3.1.4. Выходящий поток

Выходящий поток играет важную роль, особенно когда он сам является входящим для другой системы, последовательно соединенной с первой. Распределение входящего потока и распределение времени обслуживания могут зависеть друг от друга. Такая зависимость существует, когда обслуживание влияет на поступление требований, и наоборот.

В ИИС, АСУТП, АСНИ, САИ и многих других сообщение должно пройти все уровни системы. Поэтому в таких системах моделью является сеть массового обслуживания (СеМО).

Вопросы рассмотрения СеМО заслуживают особого внимания, так как однофазные модели, не учитывающие влияние соседних фаз, как указано в работах [19–21], дают значительные погрешности. В свою очередь, рассмотрение многофазных моделей приводит к значительным по сложности и размерности вычислениям [11, 22], однако эти результаты хорошо согласуются с результатами натурных исследований систем [19, 22]. Избежать указанных трудностей позволяют статистические имитационные модели [20]. Но имитационное моделирование требует, с одной стороны, выбора отдельных моделей, а с другой стороны, приводит к значительным затратам машинного времени. Поэтому поиск аналитических методов расчета СеМО весьма актуален. Однако в данном пособии будут рассматриваться только системы массового обслуживания, а не сети.

3.2. Классификация смо

Кратко остановимся на классификации СМО, предложенной Кендаллом [9]. Если М обозначает, что распределение числа событий в фиксированном промежутке времени является пуассоновским, а распределение промежутков между ними – экспоненциальным, то М/М/С обозначает С- канальную систему с пуассоновским входящим потоком и экспоненциальным распределением времени на обслуживание. Символ D обозначает вырожденное распределение, K_n – распределение по закону _n-квадрат с четным числом степеней свободы, М_s – групповое распределение, Е_n – эрланговское распределение с математическим ожиданием, не зависящем от n, GI – символ последовательности независимых, произвольным образом (но одинаковым) распределенных случайных величин, а G – произвольное распределение, в котором не требуется наличие независимости. Таким образом, D/E_n/1 обозначает одноканальную систему с регулярным входящим потоком и распределением времени обслуживания по закону Эрланга.

На рис. 3.2 названы многие из приведенных выше понятий и возможные факторы, оказывающие влияние на СМО (входящий поток, время поступления заявки, очереди и т.д.).

3.3. Процессы гибели и размножения

Для большинства систем массового обслуживания, которые рассмотрены в данном пособии, граф состояний имеет вид, показанный на рис. 3.3. Для этих систем характерно то, что каждое состояние (кроме двух крайних) имеет только два соседних состояния. Крайние состояния имеют только по одному соседнему состоянию.

Таким образом, граф состояний можно представить в виде цепи состояний, соединенных между собой стрелками переходов. Другими словами, из любого состояния х_k (кроме крайних k  0, k  n) возможен переход только в два соседних состояния х_k+1 (предыдущее) и х_k–1(последующее). Из крайнего левого состояния х₀ возможен переход только в состояние х₁, а из крайнего правого состояния х_п – только в состояние х_п–1.

Процессы, описываемые с помощью такого графа состояний, в литературе принято называть процессами гибели и размножения. Такое название они получили потому, что впервые были применены в биологии для анализа численности популяций, распространение ожиданий и при исследовании других проблем. Число n может быть как константным, так и бесконечным.

Рис. 3.3. Граф состояний процесса гибели и размножения

Систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний процесса гибели и размножения можно записать в соответствии с представленными в разделе 2 материалами.

,

............................................

, (3.1)

............................................

.

Для интегрирования этой системы дифференциальных уравнений нужно задать начальные условия

Р₀(0); Р₁(0), ..., Р_n(0); .

Если число состояний n в системе конечно, то для любого момента времени выполняется нормировочное условие

. (3.2)

Иногда рассматривают процесс размножения (чистого размножения), когда переход из состояния в состояние возможен только слева направо. Граф процесса приведен на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Граф процесса размножения

Если переход возможен только справа налево, то такой процесс называют процессом гибели (чистой гибели). Граф процесса представлен на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Граф процесса гибели

Для того чтобы написать дифференциальные уравнения для вероятностей состояний процесса размножения, достаточно в системе (3.1) положить все параметры μ_i ≡ 0 (i = 1,2, ... , n). Аналогично, если требуется написать дифференциальные уравнения для вероятностей состояний процесса гибели, достаточно в системе (3.1) положить все параметры λ_k ≡ 0 (k  = = 1,2, ... , n–1).

Рассмотрим случай, когда у процесса гибели и размножения все параметры являются положительными постоянными величинами. Это означает, что величины λ_k, μ_i не зависят от времени, но зависят от индексов. Такой процесс гибели и размножения обладает эргодическими свойствами, т.к. выполняются следующие условия:

а) граф состояний не имеет ни одного состояния без выхода и без входа и ни одной группы состояний без выхода и без входа;

б) все потоки событий, переводящие процесс из состояния в состояние, являются простейшими.

Такой процесс называется простейшим процессом гибели и размножения. Для такого процесса с конечным числом состояний n всегда существует стационарный режим. Для этого режима на основании (3.1) можно записать систему (n+1) однородных алгебраических уравнений:

–λ ₀Р₀ + μ₁Р₀ = 0,

.…………………

–(λ_k + μ_k)Р_k + λ_kР_k–1+ μ_k+1Р_k+1 = 0 (k = 1,2, ... , n–1), (3.3)

.………………….

+λ_n–1Р_n–1 – μ_n Р_n = 0.

Для решения этих уравнений введем следующие обозначения:

u_k = –λ_kP_k + μ_k+1Р_k+1 (k = 0,1, ... , n–1).

Тогда уравнения (3.3) примут вид:

u₀ = 0,

.………

u_k – u_k–1 = 0, (3.4)

………..

–u_n–1 = 0.

Анализ системы уравнений (3.4) показывает, что имеет место равенство

u_k = 0 (k = 0,1, ... , n–1),

следовательно,

(k = 0,1, ... , n–1). (3.5)

Таким образом, получаем возможность с помощью рекуррентной формулы (3.5) выразить значение любой вероятности Р_k+1 через все предыдущие:

(k = 0,1, ... , n–1). (3.6)

Найденное выражение для всех вероятностей состояния процесса гибели и размножения зависит от вероятности Р₀ и параметров потоков. Вероятность Р₀ можно определить из нормировочного условия (3.2):

,

откуда

. (3.7)

Итак, совокупность формул (3.6) и (3.7) дает возможность определить все вероятности состояний процесса гибели и размножения для конечного числа состояний n.

В случае, когда число состояний не ограничено (n = ∞), статорный режим может не существовать даже при постоянных (не зависящих от времени) параметрах λ_k и μ_i. Это объясняется тем, что могут иметь место условия, при которых нет никаких ограничений на рост популяции и процесс все время будет двигаться вправо.

Д

(3.8)

ля того чтобы нормировочное условие (3.2) выполнялось, достаточно расходимости ряда

Е

(3.9)

сли ряд (3.8) расходится, а ряд

сходится, то существует стационарный режим

Р_k =Р_k(t).

Условие (3.9) всегда выполняется, если, начиная с некоторого k, справедливо неравенство

.

В начале этого параграфа указывалось, что процессы функционирования большинства рассматриваемых СМО можно представлять как процессы гибели и размножения. Из этого следует, что основные соотношения и формулы для этих СМО могут быть получены из формул данного параграфа как различные частные случаи процесса гибели и размножения. Однако для отражения прикладного характера все соотношения и формулы будут выводиться из физических условий работы той или иной системы массового обслуживания. При этом будут широко использоваться общие результаты, полученные для процессов гибели и размножения.