- •1. Основы теории случайных процессов
- •1.1. Семейства случайных величин
- •1.2. Выборочные функции
- •1.3. Теорема Колмогорова
- •1.4. Вещественный параметр. Дискретный случай
- •1.5. Вещественный параметр. Непрерывный случай
- •1.6. Пуассоновский процесс
- •1.7. Общие свойства случайных процессов
- •1.8. Примеры случайных процессов
- •2. Случайные потоки сообщений
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Принципы классификации входящих потоков
- •Определим p1() и p0():
- •Вероятность поступления k и более заявок определяется по формуле
- •2.6.1. Симметричный и примитивный потоки
- •2.6.2. Поток с повторными заявками
- •Вектор, обладающий свойствами (2.20) и (2.21), называется стохастическим. Если его компоненты представляют вероятности состояний системы, то вектор называется вектором состояний системы.
- •Матрица перехода имеет вид
- •2.12. Предельные теоремы для потоков событий
- •2.12.1. Предельная теорема для суммарного потока
- •2.12.2. Предельная теорема для редеющих потоков
- •3. Основы теории систем массового обслуживания
- •3.1. Элементы систем массового обслуживания
- •3.1.1. Виды распределения входящего потока и времени обслуживания
- •3.1.2. Дисциплина обслуживания заявок
- •3.1.3. Канал обслуживания
- •3.1.4. Выходящий поток
- •3.2. Классификация смо
- •3.3. Процессы гибели и размножения
- •3.4. Системы массового обслуживания с отказами
- •3.4.1. Классическая система массового обслуживания с отказами (система Эрланга)
- •Используя нормировочное условие
- •3.4.2. Системы массового обслуживания с отказами и полной взаимопомощью между каналами
- •3.4.3. Системы массового обслуживания с отказами и частичной взаимопомощью между каналами
- •Для сокращения дальнейшей записи введем обозначение
- •Вероятность обслуживания заявки
- •3.4.4. Системы массового обслуживания с отказами и неоднородными потоками
- •3.4.5. Примеры систем массового обслуживания с отказами
- •Решение
- •Вероятность занятости канала
- •Решение
- •Решение
- •Среднее время полной загрузки
- •4. Системы массового обслуживания с ожиданием
- •4.1. Классическая система массового обслуживания с ожиданием
- •С ожиданием (смо с конечной очередью)
- •4.2. Векторная модель с конечной очередью и неоднородными запросами на число мест в очереди
- •4.3. Векторная модель с бесконечной очередью и однородными запросами на число мест в очереди
- •Подставляя сюда (4.10), будем иметь
- •Где коэффициент , с учетом (4.12), имеет вид
- •4.4. Примеры систем массового обслуживания с ожиданием
- •Вероятность обслуживания заявки для смо с отказами
- •Среднее число заявок в системе
- •5. Различные системы массового обслуживания
- •5.1. Система массового обслуживания с ожиданием и приоритетом в обслуживании
- •5.2. Векторная модель системы массового обслуживания с приоритетом
- •5.3. Замкнутая векторная смо с отказами в обслуживании
- •5.4. Исследование и оптимизация управляемой смо
- •5.5. Примеры специальных смо
- •Решение
- •Среднее число ожидающих обычного переговора
- •Оглавление
5.3. Замкнутая векторная смо с отказами в обслуживании
Как и в главе 3, рассматривая замкнутую векторную СМО с неоднородным входящим потоком, будем предполагать, что заявка требует для своего обслуживания несколько приборов, которые занимаются этой заявкой и освобождаются одновременно, и длительность ее обслуживания имеет экспоненциальное распределение. Будем также предполагать, что тип заявки определяется не только числом требуемых для ее обслуживания приборов, но и номером отправившего ее источника, т.е. (s,i) – заявка, поступившая от s-го источника и требующая qi приборов для своего обслуживания, интенсивность обслуживания которой – ,,(n – число источников в системе, k – максимальное число обслуживающих приборов, требуемых заявкой).
Состояние замкнутой СМО определяется [11, 12] матрицей R:
,
где при r(j, i) = 1, если i-заявка от j-го источника находится на обслуживании, и r(j,i) = 0 в противном случае. Отметим, что в каждой строке матрицы R может быть не более одной единицы, но эта единица может находиться на любом месте в строке, где .
Для замкнутой СМО суммарная интенсивность i- заявок
.
Кроме ограничения, что в каждой строке матрицы R может быть не более одной единицы, имеется еще одно ограничение, накладываемое конечностью числа N обслуживающих приборов в системе: для R должно выполняться неравенство
, (5.11)
так как число приборов, занятых обслуживанием всех находящихся в СМО заявок, не может быть больше числа всех имеющихся в системе приборов.
Если при выполнении условий (5.11) выполняется неравенство, то в замкнутой СМО складывается ситуация, аналогичная ситуации потери заявок для открытых систем, так как при этом имеются неблокированные источники, генерирующие заявки, для обслуживания которых может оказаться недостаточно свободных приборов. В состоянии R число свободных приборов
.
Для исследования таких ситуаций и их вероятностей необходимо знать распределение вероятностей P(R) состояний R замкнутой СМО.
Выделим четыре состояния: R(0,0), R(1,0), R(0,1), R(1,1) – рассматриваемой системы. Состояния R(v1, v2) характеризуются тем, что в матрице R выделены два элемента: r(s1, i1) и r(s2, i2), которые принимают значения r(s1, i1) = v1, r(s2, i2) = v2. Значения остальных элементов r(s, i) матрицы R(v1, v2) совпадают. Все четыре состояния R(v1, v2) удовлетворяют неравенству (5.11). Рассматривая интенсивности переходов между выделенными состояниями случайного марковского процесса изменения состояний системы обслуживания, получим
, ,
, ,
, ,
, .
Следовательно, выполняется равенство
.
Это равенство выполняется для любого цикла в графе переходов исследуемого марковского процесса, тогда в соответствии с критерием эквивалентности уравнений глобального и детального балансов [26] можно для вероятностей P(R) записать следующие равенства
,
.
Аналогичные равенства выполняются и для всех других состояний R, удовлетворяющих неравенству (5.11). Обозначим как P(0) вероятность состояния R = 0; здесь все элементы r(s, i) матрицы R равны нулю; . Тогда для любого состояния, удовлетворяющего неравенству (5.11), можно записать, что стационарное распределение вероятностейP(R) определяется равенством
, , (512а)
. (5.12б)
Как обычно, вероятность P(0) определяется условием нормировки. Здесь суммирование происходит по всем R, элементы которых удовлетворяют (5.11). Если среди s,i имеются одинаковые, то в (5.12) появляются степени соответствующих значений .
Равенство (5.12а) определяет мультипликативность распределения состояний рассматриваемой замкнутой СМО, а формула (5.12б) определяет это распределение в явном виде.
Знание явного выражения (5.12б) для распределения вероятностей P(R) состояний R замкнутой СМО позволяет определять ее различные вероятностные характеристики, например, такие, как вероятность блокировки источников с i-заявками, т.е. блокировки i-заявок; вероятность блокировки (s, i)-заявок; вероятность П блокировки произвольной заявки, которая не допускается к обслуживанию в связи с отсутствием достаточного для нee числа обслуживающих приборов.
Вероятностью П назовем отношение среднего числа заявок, мгновенно возвращенных в источник в связи с отсутствием достаточного для них числа свободных обслуживающих приборов, к среднему числувсех заявок, обратившихся в систему обслуживания за время, которые либо были приняты к обслуживанию, либо которым было отказано в обслуживании. Так как рассматриваем среднее стационарное распределение, то величина числа П не зависит от значений, поэтому устремив, получим
,
,
где
Таким образом,
. (5.13)
Пример 5.3 (замкнутой СМО). Пусть в СМО N обслуживающих приборов и три неоднородных источника, два из которых совпадают между собой, а третий отличается от них. Заявка каждого источника требует от 1 до 5 обслуживающих приборов. Так как два источника одинаковы, то в матрице , определяющей структуру входного потока, две строки будут совпадать и матрица будет иметь размерность 35. Значения вероятностей П по (5.13) приведены в табл. 5.2 для трех различных матричных потоков, определяемых матрицей , и различного числа N обслуживающих приборов (). Итак, матрица имеет следующий вид:
. (5.14)
При этом два первых источника с интенсивностью генерируют потоки заявок, требующих для своего обслуживания два прибора, а с интенсивностью– три прибора; третий источник с интенсивностьютребует три прибора для каждой своей заявки, а с интенсивностью– четыре прибора. Интенсивность заявок, требующих другое число приборов, равна нулю, т.е.=.
При этом для матрицы (5.14) П = 0,188 для N = 3, П = 0,027 для N = = 5, П = 0,006 для N = 6. Заметим, что при N = 3 все заявки, требующие четыре прибора для своего обслуживания и поступающие с интенсивностью = 0,3, вообще не обслуживаются.
Таблица 5.2
N |
0,6 0,4 0 0 0 0,6 0,4 0 0 0 0,0 0,7 0,3 0 0 |
0 0,6 0,4 0 0 0 0,6 0,4 0 0 0 0,0 0,7 0,3 0 |
0 0 0,6 0,4 0 0 0 0,6 0,4 0 0 0 0,0 0,7 0,3 |
3 |
1,8214110–2 |
1,8776910–1 |
7,0788710–1 |
4 |
4,2462510–3 |
4,6226010–2 |
2,0187810–1 |
5 |
1,1193310–4 |
2,7109510–2 |
6,7599110–2 |
6 |
2,3238710–5 |
6,2785310–3 |
6,2705710–2 |
7 |
0 |
5,2989210–4 |
3,5782610–2 |
8 |
0 |
2,5294910–4 |
8,3720710–3 |
9 |
0 |
4,7854910–5 |
1,2190210–3 |
10 |
0 |
0 |
9,7261210–4 |