Как понимать квантовую механику

11.3. НЕПРЕРЫВНЫЕ СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

313

в любом представлении пространства чистых состояний (волновых функций).

Если система состоит из нескольких невзаимодействующих подсистем, с одинаковой симметрией сдвига вдоль какой-то одной и той же координаты, то сохраняться будут обобщенные¨ импульсы вдоль этой координаты для всех подсистем и любые их комбинации. Однако, если подсистемы взаимодействуют, то симметрия относительно сдвига только одной подсистемы может оказаться нарушенной. Сохранится же в общем случае только симметрия относительно одновременного сдвига соответствующих координат всех подсистем на одну и ту же величину a. В этом случае для системы мы имеем только один закон сохранения суммарного обобщенного¨ импульса по данной координате, отвечающий этому одновременному сдвигу. Не теряя общности для двух подсистем, можем записать:

ˆ	1	2	1	2	+ a, q) =	(11.15)
Taψ(Qi		, Qi	, q) = ψ(Qi	+ a, Qi

1

2

∂

∂

1

2

= ψ(Qi

, Qi , q) + a

+

ψ(Qi

, Qi

, q) + · · ·

∂Qi1

∂Qi2

1

∂

∂

n

n

1

2

+

n!

a

∂Qi1

+

∂Qi2

ψ(Qi , Qi , q) +

· · · .

∂

∂

i

∂

∂

a

+

a −i¯h

−i¯h

i

aPˆi

i

a(Pˆi1

+Pˆi2)

∂Q1

∂Q2

¯h

∂Q1

∂Q2

ˆ

i

i

= e

i

i

= e

¯h

= e

¯h

.

Ta = e

(11.16)

ˆ

∂T

a

Pˆi

= Pˆi1 + Pˆi2 = −i¯h

,

(11.17)

∂a

a=0

Pˆ1

=

i¯h

∂

,

∂Qi1

i

−

ˆ2

= −i¯h

∂

Pi

∂Qi2

.

То есть, как и в классической механике, суммарный обобщенный¨ импульс вдоль координаты Qi задается¨ как сумма импульсов отдельных подсистем.

314

ГЛАВА 11

Мы видим, что наиболее общей оказывается формула для обобщенного¨ импульса, как для генератора симметрии сдвига (трансляции)

	ˆ				i	ˆ
Pˆi = −i¯h	∂T			Tˆa = e ¯h		Pia
	a					.	(11.18)
	∂a
		a=0

Формула (11.18) связывает его с соответствующей однопараметрической симметрией, при этом не важно, является ли система сложной или составной, в каком виде записаны волновые функции (через какие переменные они выражены) и записывается ли симметрия как сдвиг по соответствующим координатам (11.10), (11.15), или как-то иначе5.

11.3.3. Импульс как обобщенная¨ координата*

ˆ ˆ

В коммутационное соотношение (11.14) [Q, P ] = i¯h координата и импульс входят почти (с точностью до знака) симметрично. Если мы сделаем

замену
ˆ ˆ	ˆ	ˆ
Q → P ,	P	→ −Q,

то соотношение перейдет¨ в себя6.

Таким образом, в импульсном представлении, получаемом из координатного преобразованием Фурье, операторы координаты и импульса приоб-

ретают вид
ˆ				ˆ			∂
P = P,				Q = i¯h			∂P		.
Отсюда следует, что оператор
ˆ		−	i	ˆ			∂
	= e		¯h Qb		b ∂P
Sb					= e
является оператором сдвига по импульсу на b:

ˆ
Sbψ(P ) = ψ(P + b).
Разумеется, определение Sˆb = e−	i	ˆ
	h¯	Qb как оператора сдвига по им-

пульсу не зависит от того, в каком представлении мы работаем. Например,

5В частности, именно через формулу (11.18) для поворотов вводятся операторы момента импульса с учетом¨ спина (простой сдвиг по углам позволяет «поймать» только орбитальные моменты).

6В теоретической механике замена координат в фазовом пространстве, сохраняющая скобку Пуассона, называется канонической заменой координат.

11.3. НЕПРЕРЫВНЫЕ СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

315

ˆ

в координатном представлении оператор Sb действует простым умножением волновой функции ψ(Q) на волну де Бройля e− h¯i Qb. В частности, если волновая функция является собственной для оператора импульса, то получаем

ˆ

ψp0 (Q) = ψp0−b(Q) .

Sb

e

√2π e h¯

0

√2π e h¯

0−

i

−

bQ

1

i

p Q

1

i

(p b)Q

h¯

Функции ψp0 образуют базис, таким образом мы проверили, что опера-

ˆ

тор Qb производит сдвиг по импульсу также и в координатном представлении.

ˆ

Если мы разлагаем потенциал U (Q) в ряд или интеграл Фурье, то мы тем самым представляем его в виде суперпозиции операторов сдвига по импульсу.

Если потенциал разлагается в ряд Фурье, то для функции с периодом a получаем:

+∞			2πn			+∞
								ˆ
ˆ		i	a	Q	=				2π¯h	.
U (Q) =		un e				n=		un S
n=	−∞						−∞	−	a	n

Таким образом, периодический с периодом a потенциал разлагается в линейную комбинацию сдвигов по импульсу кратных периоду обратной решетки¨ 2πa¯h . Это означает, что импульс под действием периодического

ˆ

потенциала U (Q) сохраняется с точностью до целого числа периодов обратной решетки,¨ и если мы введем¨ параметр, называемый квазиимпульсом

q = P +	2π¯h	n, n Z, q [0,	2π¯h	),
	a		a

то он будет сохраняться. Это утверждение называется теоремой Блоха. Мы еще¨ раз рассмотрим эту теорему и понятие квазиимпульса ниже (11.4.3 «Квазиимпульс*»).

Свертка¨ и ее¨ физический смысл для потенциала и состояния

В общем случае нам удобно определить преобразование Фурье следующим образом:

Uˆ (Q) =		i	pQ	dp =	u(p) Sˆ−p dp, u(p) =	1		U (Q) e−	i	pQ
	u(p) e ¯h								¯h	dQ.
						2π¯h

316

ГЛАВА 11

(ф) Преобразование Фурье при таком выборе коэффициентов не является унитарным, зато оно имеет другой хороший физический смысл — разложение по операторам сдвига по импульсу. Таким образом, «естественное» преобразование Фурье для потенциалов записывается иначе, чем «естественное» преобразование Фурье для волновых функций (сохраняющее скалярное произведение).

ˆ

Действуя оператором U (Q), записанным через интеграл Фурье на волновую функцию в импульсном представлении, получаем

ˆ	ˆ
U (Q)ψ(P ) =	u(p) S−p ψ(P ) dp = u(p) ψ(P − p) dp.

Последнее выражение называется св¨ерткой функций u(p) и ψ(P ). Свертка¨ функций в данном случае имеет физический смысл суперпозиции сдвигов состояния ψ на всевозможные импульсы −p с амплитудой u(p).

ˆ

Напоминаем, что в координатном представлении оператор U (Q) действует поточечным умножением волновой функции ψ(Q) на функцию U (Q).

11.4.Законы сохранения для ранее дискретных симметрий

Вклассической механике мы различаем непрерывные симметрии, которым соответствуют законы сохранения, и дискретные симметрии (такие как зеркальная симметрия), которым законов сохранения не достается¨.

Вквантовой механике дискретных симметрий нет: любой симметрии соответствует некий эрмитов оператор, экспонента от которого позволяет вставить дискретную симметрию в непрерывную группу симметрий.

ˆ

Для того, чтобы поставить в соответствие унитарному оператору U сохраняющуюся наблюдаемую (и не внести при этом лишнюю симметрию),

ˆ

достаточно найти эрмитов оператор A, который коммутирует со всеми наб-

ˆ

людаемыми, с которыми коммутирует U , и только с ними. Для этого все

ˆ

собственные векторы оператора U , и только они, должны быть собствен-

ˆ

ными для оператора A.

ˆ

Для того, чтобы задать оператор A, достаточно задать его действие на все вектора некоторого базиса. Таким образом, если для каждого вектора

ˆ

некоторого базиса собственных векторов оператора U мы зададим вещественные собственные числа, то тем самым будет задан некоторый эрмитов

ˆ

оператор (коммутирующий с U ).

11.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ РАНЕЕ ДИСКРЕТНЫХ СИММЕТРИЙ 317

ˆ

Эрмитов оператор, отвечающий симметрии U , следует строить так,

ˆ

чтобы одинаковым собственным числам оператора U соответствовали оди-

ˆ

наковые собственные числа оператора A, а разным — разные. Такой оператор автоматически будет коммутировать/не коммутировать с теми же опе-

ˆ

раторами, что и U .

ˆ

Удобнее всего подобрать эрмитов оператор A как генератор симметрии, чтобы экспонента от него давала унитарный оператор:

ˆ	ˆ			(11.19)
	iα0A	, α0	R.
U = e

При этом унитарный оператор оказывается элементом однопараметрической группы:

ˆ		ˆ		ˆ
U = Uα0	,	Uα = e , α0			, α R.
		ˆ	ˆ

Собственные числа операторов U и A, соответствующие одному собственному вектору номер k, связаны соотношением

uk = eiak .

Таким образом, значение ak определено с точностью периода 2π, поскольку eiak = ei(ak +2πn), n Z, но при этом если uk = um, то следует выбирать

ak = am, чтобы не привнести лишнюю симметрию (ниже в разделе 11.4.3, при рассмотрении симметрии относительно сдвига на период, мы увидим важность этого замечания).

11.4.1. Зеркальная симметрия и не только

ˆ

Рассмотрим некоторый оператор I, задающий непрерывное линейное преобразование волновых функций, двухкратное повторение которого приводит к тождественному преобразованию:

IˆˆI = Iˆ2 = 1ˆ		Iˆ = Iˆ−1.

Если этот оператор, кроме того, сохраняет скалярное произведение в пространстве волновых функций, т. е. если

ˆ† ˆ ˆ

I I = 1,

то он оказывается одновременно унитарным и эрмитовым:

Iˆ = Iˆ−1 = Iˆ†.

(11.20)

318

ГЛАВА 11

К числу таких операторов, очевидно, можно отнести оператор зеркальной симметрии (оператор инверсии по координате x):

ˆзерк.xψ(x) = ψ(−x). I

Все собственные числа эрмитова оператора должны быть вещественны. Все собственные числа унитарного оператора должны по модулю равняться единице. Таким образом, оператор, который одновременно унитарен и эрмитов, может иметь в качестве собственных чисел только ±1.7

Операторы

Pˆ+ =	ˆ	ˆ		Pˆ	ˆ	ˆ
	1 + I		,		= 1	− I
		2		−		2

оказываются проекторами на подпространства состояний, отвечающие собственным числам +1 и −1 соответственно (проверьте!):

ˆ 2	ˆ	ˆ	2	ˆ	ˆ ˆ	ˆ	ˆ
P+	= P+, P−			= P−, P+P− = P−P+ = 0,
ˆ ˆ			ˆ		ˆ ˆ		ˆ
I(P+ψ) = +1 ·			(P+ψ), I(P−ψ) = −1				· (P+ψ).
	ˆ						ˆ
Если оператор I оказывается симметрией гамильтониана H, то (11.1)
				ˆ ˆ			(11.21)
			[H, I] = 0,

ˆ

и, поскольку оператор I является одновременно эрмитовым, то в качестве сохраняющейся измеряемой величины мы можем выбрать его же. Таким образом, условие (11.21) одновременно выступает в роли закона сохранения (11.9).

ˆ

ˆ

должна быть унитар-

iαI

Поскольку оператор I эрмитов, экспонента e

ным оператором:

ˆ

∞

(iα)k

∞

(iα)2l

∞

(iα)2l+1

iαI

ˆk

ˆ2l

l

ˆ2l+1

e

=

k!

I

=

(2l)!

I

+

=0

(2l + 1)!

I

.

k=0

l=0

ˆ2l

ˆ ˆ2l+1

ˆ

Поскольку I

= 1, I

= I, вынося за сумму операторы, получаем

eiαIˆ = 1ˆ	∞	(−1)lα2l	+ iIˆ	∞	(−1)lα2l+1
	l				(2l + 1)!
	=0	(2l)!		l=0

ˆ ˆ

=1 cos α + I i sin α. (11.22)

7Случай, когда имеется только одно собственное число, неинтересен, поскольку в этом

±ˆ

случае оператор оказывается единичным, или минус-единичным: 1.

11.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ РАНЕЕ ДИСКРЕТНЫХ СИММЕТРИЙ 319

Таким образом, мы почти (с точностью до фазового множителя) вставили

ˆ

оператор I в однопараметрическую группу унитарных преобразований:

ˆ

ˆ

i

π

ˆ

ˆ

2

I

e

i0I

e

= 1,

= iI.

i π2

ˆ

Поскольку i = e

, мы можем модифицировать формулу так, чтобы I попал

в однопараметрическую группу:

ˆ

ˆ

ˆ

(11.23)

e−iα · eiαI = eiα(I−1).

Теперь

i0(Iˆ

1)ˆ

π

ˆ

ˆ

iπPˆ

ˆ

e

= 1ˆ,

i 2

(I−1)

= e−

−

e

− = I.

11.4.2.Четность*¨

—Ну, как, Китти, хочешь жить в Зеркальном доме? Интересно, дадут тебе там молока? Впрочем, не знаю, можно ли пить зазеркальное молоко? Не повредит ли оно тебе, Китти . . .

Льюис Кэрролл, «Алиса в Зазеркалье»

ˆ

Оператор зеркальной симметрии Iзерк.x, который появился выше, обычно используется в одномерных задачах. Собственные функции с собственным числом +1 — любые четные¨ волновые функции, собственные функции

с собственным числом −1 — любые нечетные¨ волновые			8
			функции. Поэтому
соответствующая физическая величина называется ч¨етностью .
Для трехмерных¨ многочастичных	задач	рассматривается оператор
ˆ ˆ	ˆ	ˆ

пространственной ч¨етности P = Iзерк.xIзерк.yIзерк.z , который аналогичным образом меняет все декартовы координаты всех частиц системы9.

Многие квантовые модели (т. е. многие гамильтонианы) коммутируют

ˆ

с оператором P , т. е. для них выполняется закон сохранения ч¨етности. Сохранение четности¨ означает, что если в начальный момент времени система

описывалась четной¨	ˆ	ˆ
	волновой функцией (P ψ = ψ), или нечетной¨	(P ψ =

= −ψ), то в последующие моменты времени четность¨ волновой функции сохранится.

8Помимо рассматриваемой здесь пространственной ч¨етности могут вводиться другие величины, в названии которых используется слово «четность»¨. Всем им соответствуют операторы, удовлетворяющие условию (11.20). При этом собственные пространства, отвечающие обоим собственным числам (−1 и +1), бесконечномерны.

9Вместо произведения трех¨ отражений можно взять одно отражение и поворот на π в зеркальной плоскости.

320	ГЛАВА 11
Сохранение четности¨	ˆ
	также означает, что состояния ψ и P ψ долж-

ны вести себя одинаково (см. рассуждения в начале раздела 11.1). Иными словами, система, отраженная¨ по трем¨ осям (или по одной оси, если есть еще¨ изотропность, т. е. симметрия относительно поворотов), описывается теми же законами (тем же гамильтонианом), что и исходная система: смотря в зеркало, нельзя понять, что мы видим отражение, а не реальные объекты.

Закон сохранения четности¨ был введен¨ в 1927 году Юджином Вигнером, и долгое время считалось очевидным, что сохранение четности¨ должно быть универсальным законом природы, пока нарушение ч¨етности не было обнаружено экспериментально. Оказалось, что при слабом взаимодействии объект и его зеркальное отражение ведут себя по-разному, в частности, при β-распаде рождаются исключительно антинейтрино, закрученные по часовой стрелке10 (относительно направления вылета).

11.4.3. Квазиимпульс*

Рассмотрим симметрию относительно сдвига на период a вдоль координатной оси x. Такой симметрией обладает, например, гамильтониан частицы во внешнем периодическом потенциале11.

			ˆ
Соответствующий унитарный оператор Ta, как мы уже знаем, записы-
вается через экспоненту от оператора импульса по данной оси pˆx:
ˆ	i
		apˆx
	¯h		.
Ta = e

Однако сохранение импульса, как мы уже видели в разделе 11.3.2, подразумевает большую симметрию — симметрию относительно сдвига на произвольное расстояние. Выше, во вводной части раздела 11.4, мы уже упоминали, что генератор симметрии может быть выбран неоднозначно, причем¨ не все генераторы могут соответствовать сохраняющимся величинам.

ˆ

Каковы собственные функции и числа для оператора Ta? Если координата x пробегает значения от −∞ до +∞, то собственные числа — все единичные комплексные числа |u| = 1. То есть

	i			i		2π¯h
u = eiα = ei(α+2πn) = uq = e		aq	= e		a(q+	a	n), α, q R, n Z.
	¯h			¯h

10Под «закрученностью» следует понимать направление собственного момента импульса частицы — спина. Подразумевается, что зеркальная симметрия и пространственная четность¨ действуют также на зависимость волновых функций от спиновых переменных, «переворачивая» спин должным образом (если этого не делать, то пространственная четность¨ нарушится еще¨ раньше).

11Это очень важный пример, соответствующий частице внутри идеального кристалла.

11.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ РАНЕЕ ДИСКРЕТНЫХ СИММЕТРИЙ 321

Здесь мы параметризовали собственные числа u параметром q, имеющим размерность импульса. Параметр q называют квазиимпульсом. Квазиимпульс определен¨ с точностью до прибавления целого числа, умноженного

на 2πa¯h . Это число называют периодом обратной реш¨етки. Мы можем выбрать все квазиимпульсы из интервала длиной в период обратной решетки,¨ например из интервала ( πa¯h , πa¯h ]. Таким образом, мы поставили в соот-

ˆ

ветствие разным собственным числам оператора Ta разные вещественные числа, а одинаковым — одинаковые, и определили тем самым оператор квазиимпульса, для которого эти вещественные числа q являются собственными с собственными функциями ψuq .

	ˆ
По определению оператора сдвига Taψ(x) = ψ(x+a), по определению
ˆ	= uψu. Таким образом, собственная функция
собственного вектора Taψu
удовлетворяет условию
ψu(x + a) = uψu(x).		(11.24)

ˆ

Для гамильтонианов, коммутирующих с Ta, собственные функции можно

ˆ

искать среди собственных функций оператора Ta. В этом случае уравнение (11.24) позволяет продолжить волновую функцию с отрезка длиной a на всю вещественную прямую, задействовав, тем самым, симметрию относительно сдвига на период.

При |u| = 1 интеграл по периоду

x0		x0+a
	|ψu(x)|2dx = |u|2		|ψu(x)|2dx
x0−a		x0

не зависит от x0. Если координата x R, то ψu не нормируема на единицу, как и должно быть, раз ψu принадлежат непрерывному спектру.

Вместо x R мы можем рассматривать интервал x [x0, x0 + N · a] с периодическими граничными условиями для ψ. В этом случае допустимы только собственные числа, для которых

uN = 1	N aq	Z.
	2π¯h

Таких собственных чисел имеется N штук (корни N -й степени из единицы). Интеграл от |ψu|2 по конечному интервалу x [x0, x0 + N · a] оказывается конечен, а спектр становится дискретным. Устремляя N к бесконечности, мы можем совершить предельный переход от дискретного к непрерывному случаю.

322

Рис. 11.2. Феликс Блох (1905–1983).

ГЛАВА 11

Глядя на (11.24), можно понять физический смысл условия |u| = 1. Если это условие нарушается, то |u| > 1, или |u| < 1. В первом случае модуль волновой функции неограничено возрастает при последовательных сдвигах на a, а во втором — при последовательных сдвигах на −a. Тем не менее волновые функции ψu при |u| = 1могут быть полезны при рассмотрении кристаллической решетки,¨ которая конечна, или бесконечна только в одну сторону, а также кристаллической решетки¨ с дефектами. Такие функции могут описывать экспоненциальное затухание волновой функции частицы вглубь кристалла, когда частица отражается от кристалла, или локализована на дефекте.

В некоторых случаях волновую функцию вида (11.24) представляют в виде произведения волны де Бройля с импульсом q на периодическую функцию с периодом a:

i
ψu(x) = e ¯h xqφ(x),	φ(x) = φ(x + a).	(11.25)

Утверждение (11.25) называют теоремой Блоха. Очевидно, что (11.24) равносильно (11.25).

11.5. Сдвиги в фазовом пространстве**

11.5.1. Групповой коммутатор сдвигов*

В текущей главе мы убедились в полезности унитарных операторов

ˆ						ˆ
сдвига по координате Ta и по импульсу Sb
ˆ			i		ˆ	ˆ	−	i	ˆ
	= e		¯h aP					¯h bQ
Ta					,	Sb = e		.
В координатном представлении
ˆ						ˆ			−	i
											bQ
										¯h
Taψ(Q) = ψ(Q + a),						Sbψ(Q) = e					ψ(Q).
В импульсном представлении
ˆ	i					ˆ
		aP	ψ(P ),
	¯h
Taψ(P ) = e						Sbψ(P ) = ψ(P + b).