Как понимать квантовую механику

10.6. ЛОГИКА И ВЫЧИСЛЕНИЯ

303

которое также имеет 2l состояний и может быть записано как множество состояний l битов.

Обратимая логическая операция может быть изображена графически (рис. 10.1) в виде обратимого логического вентиля: блока, имеющего равное число входов (однобитных аргументов) и выходов (битов для записи значения функции). Такая картинка полностью аналогична графическому представлению квантового оператора, действующего на сложную систему (см. 4.4.4 «Сравнение разных обозначений*»), и, действительно, действие такого вентиля на квантовую систему соответствует действию соответствующего унитарного оператора.

Доказано, что любое классическое вычисление может быть сделано обратимым. При этом достаточно применить конечное число разновидностей обратимых логических вентилей, например, достаточно одного универсального вентиля «управляемое не»:

00 → 00

01 → 01

«управляемое не»: 10 → 11 .

11 → 10

В операции «управляемое не» первый бит определяет применять ли операцию «не» ко второму биту, сам первый бит передается¨ со входа на выход без изменений.

Обратимые вентили типа «управляемое не» могут быть реализованы в виде классических, или квантовых устройств. Однако такой вентиль переводит базисное состояние (в котором состояние всех битов задается¨ как 0 или 1 и биты не зависят друг от друга) снова в базисные состояния.

То есть в процессе таких вычислений (вычислений в базисных состояниях) нигде не появляются квантовые суперпозиции и квантовая запутанность. Единственное преимущество квантовой реализации таких вычислений — теоретическая возможность вычисления без генерации энтропии, т. е. без диссипации энергии. Генерация энтропии и нагрев будут обязательно происходить только при необратимой очистке памяти и приготовлении исходного состояния компьютера.

10.6.5. Вентили сугубо квантовые

Чтобы построить универсальный квантовый в смысле приведенного¨ выше определения необходимо дополнить описанный выше вентиль «управляемое не» несколькими сугубо квантовыми вентилями. Обычно берут

304 ГЛАВА 10

однобитовые вентили

		1		1			.
eiασx , eiασy , eiασz , H =		√			√
		12		12
		√	2	−	√	2

Доказано, что, используя перечисленные вентили, можно воспроизвести любое унитарное преобразование на пространстве состояний входа (пространстве состояний L кубитов) с любой наперед¨ заданной точностью.

10.6.6. Обратимость и уборка «мусора»

Переписывание какого-либо необратимого алгоритма в обратимом виде может привести к тому, что в схеме появятся дополнительные выходные биты, которые будет нести дополнительную информацию, которая не нужна для вычислений, но которая необходима, чтобы сделать вычисления обратимыми.

То есть результат вычисления можно записать так:

ˆ |

U вход, 0 . . . 0,

выход

0 . . . 0	= |вход, выход, вспомогательная информация .
		«мусор»

доп. ячейки

Вспомогательная информация может мешать интерференции квантовых состояний, поэтому предпочтительно было бы иметь процесс вида

ˆ	0 . . . 0	= |вход, выход, 0 . . . 0 .
U |вход, 0 . . . 0,
выход	доп. ячейки

ˆ

Это не нарушает обратимости оператора U , т. к. вся информация, необходимая для обращения вычисления, уже содержится в подсистеме ячеек «вход».

Доказано, что любое классическое вычисление всегда можно провести обратимым образом так, чтобы все дополнительные ячейки памяти, которые не используются для записи входа и выхода, в начале и конце процесса были в состоянии 0 («ложь», «нет», «спин вниз» и т. п.).

Как правило, мы не можем «подсматривать» за промежуточными состояниями квантового компьютера, работающего в суперпозиции базисных состояний, чтобы не разрушить суперпозицию и не испортить вычисления. Однако, если мы заранее знаем, что на каком-то этапе вычислений в определенной¨ ячейке обязательно должен быть 0, мы можем это проверить, и состояние квантового компьютера от этого не изменится.

10.6. ЛОГИКА И ВЫЧИСЛЕНИЯ

305

Если квантовые вентили реализуются не идеально точно, реальное состояние может чуть-чуть отличаться от желаемого, и мы можем вместо 0 обнаружить 1. Это будет означать ошибку квантового компьютера. Если мы в самом деле обнаружим 0, то «неправильная» часть волновой функции системы обнулится и мы, убедившись что ошибки пока нет, увеличим вероятность успешного завершения вычисления. По существу, это разновидность квантового эффекта Зенона.

ГЛАВА 11

Симметрии-1 (теорема Нетер)¨

Наиболее естественно строить квантовую механику, основываясь, понятии симметрии. Выше (5.1 «Квантовая механика замкнутой системы») временная эволюция была описана как преобразование симметрии, порожденное¨ оператором энергии (гамильтонианом). Следуя за классической теоретической механикой, в которой теорема Эммы Нетер¨ устанавливает связь между симметриями и законами сохранения, мы должны ожидать, что и другим преобразованиям симметрии будут соответствовать свои сохраняющиеся величины, причем¨ сдвигу по координате должен соответствовать импульс.

Рис. 11.1. Эмма Нетер¨ Как мы увидим далее, квантовая теорема Нетер¨ (1882–1935). W даже проще классической. Мы воспользуемся ей, чтобы ввести в квантовую механику ряд наблюдаемых, как имеющих классические аналоги (импульс, момент импульса), так

и не имеющих (четность,¨ квазиимпульс).

11.1. Что такое симметрия в квантовой механике

Симметрия физической системы — это некоторое преобразование, которое переводит одни решения уравнений эволюции в другие решения того же уравнения1. В частности стационарные состояния должны переходить в стационарные с той же энергией2. Стационарные состояния образуют ба-

1Рассматривавшийся выше сдвиг нулевого уровня энергии (5.13) не подпадает под данное

	ˆ	→	ψ(t)e−	iE0t	переводит решения уравнения
определение, поскольку преобразование ψ(t)				h¯
Шредингера¨	с гамильтонианом H в решения другого уравнения Шредингера,¨					с гамильтониа-
ном Hˆ = Hˆ + E01ˆ.

2Если симметрия не зависит от времени. В данном разделе мы ограничимся этим случаем, хотя возможны и иные случаи, например, переход от одной инерциальной системы отсчета¨

11.1. ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

307

зис, поэтому достаточно проверить симметрию только для стационарных состояний.

Симметрии должны удовлетворять следующим условиям:

•пространство чистых состояний имеет структуру линейного пространства = симметрии описываются линейными операторами;

•симметрия должна обладать свойством рефлексивности (если ψ симметрично φ, то и φ симметрично ψ) = для всякого оператора симметрии существует обратный оператор, который тоже является симметрией;

•пространство чистых состояний наделено структурой скалярного произведения = операторы симметрии должны сохранять скалярное произведение (а значит и вероятность).

Перечисленные три условия означают, что симметрии описываются

ˆ

унитарными операторами. φ симметрично ψ относительно симметрии U ,

ˆ ˆ

записывается как ψ = U φ, где U — унитарный оператор данной симметрии. Пусть задан некоторый гамильтониан, для которого задан спектр:

ˆ

HψE = EψE .

ˆ

Если унитарный оператор U является симметрией данного гамильтониа-

ˆ

на, то состояние U ψE также является собственным для того же гамильтониана с тем же собственным числом:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

(HU )ψE = H(U ψE ) = E(UψE ) = U (HψE ) = (U H)ψE .

Вычитая из первого выражения в цепочке равенств последнее, получаем:

ˆ ˆ	ˆ ˆ
(HU	− U H)ψE = 0.
Состояния ψE образуют базис. Таким образом, все базисные состояния об-
	ˆ	ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ
нуляются под действием оператора [H, U ] = HU				− U H, а значит данный
оператор является нулевым:
ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ		(11.1)
[H, U ] = HU		− U H = 0.

Равенство нулю коммутатора (11.1) является необходимым и достаточным

ˆ

условием того, что унитарный оператор U является симметрией данного

ˆ

гамильтониана H.

к другой, движущейся относительно исходной равномерно и прямолинейно, является симметрией для свободной частицы, хотя и меняет уровни энергии.

308

ГЛАВА 11

ˆ

Из условия (11.1) следует, что эрмитов оператор H и унитарный опе-

ˆ

ратор U могут быть диагонализованы одновременно, т. е. может быть построен базис, все элементы которого являются собственными функциями для обоих операторов. Следует иметь в виду, что не всякая функция, собственная для одного оператора, также является собственной для другого (такое возможно для собственных чисел, которым соответствуют несколько линейно независимых собственных функций).

11.2. Преобразования операторов «вместе» и «вместо»

Мы можем применять преобразования симметрии не только к состояниям, но и к операторам. Мы можем выполнять преобразования двумя способами:

•Преобразование «вместе»: операторы преобразуются вместе с состояниями, так, чтобы изменение операторов компенсировало изменение состояний и все матричные элементы оставались теми же, что и до преобразования:

ψ → Uˆ ψ, Aˆ → Uˆ AUˆ ˆ	†, φ|Aˆ|ψ → φ| Uˆ	†Uˆ	Aˆ U †Uˆ	|ψ = φ|Aˆ|ψ .
		ˆ	ˆ
		1	1

•Преобразование «вместо»: операторы преобразуются вместо состояний, так, чтобы изменение операторов и изменение состояний давало одинаковое преобразование матричных элементов:

ψ → Uˆ ψ,	Aˆ → A,ˆ	φ|Aˆ|ψ → φ|Uˆ †AUˆ ˆ |ψ ,
	или
ψ → ψ,	Aˆ → Uˆ †AUˆ ˆ , φ|Aˆ|ψ → φ|Uˆ †AUˆ ˆ |ψ .

Таким образом, преобразования операторов «вместе» и «вместо» осуществляются с помощью обратных операторов.

Преобразования «вместе» естественно применять для описания пассивных преобразований, когда преобразования состояния системы трактуются как замена базиса. В этом случае преобразование операторов вместе с состояниями соответствует их переписыванию в новом базисе.

Преобразования «вместо» естественно применять для описания активных преобразований, когда преобразования состояния системы трактуются

11.3. НЕПРЕРЫВНЫЕ СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

309

как изменение физического состояния системы. В этом случае преобразование операторов вместо состояний дает¨ альтернативное описание того же самого преобразования. Например, преобразование операторов от представления Шредингера¨ к представлению Гайзенберга — это преобразование операторов «вместо» преобразования состояний, задававшего унитарную эволюцию в представлении Шредингера¨.

11.2.1. Непрерывные преобразования операторов и коммутаторы

ˆ

Пусть оператор A подвергается однопараметрическому преобразова-

ˆ

нию «вместе» Uα:

Aˆ → Aˆα = UˆαAUˆ ˆα†	ˆ
	, Uˆα = eiαB .

		ˆ
Дифференцируя Aα по параметру α, получаем коммутатор операто-
ˆ				ˆ
ра Aα и генератора преобразования B:
	ˆ
	dAα	= (iBˆ)Uˆ	AUˆ ˆ †	+ Uˆ		AUˆ ˆ †	(	iBˆ) = i[B,ˆ	Aˆ	].	(11.2)
	dα
		α	α		α	α		−	α

Положив α = 0, получаем необходимое и достаточное условие инвариантности оператора при однопараметрическом преобразовании («вместе» или «вместо» — не важно):

ˆ ˆ

[A, B] = 0.

11.3.Непрерывные симметрии и законы сохранения

Вклассической механике каждой симметрии, параметризуемой непрерывным параметром, в соответствии с теоремой Эммы Нетер¨ соответствует закон сохранения. Если выбором координат свести такую симметрию к сдвигу по какой-то обобщенной¨ координате (однородность по обобщенной¨ координате), то такой сохраняющейся величиной можно выбрать обобщенный¨ импульс вдоль этой координаты. Если функция Гамиль-

тона H(Q, P ) не зависит от координаты Qi, то есть если					∂H(Q,P )	= 0, то
			˙		∂Qi
	∂H(Q,P )
в силу уравнения Гамильтона			= −Pi	импульс Pi не зависит от
	∂Qi
времени.

Получим квантовый аналог теоремы Нетер¨. Пусть имеется однопара-

ˆ

метрическая группа симметрий гамильтониана H с непрерывным парамет-

310	ГЛАВА 11
ром α R:
ˆ	ˆ	ˆ	+α2	,	(11.3)
Uα1 Uα2		= Uα1
	Uˆα−1 = Uˆ−α,				(11.4)
	ˆ	ˆ			(11.5)
	U0	= 1,
ˆ	ˆ				(11.6)
[H, Uα] = 0.

Частный случай однопараметрической группы симметрии сдвига по времени (5.4)–(5.6) уже рассматривался при выводе уравнения Шредингера¨.

ˆ

И подобно тому, как из сдвига по времени Ut получается оператор Гамильтона (оператор Гамильтона отвечает энергии, той самой величине, сохранение которой следует из однородности времени по теореме Нетер),¨ из

ˆ

симметрии Uα получится эрмитов оператор некоторой сохраняющейся ве-

личины.

Дифференцируя (11.6) по параметру α, получаем:

∂

α=0 = $H,ˆ

ˆ

% = 0.

∂Uα

[H,ˆ Uˆα]

∂α

∂α

α=0

Обозначим

ˆ

i

ˆ

Aˆ = −i¯h

∂Uα

Uˆα = e ¯h

αA

(11.7)

∂α

α=0

другой знак). Полностью аналогич-

(по сравнению с (5.9) здесь выбран

но (5.10)

Aˆ

†

Aˆ†

Uˆdα†

= 1ˆ − dα i¯h + o(dα)

= 1ˆ + dα

+ o(dα),

(11.8)

i¯h

1

ˆ

−1

ˆ

Uˆdα†

A

= 1ˆ

A

= Uˆdα−

= 1ˆ − dα i¯h + o(dα)

+ dα i¯h

+ o(dα),

	Aˆ = Aˆ†.

ˆ

Таким образом, мы получаем эрмитов оператор A, для которого коммутатор с гамильтонианом обнуляется

ˆ ˆ	(11.9)
[H, A] = 0.
ˆ ˆ

Эрмитовы операторы H и A могут быть одновременно диагонализованы.

То есть математически (11.9) не имеет преимуществ перед (11.1), но имеется преимущество с точки зрения физического смысла, поскольку эрмитовой

11.3. НЕПРЕРЫВНЫЕ СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

311

величине соответствует некоторая измеряемая величина. Энергия и физи-

ˆ

ческая величина, соответствующая оператору A, могут быть одновременно измерены.

Далее мы рассмотрим ряд важных примеров квантовых законов сохранения.

11.3.1. Сохранение единичного оператора

Заметим, что любой гамильтониан симметричен относительно одно-

временного умножения всех волновых функций на одинаковый фазовый множитель eα = eiα, α R, |eα| = 1. Умножение на eα может рассматри-

· ˆ

ваться как действие унитарного оператора eˆα = eα 1 из группы U (1). Мы получаем однопараметрическую симметрию, для которой сохраняющаяся

			ˆ		∂eˆα
физическая величина задается¨			единичным оператором 1	= −i			, ко-
					∂α α=0
торый, очевидно,	коммутирует с любым оператором, а значит сохраняется
	3
для любого гамильтониана		.

11.3.2. Обобщенный¨ импульс

Пусть симметрией системы является сдвиг вдоль обобщенной¨ коор-

ˆ

динаты Qi на произвольную величину a. То есть оператор симметрии Ta действует следующим образом:

ˆ						∂
Taψ(Qi, q) = ψ(Qi		+ a, q) = ψ(Qi, q) + a				∂Qi	ψ(Qi, q) + · · · +
1				∂	n		(11.10)
					ψ(Qi, q) + · · · .
+			a
	n!			∂Qi

Здесь состояние ψ записано как волновая функция, аргументами которой являются координата Qi и некоторый набор физических величин q, образующий вместе с Qi полный набор независимых переменных. Далее мы разложили волновую функцию в степенной ряд по параметру a. Срав-

ˆ

нив Taψ(Qi, q) с получившимся рядом, получаем

Tˆ = 1ˆ+ a

∂

+ + 1

a

∂

+ = ea ∂Qi = e ¯h a −i¯h

∂Qi

= e ¯h aPˆi .

n

∂

i

∂

i

a

· · ·

· · ·

∂Qi

n!

∂Qi

(11.11)

3Описанная симметрия и отвечающий ей «закон сохранения» представляются тривиальными и малоинтересными, но после некоторой модификации они окажутся интересными для систем с переменным числом частиц с точки зрения сохранения заряда.

312 ГЛАВА 11

Здесь мы ввели обозначение для оператора обобщенного¨ импульса вдоль

координаты Qi				.
	∂		ˆ
Pˆi = −i¯h		= −i¯h	∂Ta		(11.12)
	∂Qi		∂a
				a=0

Для обычной декартовой координаты в роли обобщенного¨ импульса выступает проекция обыкновенного механического импульса на выбранную ось. Для угла поворота вокруг некоторой оси в роли обобщенного¨ импульса выступит проекция момента импульса на данную ось.

Собственные функции для оператора (11.12) зависят от координаты Qi как волны де Бройля

i
ψp(Qi, q) = c(q) · e ¯h p·Qi .	(11.13)

Если обобщенная¨ координата Qi R, то спектр непрерывен, и собственное число p пробегает всю действительную ось p R. Если координата Qi пробегает конечный интервал [0, Qmax] с периодическими граничными условиями (например, если Qi — угол вокруг какой-либо оси, Qmax = = 2π, а Pi — проекция момента импульса на эту ось), то спектр оператора

ˆ	дискретен, и	p·Qmax		Z. Устремляя	Qmax	к бесконечности, мы можем
Pi		2π¯h
совершить предельный переход к непрерывному спектру.
	Для определенного¨ таким образом обощенного¨ импульса и соответ-

ствующей координаты мы можем получить коммутационное соотноше-

ˆ ˆ 4
ние [Q, P ]:		ψ −			(Qψ) = i¯hψ,
[Q,ˆ Pˆ]ψ = (QPˆ ˆ − PˆQˆ)ψ = Q −i¯h	∂		−i¯h	∂
	∂Q			∂Q
ˆ ˆ					(11.14)
[Q, P ] = i¯h.

Мы получили коммутационное соотношение (11.14) для случая, когда волновая функция является функцией обобщенной¨ координаты Q, и, соответ-

			ˆ			ˆ
ственно, оператор Q сводится к умножению на Q, а оператор P записыва-
	ˆ		∂
ется как P =		−i¯h	∂Q		, однако полученный ответ может быть использован
4	На самом деле не все¨					ˆ ˆ
					так просто. Область определения коммутатора [Q, P ] включает
						ˆ ˆ
только векторы, на которые определено действие операторов Q, P , в то время как область

определения оператора умножения на число i¯h — все¨ пространство H. Таким образом, ком-

ˆ ˆ ¨

мутатор [Q, P ] должен быть доопределен на всех тех состояниях, которые первоначально не попали в его область определения. Такое доопределение особенно осложняется в случае периодических граничных условий по координате. Как ни странно, игра на этих «чисто математических» тонкостях позволяет получить нетривиальные физические результаты, которые мы обсудим далее.