- •1. Основы теории случайных процессов
- •1.1. Семейства случайных величин
- •1.2. Выборочные функции
- •1.3. Теорема Колмогорова
- •1.4. Вещественный параметр. Дискретный случай
- •1.5. Вещественный параметр. Непрерывный случай
- •1.6. Пуассоновский процесс
- •1.7. Общие свойства случайных процессов
- •1.8. Примеры случайных процессов
- •2. Случайные потоки сообщений
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Принципы классификации входящих потоков
- •Определим p1() и p0():
- •Вероятность поступления k и более заявок определяется по формуле
- •2.6.1. Симметричный и примитивный потоки
- •2.6.2. Поток с повторными заявками
- •Вектор, обладающий свойствами (2.20) и (2.21), называется стохастическим. Если его компоненты представляют вероятности состояний системы, то вектор называется вектором состояний системы.
- •Матрица перехода имеет вид
- •2.12. Предельные теоремы для потоков событий
- •2.12.1. Предельная теорема для суммарного потока
- •2.12.2. Предельная теорема для редеющих потоков
- •3. Основы теории систем массового обслуживания
- •3.1. Элементы систем массового обслуживания
- •3.1.1. Виды распределения входящего потока и времени обслуживания
- •3.1.2. Дисциплина обслуживания заявок
- •3.1.3. Канал обслуживания
- •3.1.4. Выходящий поток
- •3.2. Классификация смо
- •3.3. Процессы гибели и размножения
- •3.4. Системы массового обслуживания с отказами
- •3.4.1. Классическая система массового обслуживания с отказами (система Эрланга)
- •Используя нормировочное условие
- •3.4.2. Системы массового обслуживания с отказами и полной взаимопомощью между каналами
- •3.4.3. Системы массового обслуживания с отказами и частичной взаимопомощью между каналами
- •Для сокращения дальнейшей записи введем обозначение
- •Вероятность обслуживания заявки
- •3.4.4. Системы массового обслуживания с отказами и неоднородными потоками
- •3.4.5. Примеры систем массового обслуживания с отказами
- •Решение
- •Вероятность занятости канала
- •Решение
- •Решение
- •Среднее время полной загрузки
- •4. Системы массового обслуживания с ожиданием
- •4.1. Классическая система массового обслуживания с ожиданием
- •С ожиданием (смо с конечной очередью)
- •4.2. Векторная модель с конечной очередью и неоднородными запросами на число мест в очереди
- •4.3. Векторная модель с бесконечной очередью и однородными запросами на число мест в очереди
- •Подставляя сюда (4.10), будем иметь
- •Где коэффициент , с учетом (4.12), имеет вид
- •4.4. Примеры систем массового обслуживания с ожиданием
- •Вероятность обслуживания заявки для смо с отказами
- •Среднее число заявок в системе
- •5. Различные системы массового обслуживания
- •5.1. Система массового обслуживания с ожиданием и приоритетом в обслуживании
- •5.2. Векторная модель системы массового обслуживания с приоритетом
- •5.3. Замкнутая векторная смо с отказами в обслуживании
- •5.4. Исследование и оптимизация управляемой смо
- •5.5. Примеры специальных смо
- •Решение
- •Среднее число ожидающих обычного переговора
- •Оглавление
1.3. Теорема Колмогорова
Введем несколько вспомогательных понятий, связанных с функциональным х.
Открытым интервалом в х называется множество всех конечных вещественных функций х(t), которые удовлетворяют конечному числу неравенств вида
аj < х(tj) < bj ( j = 1, 2, ..., n), (1.1)
где n – произвольное целое число; tj – точки из Т; aj и bj – конечные или бесконечные вещественные числа.
Замкнутым интервалом называется множество всех х(t), удовлетворяющих системе аналогичных неравенств, в которых aj и bj – конечные числа и знак < заменяется на .
Множество всех х(t), определенное неравенствами того же вида, в которых могут стоять оба знака (< или ), будет называться просто интервалом.
Основанием интервала (1.1) называется n-мерный интервал в подпространстве Rn, состоящий из всех точек с координатами x(t1), ..., x(tn), которые удовлетворяют тем же неравенствам.
Открытый интервал является топологической окрестностью для каждой из своих точек. В топологии, индуцированной этими окрестностями, последовательность точек хn в Х сходится к пределу х, если для каждого фиксированного t T последовательность вещественных чисел xn(t) стремится в обычном смысле к пределу х(t). В этой топологии открытый интервал является открытым множеством, а замкнутый интервал – замкнутым множеством.
Все конечные суммы интервалов образуют поле множеств В0 в x. Наименьшее -поле, содержащее В0, будет обозначаться В и может рассматриваться как обобщение класса борелевских множеств [2] в Rn.
Если дан случайный процесс (t, ), то из определения процесса (см. § 1.1) следует, что все – множества вида
{; aj < (tj; ) < bj, j = 1, 2, ..., n}
измеримы. Это утверждение остается справедливым, если некоторые из знаков < заменить на . Таким образом, каждый интервал в пространстве выборочном функций Х измерим, и, следовательно, измеримо каждое множество поля В0 и наименьшего -поля В, содержащего В0. Поэтому вероятностностная мера в Х, индуцированная функцией (t, ), однозначно определима для всех множеств из В и В F1, где F1 есть -поле множеств в Х.
Функция (t, ) определяет семейство конечномерных распределений процесса; а n-мерная совместная функция распределения величин (tj, ), j = 1, ..., n, – вероятностную меру любого интервала, определенного неравенствами указанного выше типа, для значений t, равных t1, ..., tn. Из свойства конечной аддитивности вытекает, что конечномерные распределения определяют вероятностную меру любого множества из поля В0. Ранее было отмечено, что функция (t, ) индуцирует вероятностную меру в Х, которая однозначно определена для всех множеств из В, значит, заведомо для всех множеств из В0, где она, очевидно, должна совпадать с вероятностью, определенной конечномерными распределениями. Следовательно, последняя счетно аддитивна на В0, так что может однозначно быть продолжена на В. Таким образом, семейство конечномерных распределений любого случайного процесса однозначно определяет распределение вероятностной в выборочном пространстве Х для всех множеств -поля В, порожденного интервалами, т.е. для всех борелевских множеств в Х.
Это первая часть теоремы Колмогорова. Вторая часть отвечает на уже сформулированный вопрос: если дано семейство конечномерных распределений, то при каких условиях существует случайный процесс, имеющий те же самые конечномерные распределения?
Доказано, что для существования такого процесса необходимо и достаточно, чтобы данное семейство распределений удовлетворяло условиям симметрии и согласованности, приведенным в § 1.1.
В дальнейшем будем рассматривать случайные процессы с параметром, принимающим значения из некоторого множества T вещественных чисел. Основное внимание будет сосредоточено на дискретном случае, когда T состоит из изолированных точек, обычно целых чисел, на непрерывном случае, когда T представляет собой некоторый (конечный или бесконечный) интервал. Параметр t при этом будет часто интерпретироваться как время.