Текст

На основании принципа независимости действия сил, перемещение

любой массы mk можно представить как сумму перемещений
yk(t)=δk1J1(t) + δk2J2(t) + ... + δkkJk(t) + ... + δknJn(t)+ kFsinθt	(10.48)

Выражения (10.48) составляются для каждой массы расчётной схемы

при k = 1, 2, …… n.

Входящие в выражение (10.48) инерционные силы, как известно, оп-

ределяются выражениями (10.36), а перемещения при установившихся

колебаниях выражениями
yk(t)=ak sinθt,	(10.49)
где ak ,aj– амплитуды колебаний k-той массы.

Дважды продифференцируем по времени выражения (10.49) и под-

ставив их в (10.36), получим

Jk (t)= −m kÿ k(t) = akmk θ2 sinθt = Jk sinθt.

(10.50)

В (10.50) обозначение Jk=akmkθ2 называют амплитудным значением

инерционной силы, зная которую можно определить амплитуду колеба-

ний массы при вынужденных колебаниях

		ak = Jk /mkθ2.				(10.51)
	С учетом (10.51), выразим перемещения масс k (k = 1…					n)через инер-
	ционные силы:	y	(t) =	Jk	sin θt	(10.52)
				m θ2
		k
				k

Подставим выражения перемещений масс y(t) из (10.52) в левую часть уравнения (10.48), а выражения инерционных сил (10.50) – в пра-

вую:

Jk

sin θt

= δ

J

sinθt+ δ

k2

J sinθt+ ...+ δ

kk

J sinθt+ ...+ δ

J

sinθt +

kF

sinθt.

m θ2

k1

1

2

k

kn n

k

Полученное выражение сократим на sinθt и приведём к каноническо-

му виду, перенеся все члены в одну сторону:

δk1J1+ δk2J2 + ...+ (δkk −	1	)Jk + ...+ δknJn + kF = 0,
	m θ2
	k

421

или, введя обозначение

δ*k k	= δk k	−		1			,	(10.53)
			m		θ	2
				k
получим

δ

k1

J

+ δ

J + ...+

δ*

J

k

+ ...+ δ

kn

J

n

+

kF

= 0. (10.54)

1

k2 2

kk

Выражение (10.54) при k = 1, 2, ……

n

является системой алгебраиче-

ских уравнений относительно амплитудных значений инерционных сил

Jk .

Так как в отличие от задач статики, при динамическом воздействии все перемещения и усилия в расчётной схеме зависят не только от внеш-

ней нагрузки, но и от сил инерции, то, определив амплитуды этих сил,

на основании принципа независимости действия сил можем определить амплитудные значения искомых усилий:

Sk = Sk1J1+ Sk2J2 + ...+ Skk Jk + ...+ SknJn + kF,

(10.55)

где Skj (j = 1, 2, … n)– усилия в заданной расчётной схеме от единичных сил, приложенных по направлению действия сил инерции, SkF – усилия от амплитудного действия внешней динамической нагрузки.

Методика определения динамических усилий и перемещений через амплитудное значение инерционной силы применяется и для систем с одной степенью свободы, когда направления возмущающих нагрузок не совпадают с направлением сосредоточенной массы, и динамический ко-

эффициент определить нельзя.

Пример 10.10. Требуется построить динамическую эпюру изгибаю-

щих моментов для консольной балки с двумя сосредоточенными масса-

ми, показанной на рис. 10.23, а, при действии возмущающей силы F(t) = 120sinθt (кН). Круговая частота возмущающей силы θ = 0,7ωmin. (Расчет на свободные колебания см. в примере 10.8).

422

Решение. 1. При sinθt = 1 на расчётную схему будут действовать ам-

плитудные значения возмущающей силы F и инерционных сил J1 и J2

(рис. 10.23, б).

2. Система канонических уравнений для определения амплитудных значений инерционных сил для расчётной схемы с двумя степенями свободы будет иметь вид

δ11* J1 +δ12J2 +Δ1F = 0, δ21J1 +δ*22J2 +Δ2F = 0.

3. Из примера 10.8 минимальная частота свободных колебаний

	ωmin	= ω1	= 0,1442	EI	с-1, тогда θ = 0, 7ω1 = 0,1009	EI	с-1.
				m		m

4. Значения податливостей по направлению колебаний обеих масс также были определены в примере 10.8 по расчетным эпюрам M1 и M2

(рис. 10.18, в, г):

δ =

36

(м/кН);

δ

=

9

(м/кН);

δ =δ

=

27

(м/кН).

22

21

11

EI

EI

12

2EI

Главные коэффициенты при неизвестных системы канонических

уравнений определяем по формуле (10.53).

δ* =δ		-	1		=	36	-	1				= -	62,224			(м/кН),
11	11		mθ2			EI		2 EI						EI
			1					m×0,1009
									m
δ*	=δ	-	1		=	9	-	1				=-		40,112		(м/кН).
22	22		m θ2			EI		2 EI						EI
			2					2m×0,1009

m

5. Так как направление возмущающей силы F(t) совпадает с направ-

лением J2 (рис. 10.18, б), то эпюра изгибающих моментов MF = M2F

(рис. 10.23, в) и, соответственно, свободные члены канонических урав-

нений будут:

D1F

=∑

M1MF

dx =δ12F =

1620

(м);

D2F

=∑

M2MF

dx =δ22F =

1080

EI

EI

∫ EI

∫ EI

(м).

423

6. Подставив все найденные значения в систему канонических урав-

нений и сокращая на общий множитель 1/EI, получим уравнения в чис-

ленном виде

−62,224 J1 + 13,5J2 + 1620 = 0, 13,5J1 − 40, 112 J2 +1080 = 0,

решив которые, найдем: J1 = 34,387 кН, J2 = 38,498 кН.

7. Динамическую эпюру строим на основании принципа независимости действия сил Mдин = M1 J1 + M2 J2 + MF (рис. 10.24).

Пример 10.11. Требуется построить динамическую эпюру изгибаю-

щих моментов для статически неопределимой рамы с двумя сосредото-

ченными массами, показанной на рис. 10.25, а, при действии возму-

щающих нагрузок F(t) = 6sinθt (кН) и q(t) = 24sinθt (кН/м). Круговая час-

тота возмущающей силы θ = 0,75ωmin.

Решение. 1. При sinθt = 1 на расчётную схему будут действовать ам-

плитудные значения возмущающей силы F и инерционных сил J1 и J2

(рис. 10.25, б).

2. Система канонических уравнений для определения амплитудных значений инерционных сил для расчётной схемы с двумя степенями свободы будет иметь вид

δ11* J1 +δ12J2 +Δ1F = 0, δ21J1 +δ*22J2 +Δ2F = 0.

3. Из примера 10.9 минимальная частота свободных колебаний

	ωmin =ω1	= 0,3913	EI	с-1, тогда θ=0,7ω1 =0, 2935	EI	с-1.
			m		m

4. Значения податливостей по направлению колебаний обеих масс также были определены в примере 10.9:

δ =

3, 219

(м/кН);

δ

=

1,836

(м/кН);

δ

=δ

= −

0, 466

(м/кН).

22

21

11

EI

EI

12

EI

424

Главные коэффициенты при неизвестных системы канонических

уравнений определяем по формуле (10.53).

δ* =δ - 1			= 3, 219 -			1		= -5, 499
11	11	m θ2		EI		2 EI				EI	(м/кН),
		1				2m×0, 2395
							m

δ*	=δ -	1	=	1,836	-	1			= -	15,598	(м/кН).
22	22	m θ2		EI		2 EI				EI
		2				m×0,2395
							m

5. Произведем расчёт грузового состояния от амплитудных значений

возмущающих нагрузок (рис. 10.25, в). Основная система метода пере-

мещений и эпюра M10 от принудительного единичного поворота допол-

нительной связи показаны на рис.10.20, д (см. пример 10.9). Эпюра гру-

зового состояния в основной системе M F0 приведена на рис. 10.25, г.

Каноническое уравнение метода перемещений

r11Z1 + R1F = 0, где r11 = 14,5i (кНм/рад), R1F = 42 кНм.

Тогда Z1= − R1F / r11 = − 42/14,5 i (рад).

	Построив эпюру M10 Z1 (рис. 10.25, д), на основании принципа незави-
симости			действия сил получим эпюру грузового состояния
M	F	= M 0 Z + M 0 (рис. 10.25, е).
		1 1	F

6. Свободные члены канонических уравнений определим, используя

вспомогательные состояния в статически определимых основных систе-

мах (см. рис. 10.21, в и г):

0M

49,38

19,551

∑

M

∑

M0M

D

=

1 F

dx =

(м);

D

=

2 F

dx =-

(м).

1F

EI

EI

2F

EI

EI

∫

∫

7. Подставив все найденные значения в систему канонических урав-

нений и сокращая на общий множитель 1/EI, получим уравнения в чис-

ленном виде

− 5,499	J1	− 0,466	J2 + 49,38 = 0,
− 0,466	J1	− 15,998	J2 − 19,551 = 0,
решив которые, найдем: J1 = 9,109 кН,			J2 = −1,526 кН.

425

8. Динамическую эпюру строим на основании принципа независимости действия сил Mдин = M1 J1 + M2 J2 + MF (рис. 10.26).

Пример 10.12. Требуется построить динамическую эпюру изгибаю-

щих моментов для расчётной схемы с одной степенью свободы (рис. 10.27, а), если возмущающая сила F(t) = 6sinθt (кН) приложена вне на-

правления колебания массы, а частота вынужденных колебаний θ = 0,8ω.

Решение. 1. При sinθt = 1 на расчётную схему будут действовать ам-

плитудные значения возмущающей силы F и инерционной силы J1, (рис.

10.27, б).

2. Каноническое уравнение для определения амплитудного значения инерционной силы для расчётной схемы с одной степенью свободы бу-

дет иметь вид

δ*

J

1

+

1F

= 0.

11

3. Заданная система статически определима. Построим эпюру M1 от

единичной силы,

приложенной по

направлению

колебания массы

(рис.10.27, в), и эпюру MF от действия амплитудного значения возму-

щающей нагрузки (рис. 10.27, г)

4. Податливость по направлению колебания массы

δ11 = ∑∫

M 2

45

1

dx =

(м/кН).

EI

EI

5. Частота свободных колебаний

ω =

1

=

EI

= 0,14907

EI

-1

δ m

45m

m

(с ).

11

6. Частота вынужденных колебаний

θ=0,8ω = 0,11926

EI

-1

(с ).

m

7. Коэффициент при неизвестном канонического уравнения опреде-

ляем по формуле (10.53).

426

δ* =δ -		1	=	45	-	1		= -	25,312	(м/кН).
11	11	mθ2		EI		2 EI			EI
						m×0,11926
							m
8. Свободный член канонического уравнения

D	=	∑	M1MF	dx =	405		(м).
1F			EI		EI
		∫

9. Подставив найденные значения в каноническое уравнение и со-

кращая на общий множитель 1/EI, получим уравнение в численном виде: − 25,312 J1 + 405 = 0,

решив которое, получим J1 = 16 кН.

7. Динамическую эпюру строим на основании принципа независимости действия сил Mдин = M1 J1 + MF (рис. 10.27, д).

10.3.3.Учёт симметрии в задачах динамики

Всимметричных расчётных схемах с симметрично расположенными одинаковыми массами на основании свойств симметрии возможны уп-

рощения при определении частот свободных колебаний и усилий от вибрационной нагрузки.

Для симметричных расчётных схем с симметрично расположенными массами возможно разложение форм колебаний на симметричные и ко-

сосимметричные, при которых силы инерции также будут либо симмет-

ричные, либо кососимметричные.

Упрощение достигается за счёт разделения уравнения частот (10.41)

при наличии осей симметрии на уравнения меньших порядков. Так, если расчётная схема имеет одну ось симметрии, уравнение частот разделяет-

ся на два уравнения; если расчётная схема имеет две оси симметрии – на четыре уравнения. При этом сумма порядков уравнений остаётся равной порядку исходного уравнения. Разделения уравнения частот (10.41)

можно достичь двумя путями – либо использованием групповых пере-

427

мещений, либо представлением расчётной схемы в виде её симметрич-

ной части.

Рассмотрим расчётную схему с тремя степенями свободы масс

(рис.10.28, а), имеющую одну ось симметрии. В этой расчётной схеме три формы колебаний можно представить как две симметричных (рис. 10.28, б и в) и одну кососимметричную (рис. 10.28, г). В этом случае для массы m2, расположенной на оси симметрии (рис. 10.29, а) вспомога-

тельное состояние определяется одной единичной силой (рис. 10.29, б);

для симметрично расположенных относительно оси симметрии масс m1

и m3 = m2 величины податливостей определяются от групповых единич-

ных сил (рис. 10.29, в и г). При этом побочные податливости, связываю-

щие симметричные и кососимметричные силы инерции, обращаются в ноль. Это и приводит к распаду уравнения частот на два независимых уравнения, из которых одно позволяет определить частоты симметрич-

ных свободных колебаний, а другое – кососимметричных.

Приведённые на рис. 10.28 формы колебаний на основании свойств симметрии (см. подразд. 5.5) позволяют назначить на оси симметрии граничные условия при рассмотрении половины расчётной схемы.

На рис 10.30, а изображена половина расчётной схемы для симмет-

ричных колебаний. В силу свойства 1 (см. подразд. 5.5) на оси симмет-

рии должен отсутствовать угол поворота, но сечение способно переме-

щаться по вертикали. Этим условиям соответствует подвижное в верти-

кальном направлении защемление. Следовательно, для данной расчёт-

ной схемы степень свободы масс будет равна Wm = 2, и уравнение частот будет второго порядка. Так как масса m2 расположена непосредственно на оси симметрии и принадлежит одновременно и правой и левой час-

тям схемы, здесь она учитывается в половину своей величины.

Аналогично, для кососимметричных колебаний (рис. 10.30, б) на оси симметрии должно отсутствовать, на основании свойства 2 (см. подразд

5.5), вертикальное перемещение сечения, но разрешён его свободный

428

поворот. Этим условиям соответствует постановка вертикальной шар-

нирно подвижной опоры. Следовательно, для полученной расчётной схемы степень свободы Wm = 1, и уравнение частот будет первого по-

рядка. Общее число степеней свободы равно трём, но вместо определи-

теля третьего порядка составляются два определителя – второго и пер-

вого. Вычисление этих двух определителей существенно легче и короче,

чем вычисление определителя третьего порядка.

При действии вибрационной нагрузки последняя, как и при статиче-

ских расчётах, раскладывается на симметричную и кососимметричную

(рис. 10.31).

10.4. Приближенные способы определения частот свободных колебаний

10.4.1.Энергетический способ

Воснове этого способа лежит закон сохранения энергии: в любой момент времени энергия колеблющейся системы остается постоянной:

U + V = const,

(10.56)

где U , V – соответственно потенциальная и кинетическая энергии.

Рассмотрим упругую консольную балку с распределенной массой m(x) и сосредоточенной массой m (рис. 10.32). При колебании указанных масс возможны два характерных состояния упругой системы:

1.При наибольшем отклонении скорость движения v =0, а упругая система деформирована (см. рис. 10.32, а). Следовательно, для данного состояния кинетическая энергия V = 0, а потенциальная энергия (энергия деформации) достигает максимума – Umax.

2.При обратном движении масс они проходят линию статического равновесия, когда скорость движения максимальна vmax , а деформация упругой системы отсутствует (см. рис. 10.32, б). Следовательно, для

429

данного состояния кинетическая энергия достигает максимума– Vmax , а

потенциальная U = 0.

Тогда на основании (10.56) можно записать, что
Umax = Vmax .			(10.57)
Зададимся уравнением колебаний в виде
y(x,t) = y(x) sin ωt,			(10.58)
где y(x) – уравнение формы изогнутой оси при колебаниях
Тогда скорость движения
&	vmax	= y(x)ω.	(10.59)
y(x, t) = y(x)ω cosωt;

Предположим, что упругая система содержит n1 распределенных и n2

сосредоточенных масс. Тогда на основании (10.58) и(10.59) для любой i

– той массы

&	(t) = yi ω cosωt;	vi max = yi ω.
у(t) = yi sin ωt; yi

(10.60)

Кинетическая энергия движения масс

	l
Vmax	= 0, 5(∑ ∫ m(x)vmax2	dx + ∑ mi vi2max ),
	n1 0	n2
или после подстановки (10.59) и (10.60)
	l
Vmax	= 0, 5ω2 (∑ ∫ m(x) y2 (x)dx + ∑ mi yi2 ).		(10.61)
	n1 0	n2

Без учета работы поперечных и продольных сил потенциальная энер-

гия изгибаемой системы равна

Umax = ∑	M 2	′′	′′	2
	2EI	dx или, т.к. M = EIy (x),	Umax = 0,5∑ EI[ y (x)] dx, (10.62)
n			n

где n – количество участков интегрирования в расчетной схеме.

Приравнивая на основании (10.57) выражения (10.61) и (10.62), полу-

чим

430