С ожиданием (смо с конечной очередью)

Этому графу состояний соответствует система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний, которую обычно интегрируют для начальных условий

Р₀ (0) = 1, Р_i (0) = 0 (i  0),

т.е. в момент времени t = 0 система свободна от заявок. Для стационарного режима работы СМО с ожиданием, когда  = const,  = const, m < , t  , используя результаты главы 3, имеем

,

где

; .

Используя нормировочное условие

,

получим

;

где

Для сокращения дальнейших записей введем обозначения:

(4.1)

Заметим, что если нормировочное условие записать в виде

то величина  будет определяться так:

(4.2)

Из (4.1) и (4.2) вытекают следующие равенства:

при ;

при ,

в справедливости которых для любых положительных  и  и любых положительных целых n и m легко убедиться.

С одной стороны,вероятность обслуживания заявки равна вероятности того, что заявка, поступившая на обслуживание, застает свободным хотя бы один из каналов или хотя бы одно место в очереди:

.

С другой стороны,

,

где – среднее число занятых каналов.

Следовательно,

.

Вероятность того, что канал занят,

Вероятность того, что система полностью загружена (), равна вероятности того, что в системе заняты все каналы:

Среднее время неполной загрузки () СМО с ожиданием определяется как

Среднее время полной загрузки () с учетом эргодического свойства определяется следующим соотношением:

Среднее время наличия очереди () (т.е. время нахождения системы в группе макросостоянийсм. рис. 4.1) рассчитывается по формуле

.

При нахождении среднего времени занятости канала () рассуждаем следующим образом. Допустим, что к моменту окончания обслуживания заявки в рассматриваемом канале очереди нет. Вероятность этой гипотезы_н.о = 1 –Р_н.о, где Р_н.о – вероятность наличия очереди в системе.

Если в системе нет очереди к моменту окончания обслуживания, то среднее время занятости канала будет равно . Если к моменту окончания обслуживания в системе будет очередь (вероятность этой гипотезыР_н.о), то среднее время занятости канала будет равно . Применяя формулу полного математического ожидания, можно найти среднее время занятости канала:

и вероятность наличия очереди:

Среднее время простоя канала:

При необходимости можно определить и другие характеристики системы (см., например, работу [9]).

4.2. Векторная модель с конечной очередью и неоднородными запросами на число мест в очереди

Постановка задачи. На вход СМО, содержащей N обслуживающих приборов и L мест в очереди, поступает неоднородный входной поток с интенсивностью . Для определенности будем работать в рамках СМО с ограниченной очередью. При этом характеристики модели будут аналогичны представленным в главе 3. Отличие состоит в следующем.

На обслуживании в СМО может находиться произвольное число заявок, пока не будет исчерпан ресурс, и еще L заявок будет в очереди. Заявки, которые не могут быть приняты немедленно на обслуживание или поставлены в очередь на обслуживание, получают отказ в обслуживании и покидают систему. По окончании процесса обслуживания одной из заявок освобождающиеся приборы вместе с другими свободными приступают к обслуживанию заявки, стоящей на первом месте очереди, или ожидают прихода следующей заявки, если очередь пуста.

На основании изложенного была разработана имитационная статистическая модель (МСО). В качестве аналитической модели (ВМО) с ограниченной очередью предлагается следующая [11]. Описание входного потока соответствует приведенному в главе 3. Состояние ВМО представим в виде вектора:

где j_m – количество заявок в очереди, требующих для своего обслуживания m приборов; K_m – количество заявок в системе, каждая из которых обслуживается m приборами; – количество заявок, находящихся в очереди;– количество заявок в системе, находящихся на обслуживании.

Тогда число свободных () и занятых () приборов в системе определяется как:

Из состояния система может перейти в любое другое состояние. Так как в системе действуетl входных потоков (l = q_max – q_min+ 1), то из состояния потенциально возможныl прямых переходов. Однако из-за ограниченности ресурсов (N и L) не все эти переходы осуществимы. Пусть ВМО находится в состоянии , и приходит заявка, требующаяm приборов. Если m  n_св()_об, то заявка принимается на обслуживание и система переходит в состояние с интенсивностью_m, причем

Если же заявка затребует приборов больше, чем имеется свободных, то она встает в очередь при условии, что m  n_св()_оч, т.е.

Если же места и в очереди заняты, то заявка получает отказ, а СМО остается в состоянии . Интенсивности обслуживания аналогичны описанным в главе 3.

При завершении обслуживания одной из заявок система перейдет в состояние, в котором соответствующая координата имеет значение на единицу меньше, чем в состоянии , т.е.

,

произойдет обратный переход.

На рис. 4.2 представлен пример фрагмента графа ВМО для n = 3, q = = 1–3, P(m) = 1/3, L = 3.

Рис. 4.2. Фрагмент графа переходов ВМО СМО

По графу состояний с нанесенными интенсивностями переходов составляется система алгебраических уравнений, из решения которой находятся вероятности P(), а по последним определяются характеристики СМО. Рассмотрим нахождениеР_отк и t_оч.

На основании сведений, изложенных в главе 3, и особенностей ВМО получим, что

. (4.3)

Определим t_оч. Допустим, что время ожидания начала обслуживания данной заявки попало в элементарный интервал (t, t + dt). Вероятность этой гипотезы приближенно равна f_оч(t)dt, где f_оч(t) – плотность распределения вероятности времени пребывания заявки в очереди. За время пребывания в очереди за этой заявкой образуется очередь, в которой в среднем будет находиться t заявок. Следовательно, математическое ожидание числа заявок (r), находящихся в очереди, будет определяться по выражению:

где – среднее время ожидания заявки в очереди. Отсюда

. (4.4)

В свою очередь,

. (4.5)

Тогда на основании (4.4) и (4.5) получим

.

В табл. 4.1 приведены расчетные значения Р_отк и при    = 0,6; N  1–2L = 1–2 для моделей СМО и ВМО.

Таблица 4.1

N, L	Pотн ВМО	Pотн МСО	ВМО  10^-2	МСО  10^-2
1,1	0,1836	0,1849	3,06	3,09
1,2	0,0993	0,1050	6,61	6,58
2,1	0,0294	0,0301	0,50	0,47
2,2	0,0249	0,0234	2,20	2,21

Проверка адекватности моделей (ВМО и СМО) проводилась на основании критерия Уилкоксона [25], который показал совпадение с точностью не хуже 2 %.

Итак, следует отметить, что предложенная в данном разделе ВМО позволяет рассчитывать характеристики СМО с запросами на случайное число обслуживающих приборов и мест в очереди. Практическая возможность использования ВМО связана с применением пакетов прикладных программ для расчета системы алгебраических уравнений.