1.2. Выборочные функции

Случайный процесс может быть определен математически как функция двух переменных t и , области изменения которых приведены в § 1.1. Причем, с одной стороны, (t, ) при каждом фиксированном t является измеримой функцией элементарного события , т.е. случайной величиной.

С другой стороны, (t, ) для каждого фиксированного элементарного события  в данном вероятностном пространстве становится функцией от t, определенной для всех t  Т. Иначе говоря, каждому  или каждому возможному исходу случайного эксперимента соответствует некоторая однозначно определенная функция от t. Эта функция (t) = (t, ) с фиксированным  описывает эволюцию (во времени, в пространстве или в каком-нибудь ином смысле) меняющейся системы в случае, когда элементарное событие  явилось результатом рассматриваемого случайного эксперимента. В соответствии с этим каждая функция (t) называется реализацией, или траекторией, или выборочной функцией случайного процесса.

На рис. 1.1 показано по одной реализации четырех различных случайных процессов [3].

Рис. 1.1. Наблюдаемые значения случайных процессов: а – замирание интенсивности () радиосигналов; б – пульсация температуры (Т) воздуха в точке атмосферы; в – пульсация разности скоростей (V) ветра в двух точках атмосферы, находящихся на расстоянии 8 см друг от друга; г – изменение диаметра (d) ткацкой нити вдоль длины нити

Реализация (t) может рассматриваться как «точка» в пространстве x всех конечных вещественных функций x(t) переменного t  T. Пространство x называется пространством выборочных функций или просто выборочным пространством случайного процесса.

Случайный процесс (t, ) определяет функцию, переводящую каждую точку  вероятностного пространства (, F, Р) в некоторую точку пространства выборочных функций x. Эта функция индуцирует некоторое распределение вероятности в x. Множество А¹ из x является множеством функций от t. Отсюда, каждое множество функций А¹ имеет прообразом некоторое -множество А, состоящее из всех точек , таких, что соответствующие функции (t) = (t, ) принадлежат А¹. Индуцированная вероятностная мера Р¹ в x определяется для всех А¹  F соотношением Р¹(А¹) = Р(А). Тройка (x, F¹, Р¹) представляет собой новое вероятностное пространство, соответствующее индуцированному распределению.

На вероятностном языке Р¹(А¹) означает вероятность того, что реализация (t) случайного процесса будет принадлежать множеству А¹ пространства всех выборочных функций x. Поэтому (t) можно рассматривать как случайную функцию, принимающую различные «значения» в x в соответствии с вероятностной мерой Р¹(А¹).

При изучении важных классов случайных процессов, как и в различных приложениях, нас будут интересовать свойства распределений вероятности в выборочном пространстве, индуцированных рассматриваемыми процессами. Например, потребуется находить вероятность того, что реализации данного процесса обладают тем или иным свойством, т.е. принадлежат некоторому определенному множеству А¹ функционального пространства Х.

В связи с этим возникает вопрос: в какой степени распределение вероятностей в выборочном пространстве x, индуцированное данным процессом, определяется семейством конечномерных распределений этого процесса? Кроме того, если на множестве значений параметра T задано некоторое семейство конечномерных распределений, то при каких условиях существует случайный процесс, имеющий эти распределения?

Ответ на эти вопросы содержится в теореме Колмогорова, которая будет представлена в следующем разделе.