Как понимать квантовую механику

Рис. 7.12. Алан Аспект.

7.6. ТЕОРЕМА О НЕВОЗМОЖНОСТИ КЛОНИРОВАНИЯ**

233

Если предположить, что потеря фотона может коррелировать с его поляризацией, то можно построить такой набор классических вероятностей для каждой из комбинаций трех¨ исходов, которая позволит воспроизвести экспериментальные корреляции.

Таким образом, эксперимент Аспекта подтверждает нарушение неравенств Белла только в предположении независимости события регистрации фотона от его поляризации.

Теоретически это означает, что эксперимент Аспекта не полностью закрывает возможность построения локальной теории скрытых параметров, хотя и сильно ограничивает свойства таких теорий.

7.6.Теорема о невозможности клонирования квантового состояния**

Теорема о невозможности клонирования квантового состояния утверждает, что невозможно, имея квантовую систему в некотором произвольном неизвестном состоянии ψ, приготовить две системы в том же состоянии ψ.

Однако, если состояние ψ известно, то мы можем приготовить в этом состоянии произвольное число систем, причем¨ нам даже не нужна исходная система-образец в этом состоянии.

Приготовление системы подразумевает возможность произвольного чередования любых измерений с унитарной эволюцией под действием произвольных гамильтонианов с отбором систем по результатам измерений. Эти три процедуры позволяют также описать приготовление системы которого зависит от результатов промежуточных измерений.

Если не нормировать волновые функции на единицу, то процесс приготовления системы сводится к последовательному действию на исходное состояние (здесь |φ0 — состояние окружения)

|Ψ0 = |ψ|φ0

различных унитарных операторов и проекторов, произведение которых

¨ ˆ дает некоторый линейный оператор K.

ˆ

Линейность оператора, приготовления состояния K подсказывает идею доказательства:

Начальное состояние |Ψ0 линейно по |ψ , следовательно, конечное состояние |Ψ1 = |ψ|ψ|φ1 также должно быть линейно по ψ, что, вероятно, невозможно.

234 ГЛАВА 7

Рассмотрим два линейно независимых состояния ψ1 и ψ2 и предположим, что мы можем клонировать и эти состояния, и их сумму ψ1 + ψ2

	ˆ
с помощью одного оператора K.
Для ψ1 и ψ2 получаем
ˆ	|φ0	= |ψ1	|ψ1|φ1 ,
K|ψ1
ˆ	|φ0	= |ψ2	|ψ2|φ2 .
K|ψ2

ˆ

Для ψ1 + ψ2 в силу линейности K

ˆ |ψ1 + ψ2|φ0 = |ψ1|ψ1|φ1 + |ψ2|ψ2|φ2 + |ψ1|ψ2 0 + |ψ2|ψ1 0. K

С другой стороны, если состояние ψ1 + ψ2 клонируется тем же операто-

ˆ

ром K:

ˆ | | | | |

K ψ1 + ψ2 φ0 = ψ1 + ψ2 ψ1 + ψ2 φ1+2 =

= |ψ1|ψ1|φ1+2 + |ψ2|ψ2|φ1+2 + |ψ1|ψ2|φ1+2 + |ψ2|ψ1|φ1+2 .

Из линейной независимости ψ1 и ψ2 следует линейная независимость их тензорных произведений

|ψ1|ψ1 , |ψ2|ψ2 , |ψ1|ψ2 , |ψ2|ψ1 .

ˆ | |

В силу этого, сравнивая два выражения для K ψ1 + ψ2 φ0 , получаем, приравнивая последние тензорные множители при одинаковых первых двух:

|φ1+2 = |φ1 , |φ1+2 = |φ2 ,

|φ1+2 = 0, |φ1+2 = 0.

Таким образом, мы не можем клонировать с помощью одного и того

ˆ

же оператора K даже состояния из двумерного линейного подпространства, натянутого на ψ1 и ψ2. Случай же одномерного подпространства интереса не представляет, поскольку знание одномерного подпространства означает знание состояния (с точностью до множителя).

Если можно было бы клонировать некоторое состояние системы, то мы могли бы, совершая различные измерения для разных «клонов», полностью (с точностью до общего множителя) определить волновую функцию системы, однако в силу теоремы о невозможности клонирования произвольная волновая функция единичной системы оказывается недоступна измерению.

7.6. ТЕОРЕМА О НЕВОЗМОЖНОСТИ КЛОНИРОВАНИЯ**

235

Невозможность клонирования также означает невозможность «подсмотреть» унитарную эволюцию системы, не прерывая ее¨. В частности, это накладывает ряд принципиальных ограничений на работу с квантовым компьютером (невозможность «следить» за процессом вычислений, невозможность полностью использовать квантовый параллелизм и т. д.).

7.6.1. Смысл невозможности клонирования (ф*)

Теорема о невозможности клонирования квантового состояния гласит, что, имея некоторую систему в неизвестном (произвольном) квантовом состоянии? мы не можем приготовить две системы (или более) в таком же состоянии. Разумеется, если мы знаем в каком состоянии система, то мы в принципе можем приготовить сколь угодно много систем в таком же состоянии.

Чтобы понять, какие физико-философские последствия имеет теорема о невозможности клонирования, давайте предположим противное: представим себе, что у нас есть некоторое клонирующее устройство, осуществляющее клонирование квантового состояния, и изучим, к каким последствиям это может привести.

Многократно измеряя для системы в одинаковом состоянии какойлибо полный набор совместных наблюдаемых n, мы можем (благодаря клонирующему устройству) набрать статистику и получить распределение вероятностей всевозможных исходов измерения, т. е. определить функцию pn = |ψn|2 для данного базиса.

Это пока не позволяет определить саму волновую функцию, т. к. мы пока знаем только модули амплитуд |ψn|, но не фазы arg(ψn). Однако, обладая клонирующим устройством, мы можем набрать статистику для нескольких разных полных наборов наблюдаемых и получить распределения вероятностей для различных базисов.

Неизмеримость волновой функции (ф*)

Совокупность распределений вероятности для всевозможных наборов наблюдаемых называется квантовой томограммой19. Квантовая томограмма позволяет полностью определить исходное неизвестное состояние (с точностью до физически незначащего общего фазового множителя). По

19На самом деле для задания квантовой томограммы нам даже не нужны распределения вероятностей для всех возможных полных наборов наблюдаемых. Например, для одиночной частицы на прямой достаточно задать распределения по всевозможным комбинациям αx + + βp, а для одиночного спина 12 — распределения по проекциям спина на всевозможные направления. Более подробно квантовая томография будет обсуждена в другом разделе.

236

ГЛАВА 7

существу квантовая томограмма — иное представление состояния квантовой системы.

Таким образом, клонирующее устройство позволило бы нам измерять на эксперименте квантовую томограмму, т. е. квантовое состояние (волновую функцию) единичной системы.

Без клонирующего устройства, обладая единичной системой в неизвестном состоянии, наибольшее, что мы можем сделать, — один раз измерить какой-либо полный набор совместных наблюдаемых. При этом мы полностью уничтожим исходное состояние системы: состояние спроецируется на собственное подпространство, отвечающее найденным значениям измеренных наблюдаемых. Единственное, что мы можем достоверно сказать про исходное состояние, что и до измерения его проекция на данное подпространство была отлична от нуля.

Возьмем¨ простейший случай, когда система представляет собой квантовый бит (кубит — система с двумерным пространством состояний), например спин электрона, или поляризацию фотона. Квантовый бит, в отличие от классического, может помимо базисных состояний |0 и |1 принимать их произвольные линейные комбинации α|0 +β|1 . Даже после фиксации нормировки и фазы у нас остается¨ бесконечно большое множество состояний, параметризуемое отношением αβ . Для параметризации отношения

αβ (одно комплексное число или два вещественных) нам потребуется бесконечно много двоичных цифр, т. е. бесконечно много классических битов.

Любое количество классических битов мы могли бы извлечь из одного квантового бита, если бы у нас было клонирующее устройство.

В реальности (без клонирующего устройства) мы можем извлечь из одного квантового бита только один бит классической информации.

Невозможность квантовой телепатии (ф*)

Итак, клонирующее устройство позволило бы измерять волновую функцию. К чему бы это привело? Мы могли бы передавать информацию на расстоянии со сколь угодно большой скоростью! При этом грубо нарушались бы принципы специальной теории относительности.

Пусть у нас есть два кубита (спина) в запутанном состоянии

|I =	| ↑ | ↓ − | ↓ | ↑ | → | ← − | ← | →
	√			=	√			.
		2				2

Здесь мы использовали два одночастичных базиса: спин вверх-вниз и спин вправо-влево. Связаны между собой эти базисы следующими соотноше-

7.6. ТЕОРЕМА О НЕВОЗМОЖНОСТИ КЛОНИРОВАНИЯ**										237
ниями:						| ↓ − | ↑
| ↓ + | ↑
| → =	√			,	| ← =	√			.
		2					2

Пусть первый кубит находится в распоряжении Алисы, а второй — в распоряжении Бориса. Если Алиса измеряет свой кубит в базисе вверх-вниз или в базисе вправо-влево. Кубит Бориса мгновенно попадает в состояние того же базиса с ориентацией, противоположной измеренной Алисой:

измерение ": |I −→ | ↑ | ↓ или | ↓ | ↑ ,

измерение ↔: |I −→ | → | ← или | ← | → .

Если у Бориса есть клонирующее устройство, то он может клонировать свой кубит и измерить в каком состоянии он находится. Если кубит Бориса в состоянии | ↑ или | ↓ , то это значит, что Алиса использовала базис вверх-вниз. Если кубит Бориса в состоянии | ← или | → , то это значит, что Алиса использовала базис влево-вправо. Таким образом, если почти на полпути между Алисой и Борисом расположен источник, который испускает к ним запутанные кубиты, которые прибывают к Алисе чуть раньше, чем к Борису, то Алиса может практически мгновенно передавать Борису информацию, кодируя ее¨ выбором базиса (вверх-вниз — 1, влево-вправо — 0).

Если у Бориса нет клонирующего устройства, то у него нет возможности узнать угадал ли он базис, который использовала Алиса. Если Борис использует тот же базис, то он будет всегда получать другое направление спина, чем Алиса. Корреспонденты при этом получают две цепочки случайных значений ↑, ↓, так что каждому значению Алисы соответствует противоположное Бориса. Однако Алиса не может влиять на то, выпадет ли ей при очередном измерении ↑ или ↓20, таким образом, она не может передать информацию. Если же используются разные базисы, то результаты измерений корреспондентов оказываются и вовсе никак не связаны. Возможны промежуточные ситуации, при использовании других базисов, но в любом случае (см. 7.5.3 «Зацепленные состояния при неселективном измерении (ф*)») Алиса не может передать Борису информацию, производя любые манипуляции над своей частью запутанной системы.

Другое доказательство невозможности клонирования (ф*)

Рассуждения предыдущего раздела можно рассматривать не только как вывод следствий из теоремы о невозможности клонирования квантового

20Обсуждение этого см. в разделах 8.3.2 «“Жесткость”¨ формулы для вероятностей (фф)», 9.3.9 «Активное сознание (фф*)».

238

ГЛАВА 7

состояния, но и как альтернативное доказательство этой теоремы. В разделе 7.6 «Теорема о невозможности клонирования квантового состояния**» при доказательстве использовалось описание результата измерения с помощью проекционного постулата. Однако проекционный постулат в квантовой механике «на плохом счету»: многие физики смотрят на него как на некоторое довольно сомнительное приближение, в отличие от унитарной эволюции и формул для расчета¨ вероятностей. В предыдущем разделе мы привели иное доказательство невозможности клонирования квантового состояния, не используя проекционный постулат, заменив его предположением о невозможности квантовой телепатии.

7.7. Квантовая телепортация**

Квантовая телепортация — эффект переноса квантового состояния с одного объекта на другой без непосредственного взаимодействия. В процессе квантовой телепортации осуществляется измерение, но сам по себе результат этого измерения не позволяет определить передающееся квантовое состояние, однако позволяет определить, какому воздействию должен подвергнуться второй объект, чтобы очутиться в состоянии, в котором ранее пребывал первый.

Рассмотрим простейший случай квантовой телепортации, при котором телепортируется спиновое состояние одного квантового бита. Квантовый бит, q-бит или кубит — система, для которой в данных условиях существенны лишь два линейно ортогональных состояния, например частица со спином 12 (спин вверх и спин вниз), фотон (две ортогональные поляризации), два близких (или вырожденных) энергетических уровня какой-либо молекулы и т. п. Два ортонормированных состояния кубита обозначим как

	1
|0 =	0	,	|1 =	1 .

В процессе квантовой телепортации участвуют три кубита — исходный (1-й), вспомогательный (2-й) и конечный (3-й), а также два макроскопических экспериментатора, которых, следуя криптографической традиции, мы будем называть Алиса и Борис (он же Боб в иностранной литературе), и классическая линия связи между ними.

В начале эксперимента исходный кубит находится в некотором неизвестном состоянии

|φ0 = α|0 + β|1 =	α	,	|α|2 + |β|2 = 1.
	β

7.7. КВАНТОВАЯ ТЕЛЕПОРТАЦИЯ**

239

Конечный и вспомогательный кубит находятся в запутанном ЭПР-состоянии

|	Ψ		=		|1 |0 − |0 |1			.
					√
	1
				2

Здесь 1-й множитель соответствует вспомогательному кубиту, а 2-й — конечному. Таким образом, состояние всех трех¨ кубитов описывается волновой функцией

|Φ0 = |φ0 |Ψ1 = 1 (α|0 + β|1 )(|1 |0 − |0 |1 ).

√

2

Множители расположены в порядке номеров кубитов.

Предполагается, что 1-й и 2-й кубиты находятся в распоряжении Алисы, а 3-й в распоряжении Бориса. 2-й и 3-й кубиты находятся в запутанном состоянии (когда-то раньше они были приведены в это состояние). Например, Борис мог до начала эксперимента (даже до того, как 1-й кубит попал в состояние |φ0 ) приготовить кубиты 2, 3 и отдать 2-й Алисе.

Алиса совершает измерение над двумя имеющимися у нее¨ кубитами. Измеряется физическая величина, соответствующая двухчастичному оператору

ˆ = 4 n |Ψn Ψn|, A

n=1

где состояния |Ψn образуют ортонормированный базис двухчастичных запутанных состояний (одно из них — |Ψ1 — нам уже встречалось):

|Ψ1 =	|1 |0 − |0 |1			,
	√
	2
|Ψ2 =	|1 |0 + |0 |1			,
	√
	2
|Ψ3 =	|1 |1 − |0 |0			,
	√
	2
|Ψ4 =	|1 |1 + |0 |0			,
	√
	2

Ψn|Ψm = δnm.

240

ГЛАВА 7

ˆ

Оператор A — двухчастичный. Чтобы указать, какие именно частицы измеряются, мы можем выписать его трехчастичный¨ вариант, написав тензорное произведение с одночастичным единичным оператором

	ˆ	ˆ	ˆ
ˆ	A12	= A	1.	ˆ
Оператор A12 действует на первые две частицы как оператор A, а состояние
третей не изменяет.		ˆ
			имеют вид
Собственные функции оператора A12
ˆ	|Φnϕ = |Ψn |ϕ ,			n {1, 2, 3, 4},
A12|Φnϕ = n|Φnϕ ,
где |ϕ — произвольная одночастичная волновая функция.
ˆ			{1, 2, 3, 4}, при этом состояние
Измеряя A12, мы определяем число n

системы после измерения принимает вид |Φnϕ :

1

|Φ0 = |φ0 |Ψ1 = √ (α|0 + β|1 )(|1 |0 − |0 |1 ) = 2

1 = √ (α|0 |1 |0 − α|0 |0 |1 + β|1 |1 |0 − β|1 |0 |1 ) =

2

1

|Ψ2 − |Ψ1

|Ψ4 − |Ψ3

= √

α

√

|0 − α

√

|1 +

2

2

2

+ β |Ψ4 √2|

3

|0 − β | 2 √2|

1 |1

=

+ Ψ

Ψ

+ Ψ

1

|Ψ2 [α|0 − β|1 ] +

= 2 (|Ψ1 [−α|0 − β|1 ] +

+ |Ψ3 [β|0 + α|1 ] + |Ψ4 [β|0 − α|1 ]).

Таким образом,

исходное

состояние |Φ0

разлагается на собственные

ˆ

следующим образом:

состояния оператора A12

4

1

|Φ0 =

2 |Ψn |ϕn .

n=1

Здесь

ϕ1

= α 0

β 1

=

−α

,

|

− | −

|

−β

7.7. КВАНТОВАЯ ТЕЛЕПОРТАЦИЯ**								241
	|ϕ2 = α|0 − β|1 =	α	,
		−β
	|ϕ3 = β|0 + α|1 =	β
		α ,
	|ϕ4 = β|0 − α|1 =	β	.
		−α
ˆ	частицы 1 и 2 с равной вероятностью			1	=			1	2
После измерения A12				4				2
попадают в одно из состояний |Ψn , а частица 3 в соответствующее						состоя-

ние |ϕn . Каждое из состояний |ϕn содержит оба числа α и β, и оно может быть превращено в исходное состояние |φ0 с помощью соответствующего унитарного оператора:

			ˆ
			|φ0 = Un|ϕn ,
где
	1	0	= −E,ˆ Uˆ2			1	0	= σˆz ,
Uˆ1 = −0 −1				=		0 −1
Uˆ3 =	0 1				0	1	= −iσˆy .
	1 0 = σˆx, Uˆ4 =				1	−0

Эти четыре матрицы выражаются через матрицы Паули и единичную матрицу.

Поскольку состояние все¨ равно определяется с точностью до фазового множителя, мы можем не обращать внимание на фазовые множители

ˆ

в формулах для унитарных операторов Un.

Если кубиты реализованы как частицы со спином 12 , то, с точностью

ˆ { }

до фазовых множителей, матрицы Un для n 2, 3, 4 совпадают с операторами поворота на угол π вокруг осей z, x и y соответственно. Такие повороты можно реализовать, накладывая на определенное¨ время магнитное поле вдоль соответствующей оси координат. В случае n = 1 третья частица сразу оказывается в состоянии |φ0 с точностью до знака.

Заметим, что если исходный кубит, который подвергается телепортации, находился в зацепленном состоянии с другими системами, то телепортация переносит зацепленность на 3-й кубит, а 1-й кубит остается¨ зацепленным только со вторым. Благодаря этому, систему квантовых кубитов в запутанном состоянии можно телепортировать в несколько приемов,¨ передавая за раз по одному кубиту.

242

ГЛАВА 7

Квантовая телепортация одного кубита (спинового состояния фотона) была успешно осуществлена на эксперименте с вероятностью 14 : на эксперименте пока удалось осуществить измерение, отличающее первый исход измерения (состояние |Ψ1 ) от остальных трех,¨ но не различить оставшиеся три состояния между собой. Таким образом, телепортацию удавалось осуществить только в случае n = 1.