2.2. Принципы классификации входящих потоков

Потоки классифицируются с точки зрения стационарности, ординарности и последействия [6].

Стационарность потока. Входящий поток заявок является стационарным, если при любом n совместный закон распределения числа заявок за промежутки времени от [t₀, t₁), [t₀, t₂), …, [t₀, t_n):

P{K(t₀, t_i), i = 1, 2, …, n},

зависит только от длины промежутков времени и не зависит от момента t₀. Иными словами, независимо от того, где на оси времени расположен промежуток [t₀, t_i), вероятность поступления K(t₀, t_i) заявок одна и та же. Это значит, что для стационарного потока вероятность поступления некоторого числа заявок за какой-то промежуток времени зависит от длины этого промежутка и не зависит от его начала. В противном случае поток является нестационарным.

Ординарность потока. Обозначим через П_k(t, t + ) вероятность поступления k и более заявок за промежуток [t, t + ). Поток заявок является ординарным, если при τ  0

,

т.е. П_k(t, t + ) = 0(), где 0() – величина более высокого порядка малости по отношению к .

Ординарность потока выражает практическую невозможность одновременного поступления двух и более заявок в любой момент времени t.

Последействие потока. Поток заявок является потоком без последействия, если вероятность поступления K(t₀, t_i) вызовов за промежутки [t₀, t_i), i = 1, 2, …, n, P{K(0, t_i) – K(0, t₀) = K(t₀, t_i), i = 1, 2, …, n}, не зависит от вероятностного процесса поступления вызовов до момента t₀. Иными словами, отсутствие последействия потока означает независимость течения случайного потока заявок после какого-либо момента времени от его течения до этого момента.

2.3. Характеристики входящих потоков

К основным характеристикам входящего потока следует отнести параметр и интенсивность потока.

Под параметром потока (t) в момент времени t понимается предел отношения вероятности поступления хотя бы одного вызова за время [t, t + + ) к длине этого отрезка времени  при   0:

, (2.1)

т.е. параметр потока есть плотность вероятности наступления вызывающего момента в момент t. Исходя из (2.1), находим вероятность поступления одного вызова и более за время [t, t + ):

(t, t + ) = (t) + 0(),   0.

Согласно определению стационарного потока, вероятность поступления определенного числа заявок за некоторый промежуток времени одна и та же и не зависит от места расположения этого промежутка на оси времени. Следовательно, и плотность вероятности поступления заявок стационарного потока, т.е. его параметр (t), есть величина постоянная, не зависящая от момента t, т.е. (t) = . Отсюда для стационарных потоков

(t, t + ) =  + 0(),   0.

В отличие от ведущей функции потока (t, 0), определяющей математическое ожидание числа заявок, поступающих в промежутке времени [0, ), параметр потока (t) характеризует не поток заявок, а поток вызывающих моментов, и эта характеристика относится не ко всему отрезку [0, ), а лишь к фиксированному моменту t.

Интенсивностью стационарного потока  называется математическое ожидание числа заявок, поступающих в единицу времени. Вследствие аддитивности математического ожидания для стационарного потока ведущая функция за промежуток времени [0, t) равна (0, t) = t.

Для нестационарных потоков используются понятия средней и мгновенной интенсивностей. Средняя интенсивность потока на отрезке времени [t₁, t₂) есть

,

а мгновенная интенсивность потока в момент t

. (2.2)

Согласно (2.2) мгновенная интенсивность потока представляет производную ведущей функции потока. Так же, как и параметр потока (t), мгновенная интенсивность потока (t) относится не к отрезку времени поступления вызовов, а только к моменту t. В то же время, в отличие от параметра потока, характеризующего поток вызывающих моментов, мгновенная интенсивность потока характеризует поток поступления вызовов.

Для любых потоков заявок (t)  (t), причем для ординарных потоков (t) = (t). Для стационарных потоков интенсивность и параметры постоянны: (t) = , (t) = . Следовательно, для любых стационарных потоков   , а для стационарных ординарных  = .

Классификацию потоков удобно осуществлять, принимая за основной признак последействие потока. По этому признаку различают три класса потоков: без последействия, с простым последействием и с ограниченным последействием. Рассмотрим эти классы потоков.

2.4. Простейший входящий поток

Определение. Простейшим потоком называется стационарный ординарный поток без последействия. Простейший поток вызовов является наиболее распространенной моделью реального потока заявок, применяемой в системах массового обслуживания. В большинстве задач прикладного характера замена реальных потоков на простейшие с теми же интенсивностями приводит к получению решения, которое мало отличается от истинного [7]. Математическое моделирование показало [7], что в большинстве случаев эта погрешность ограничена 3–5 % и лишь в редких случаях 10–12 %, что вполне приемлемо при решении прикладных задач. Однако, как указано в работах [8–10], имеются особые условия, когда эта погрешность может достигнуть значительных величин. В связи с этим необходимо использовать модели потоков более сложного характера.

Математическая модель простейшего потока. Определим вероятности поступления потока k (k = 1, 2, …) вызовов на отрезке времени [t₀, t₀ + t): P_k(t₀, t₀ + t). Исследования будем проводить на отрезке времени [t₀, t₀ + t + ), который можно представить состоящим из двух примыкающих друг к другу отрезков [t₀, t₀ + t + ) = [t₀, t₀ + t) + [t, t + ).

Для того чтобы в течение отрезка [t₀, t₀ + t + ) поступило точно k вызовов, необходимо, чтобы за первый промежуток времени [t₀, t₀ + t) поступило k, или k–1, …, или k–i, …, или 0 вызовов, а за второй промежуток соответственно 0, или 1, …, или i, …, k вызовов.

Введем обозначения: P_k[t₀, t₀ + t + ) – вероятность поступления точно k вызовов за отрезок времени [t₀, t₀ + t + ); P_k-i[t₀, t₀ + t) – вероятность поступления k-i вызовов за первый отрезок времени [t₀, t₀ + t); P_i[t, t + t) – вероятность поступления точно i вызовов за второй отрезок времени [t, t + + t). Согласно определению простейший поток является стационарным. Из этого следует, что вероятности поступления того или иного числа вызовов (заявок) за отрезки времени [t₀, t₀ + t + ); [t₀, t₀ + t), [t, t + ) не зависят от моментов начала отсчета времени, а зависят только от длины отрезков времени. Поэтому упростим обозначения как отрезков, так и вероятностей: [t₀, t₀ + t + ) будем обозначать как [t + ); [t₀, t₀ + t) – как [t); [t, t + ) – как [); P_k(t₀, t₀ + t + ) – как P_k(t + ); P_k-i(t₀, t₀ + t) – как P_k-i(t); P_i(t, t + ) – как P_i().

Простейший поток – это поток без последействия. Поэтому независимыми являются события, заключающиеся в поступлении какого-либо числа вызовов за первый и второй промежутки времени, и вероятность поступления точно k вызовов за время [t + ) для каждой регистрации i = 0, 1, …, k составляет P_k(t + )_i = P_k-i(t)P_i(), i = 0, 1, …, k. Поскольку реализации с i = 0, 1, …, k представляют несовместимые события, то согласно формуле полной вероятности имеем

(2.3)

Выражение (2.3) представляет собой систему, состоящую из бесконечного числа уравнений. Устремим отрезок времени  к нулю. Вследствие ординарности простейшего потока ₂(t, t – ) = 0(),   0. Вероятности поступления 2, 3, … вызовов: P₂(), P₃() и т.д. – есть бесконечно малые более высокого порядка по отношению к . Следовательно, в системе уравнений (2.3) вероятности P_i имеют конечные значения только при i, равном 0 и 1. На основании этого (2.3) преобразуется к виду

P_k(t + ) = P_k–1(t) P_i() + P_k(t) P₀(t) + 0(), k = 0,1, …   0. (2.4)