подсистема-2 была найдена в определенном¨ состоянии. Чистое состояние сложной системы описывается заданием совместной волновой функции (совместных амплитуд вероятности)

ψ(x, y),

где x и y (полные наборы независимых наблюдаемых для подсистем 1 и 2) нумеруют базисные чистые состояния подсистемы-1 и подсистемы-2.

Относительная ненормированная волновая функция (относительное состояние) задает¨ условные амплитуды вероятности для подсистемы-1, при условии, что измерение для подсистемы-2 дало y = y0. Относительное состояние получается фиксированием значения второго аргумента:

ψy0 (x) = ψ(x, y0).

(7.17)

7.5. КВАНТОВАЯ (НЕ)ЛОКАЛЬНОСТЬ

225

Оно задает¨ состояние подсистемы-1, при условии, что над подсистемой-2 было проведено измерение, которое дало определенный¨ результат y = y0.

В выражении относительное состояние слово относительное употребляется в смысле, отчасти аналогичным используемому в теории относительности: состояние подсистемы-1, относительно состояния y = y0 подсистемы-2. Если подсистема-2 выступает в роли наблюдателя, то мы получаем состояние системы относительно состояния наблюдателя (т. е. задание состояния наблюдателя аналогично заданию системы отсчета¨ в специальной теории относительности16). В частности, если известна унитарная эволюция сложной системы ψ(x, y; t), и мы задали определенную¨ временную эволюцию y = y0(t) состояния наблюдателя (подсистемы-2), то можно записать соответствующую ей временную эволюцию относительного состояния подсистемы-1:

ψy0 (t)(x; t) = ψ(x, y0(t); t).

Если бы наблюдатель (подсистема-2) мог задавать свою собственную эволюцию произвольным образом, или/т. е. если бы он мог производить сам над самими собой измерения с желаемым произвольно заданным исходом, то он мог бы тем самым управлять эволюцией квантовой системы (подсистема-1), с которой он взаимодействует (см. 9.3.9 «Активное сознание (фф*)»).

Мы можем записать относительное состояние (7.17) с помощью оператора проекции на подпространство y = y0 для подсистемы-2:

		ˆ	ˆ	y0|.			(7.18)
		Py0	= 11 |y0
ˆ	— единичный оператор для подсистемы-1, а |y0						y0| — проектор на
Здесь 11
состояние y = y0 для подсистемы-2:
	ˆ	|ψ	|ψy0	=	y0	|	ψ . (7.19)
|ψy0 |y0 = Py0
			подсистема-1		подсистема-2		система 1+2

Обратите внимание, что, поскольку |y0 описывает подсистему-2, а |ψ — сложную систему из подсистем 1 и 2, скобка y0|ψ дает¨ не число, а состояние подсистемы-1.

16В некоторых русских переводах статьи “Relative State” Formulation of Quantum Mechanics, Hygh Everett, III, Reviews of Modern Physics, Vol. 29, N. 3, 1957 относительные состояния переводятся как соотнес¨нные. Такой перевод следует считать неправильным, т. к. он не демонстрирует той идейной связи с теорией относительности, которая послужила основой работы и которую Эверетт стремился отразить в заголовке.

226

ГЛАВА 7

Формула (7.19) уже по существу не использует разложение рассматриваемого состояния |ψ по базису, т. е. того, какие именно наборы наблюдаемых мы выбрали в качестве аргументов волновой функции. Мы можем переписать (7.19) как геометрическую (не зависящую от выбора базиса) формулу для состояния относительно произвольного состояния |φ подсистемы-2:

|ψφ0	|φ0	ˆ		|φ0			φ0	|) |ψ |ψφ0 = φ0|ψ .		(7.20)
		= (11
					0
				ˆ
				Pφ

Зная относительные состояния |ψφ0 подсистемы-1, относительно всех возможных состояний |φ0 подсистемы-2 мы можем восстановить состояние |ψ сложной системы. При этом мы можем забыть о редукции волновой функции при измерении, если мы включили наблюдателя в сложную систему в духе многомировой интерпретации (9.3.7 «Многомировая интерпретация Эверетта (фф)»).

Использование относительных состояний также полезно для понимания при моделировании измерительного прибора с точки зрения квантовой механики (8.2 «Моделирование измерительного прибора*»).

Относительные состояния были введены Эвереттом для того, чтобы обосновать возможность применения квантовой механики к Вселенной в целом, как к замкнутой квантовой системе. Это прямо связано с проблемой квантования общей теории относительности (созданием квантовой теории гравитации). При этом наблюдаемое нами состояние Вселенной интерпретируется как относительное состояние для данного состояния наблюдателя (одно из многих возможных=сосуществующих).

7.5.6. Неравенство Белла и его нарушение (ф**)

Как замечательно, что мы столкнулись с парадоксом. Теперь у нас есть надежда на продвижение!

Нильс Бор W

История неравенства Белла

Неравенство Белла было введено Джоном Беллом в 1964 году при анализе мысленного эксперимента Эйнштейна – Подольского – Розена, предложенного в 1935 году.

7.5. КВАНТОВАЯ (НЕ)ЛОКАЛЬНОСТЬ

227

Рис. 7.9. Джон Стюарт Белл (1928–1990). http://www.s9.com/Biography/Bell-John-Stewart

Неравенство Белла представляет собой необходимое условие того, что три случайных величины с заданными корреляциями между собой могут быть одновременно реализованы в рамках классической теории вероятностей.

Подобная задача ставится без какого-либо упоминания квантовой механики. И, естественно, математики занимались ею и до 1964 года. Как пишет А. Ю. Хренников, неравенства Белла были первоначально получены на сотню лет раньше Джорджем Булем, а общее решение для системы n случайных величин было получено Н. Н. Воробьевым¨ в 1962 году.

Таким образом, заслуга Белла состоит не в выводе неравенства, а в его применении к интерпретации квантовой механики.

Вывод неравенства Белла

Пусть имеются три случайных величины a, b, c, которые могут принимать значения ±1. Величины a, b, c не зависят друг от друга, а зависят от некоторой случайной переменной λ.

Рис. 7.10. Джордж Буль (1815–1864). W Рис. 7.11. Николай Николаевич Воробьев¨ (1925–1995). [http://emi.nw.ru]

228

ГЛАВА 7

Мы будем обозначать угловыми скобками классическое усреднение, которое может быть записано как интеграл по вероятностной мере P (dλ) по вероятностному пространству Λ (этот интеграл может быть на самом деле взвешенной суммой, или комбинацией суммы и интеграла):

A = A(λ) P (dλ).

Λ

Тогда с учетом¨ линейности классического среднего, используя, что a2 ≡ 1, получаем

|ab − bc| = |(a − c) b| = |(1 − ac) ab | 1 − ac = 1 − ac .
×
									±1
	a2					0
Таким образом, неравенство Буля – Белла
		|ab − bc| 1 − ac .								(7.21)

Заменив c на −c можно записать другую (эквивалентную) форму того же неравенства:

|ab + bc| 1 + ac .

(7.22)

Смысл неравенства Белла

Представим себе, что есть некоторый классический случайный процесс: переменная λ принимает различные значения из вероятностного пространства Λ, причем¨ вероятность того, что λ L Λ, задается¨ как вероятностная мера 0 P (L) 1.

Однако мы не наблюдаем величину λ непосредственно, вместо этого мы можем по своему усмотрению измерять две величины из набора a(λ), b(λ), c(λ), причем¨ все величины могут принимать только значения ±1.

При этом выбор пары измеряемых величин мы делаем независимо от выпавшего λ. Например, пара измеряемых величин выбирается уже после того, как генератор случайных событий (рулетка, карты, кости, броуновское движение, дробовой шум) выдал конкретную точку λ (чтобы человек, управляющий генератором, ничего в нем¨ не подкрутил), но до того, как у нас есть возможность что-то узнать о выпавшем варианте (чтобы мы тоже не могли учесть λ при выборе пары измерений).

Много раз генерируя случайные значения λ с одинаковым распределением вероятности P , мы с необходимостью должны получить корреляторыab , bc , ac , удовлетворяющие неравенству Буля – Белла.

7.5. КВАНТОВАЯ (НЕ)ЛОКАЛЬНОСТЬ

229

И хотя каждый раз мы измеряем только две величины из трех,¨ третья каждый раз тоже принимает какое-то определенное,¨ хотя и не известное значение (разумеется, в классическом случае). Таким образом, существует 8 возможных комбинаций значений для a, b и c. Каждой из этих комбинаций мы можем приписать неотрицательную вероятность

	P (a, b, c) 0,
		P (a, b, c) = 1.
		a,b,c {−1,+1}
Корреляторы могут быть выражены через вероятности, например,
ab =	P (+, +, c) + P (−, −, c) − P (+, −, c) − P (−, +, c).
c	{−1,+1}

И если бы вдруг оказалось, что неравенство Белла нарушено, мы не смогли бы подобрать 8 неотрицательных вероятностей P (a, b, c), что неизбежно означало бы нарушение процедуры: не иначе человек, управляющий генератором случайных событий, знает о том, какие именно величины мы решили измерять, и подкручивает свой генератор в соответствии с этим17.

Неравенство Белла и скрытые параметры

В квантовой механике вероятностное пространство задается¨ не только состоянием системы, но и выбором измеряемой величины, т. е. по существу выбором измерительной установки. В связи с этим у нас нет оснований ожидать, что неравенство Белла будет выполняться для некоммутирующих наблюдаемых, которые не могут быть измерены одновременно.

Тем не менее, если неравенство Белла выполняется для некоммутирующих наблюдаемых, это оставляет надежду, что можно придумать некоторый скрытый параметр λ (который и параметризует элементарные события, по которым мы интегрируем), такой, что все наблюдаемые однозначно выражаются через этот параметр. В этом случае удалось бы придумать единое распределение вероятностей для λ (общее вероятностное пространство) для взаимоисключающих измерений. Единое вероятностное пространство означало бы, что все квантовые вероятности и неопределенности¨ сводятся к классической теории вероятности и, подобно классическим вероятностям, могут быть объяснены тем, что мы не знаем точного состояния системы, которое в этом случае задавалось бы уже не волновой функцией, а набором скрытых параметров.

17Где мой канделябр!? :)

230

ГЛАВА 7

Однако при измерении двух некоммутирующих переменных состояние системы меняется после первого измерения, что оказывает влияние на второе. Чтобы обойти эту сложность, мы измеряем две некоммутирующие переменные почти одновременно (разность времен¨ меньше, чем расстояние, деленное¨ на скорость света) на двух установках, удал¨енных друг от друга. Конечно, квантовая теория учит, что квантовое состояние изменяется мгновенно, но если квантовая теория — лишь приближенная¨ теория к теории с локальными скрытыми переменными, то это мгновенное влияние на расстоянии следует считать нефизическим, тем более, что даже квантовая теория обладает своего рода локальностью, которая не допускает сверхсветовой передачи информации.

Если продемонстрировать, что квантовая механика позволяет нарушать неравенство Белла для некоммутирующих переменных, то это будет означать, что квантовая механика принципиально отличается от любой локальной (без мгновенного дальнодействия) классической (в том числе классической вероятностной) теории. Более того, экспериментальная проверка нарушения неравенств Белла будет экспериментом, способным опровергнуть все локальные классические теории разом.

Корреляции для спинов*

Этот раздел предполагает знакомство читателя со спиновыми волновыми функциями и операторами для спина 12 .

Для построения в рамках квантовой механики контрпримера к неравенству Белла мы используем систему из двух спинов 12 , находящихся в состоянии с нулевым полным моментом:

ψ	=	| ↑ | ↓ − | ↑ | ↓			.
|		√	2

Здесь | ↑ и | ↓ — одночастичные состояния спин вверх и спин вниз. Это состояние переходит в себя при любых поворотах.

Такие состояния называют ЭПР-состояниями. Они появляются при описании парадокса Эйнштейна – Подольского – Розена в формулировке Давида Бома. Возможность нарушения неравенства Белла для такого состояния является выделенной Беллом математической сущностью парадокса ЭПР.

Измеряться будут удвоенные проекции спина одной из частиц на различные направления (они как раз могут принимать значения ±1, как и надо по условиям неравенства Белла).

7.5. КВАНТОВАЯ (НЕ)ЛОКАЛЬНОСТЬ

231

Если провести измерение проекции спина одной из частиц (пусть это будет первая частица) на ось z (или на любую другую ось, т. к. все направления для этого состояния равноправны!), то с равной вероятностью 12 проекция будет равна ±12 . После такого измерения проекции спинов обоих частиц будут определены однозначно, причем¨ их знаки всегда будут противоположны.

Таким образом, измерение проекции спина первой частицы с равным успехом можно проводить как над самой первой частицей, так и над второй частицей: состояния после измерения для обоих случаев совпадают, а измеренные числа пересчитываются друг в друга заменой знака.

Пусть второе измерение определяет проекцию спина первой частицы на ось, повернутую¨ на угол θ по отношению к оси, использованной при первом измерении. Если первое измерение проводилось для оси z, а второе — для оси повернутой¨ на угол θ вокруг оси x, то базисные одночастичные состояния для первого и второго измерений

			1		|ψ1−		= | ↓ =		0
|ψ1+ = | ↑ = 0 ,									1 ;
		=	cos θ				sin	θ
ψ2+			2	,	|	ψ2	=	2 .
|			sin 2θ			−	cos 2θ

Таким образом, последовательные измерения удвоенных проекций спина первой частицы на оси, составляющие угол θ, дают значения ±1, ±1 со следующими вероятностями:

P (+, +, θ) = 21 | ψ1+|ψ2+ |2	= 21 cos2	2θ ,
P (+, −, θ) = 21 | ψ1+|ψ2− |2	= 21 sin2	2θ ,
P (−, +, θ) = 21 | ψ1−|ψ2+ |2	= 21 sin2	2θ ,
P (−, −, θ) = 21 | ψ1−|ψ2− |2	= 21 cos2	2θ .

Таким образом, коррелятор для проекций на указанные оси составляет

ab = P (+, +, θ) − P (−, +, θ) − P (+, −, θ) + P (−, −, θ) = = cos2 θ2 − sin2 θ2 = cos θ.

Этот результат можно записать так:

(σ, n)(σ, n ) = (n, n ) = cos( nn ), |n| = |n | = 1.

(7.23)

232

ГЛАВА 7

Нарушение неравенства Белла в квантовой механике

Покажем, что направления осей, для которых измеряются удвоенные проекции спина, могут быть выбраны так, что корреляции (7.23) будут нарушать неравенство Белла (7.22).

Выберем три оси, отвечающие измерениям a, b и c, лежащими в одной плоскости под углом 23π друг к другу. Все три пары осей равноправны и мы

получаем

ab = bc = ac = cos 23π = −12 .

При подстановке в неравенство Белла (7.22) получаем противоречие:

| ab	+ bc | 1 + ac		1	1
				2 .
− 21	− 21	− 21

Таким образом, действительно, с классической локальной точки зрения поведение квантовых коррелированных систем может быть парадоксальным, и парадокс ЭПР действительно является парадоксом. Впрочем, физики, последовательно придерживающиеся неклассического и/или нелокального взгляда на мир, могут не видеть здесь парадокса.

Еще¨ раз отметим, что каждый раз при измерении пары величин измерения осуществляются над разными частицами практически одновременно (чтобы разность времен была недостаточна для путешествия сигнала со скоростью света), но результат всегда пересчитывается для первой частицы. Реально для набора статистики нам понадобится проводить не 3, а по крайней мере 4 разных измерения. Например, измерения a каждый раз проводятся над первой частицей, измерение b — над второй, а измерение c — над второй или первой в зависимости от того, в паре с каким измерением оно выполняется.

Нарушение неравенства Белла на эксперименте

Нарушение неравенства Белла было экспериментально проверено А. Аспектом в 1982 году. От описанной выше схемы эксперимент Аспекта отличался использование фотонов вместо электронов, что математически эквивалентно, т. к. фотоны также имеют две независимых поляризации18.

Более существенно то, что большая часть фотонов в эксперименте Аспекта не регистрировалась детекторами. Таким образом, реально наблюдаемые пробегали не 2 значения ±1, отвечающих двум поляризациям фотона/электрона, а три значения: добавлялся 0, отвечающий потере фотона.

18Т. к. спин фотонов не 12 , а 1, углы между направлениями анализаторов для фотонов надо поделить на 2.