- •1. Основы теории случайных процессов
- •1.1. Семейства случайных величин
- •1.2. Выборочные функции
- •1.3. Теорема Колмогорова
- •1.4. Вещественный параметр. Дискретный случай
- •1.5. Вещественный параметр. Непрерывный случай
- •1.6. Пуассоновский процесс
- •1.7. Общие свойства случайных процессов
- •1.8. Примеры случайных процессов
- •2. Случайные потоки сообщений
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Принципы классификации входящих потоков
- •Определим p1() и p0():
- •Вероятность поступления k и более заявок определяется по формуле
- •2.6.1. Симметричный и примитивный потоки
- •2.6.2. Поток с повторными заявками
- •Вектор, обладающий свойствами (2.20) и (2.21), называется стохастическим. Если его компоненты представляют вероятности состояний системы, то вектор называется вектором состояний системы.
- •Матрица перехода имеет вид
- •2.12. Предельные теоремы для потоков событий
- •2.12.1. Предельная теорема для суммарного потока
- •2.12.2. Предельная теорема для редеющих потоков
- •3. Основы теории систем массового обслуживания
- •3.1. Элементы систем массового обслуживания
- •3.1.1. Виды распределения входящего потока и времени обслуживания
- •3.1.2. Дисциплина обслуживания заявок
- •3.1.3. Канал обслуживания
- •3.1.4. Выходящий поток
- •3.2. Классификация смо
- •3.3. Процессы гибели и размножения
- •3.4. Системы массового обслуживания с отказами
- •3.4.1. Классическая система массового обслуживания с отказами (система Эрланга)
- •Используя нормировочное условие
- •3.4.2. Системы массового обслуживания с отказами и полной взаимопомощью между каналами
- •3.4.3. Системы массового обслуживания с отказами и частичной взаимопомощью между каналами
- •Для сокращения дальнейшей записи введем обозначение
- •Вероятность обслуживания заявки
- •3.4.4. Системы массового обслуживания с отказами и неоднородными потоками
- •3.4.5. Примеры систем массового обслуживания с отказами
- •Решение
- •Вероятность занятости канала
- •Решение
- •Решение
- •Среднее время полной загрузки
- •4. Системы массового обслуживания с ожиданием
- •4.1. Классическая система массового обслуживания с ожиданием
- •С ожиданием (смо с конечной очередью)
- •4.2. Векторная модель с конечной очередью и неоднородными запросами на число мест в очереди
- •4.3. Векторная модель с бесконечной очередью и однородными запросами на число мест в очереди
- •Подставляя сюда (4.10), будем иметь
- •Где коэффициент , с учетом (4.12), имеет вид
- •4.4. Примеры систем массового обслуживания с ожиданием
- •Вероятность обслуживания заявки для смо с отказами
- •Среднее число заявок в системе
- •5. Различные системы массового обслуживания
- •5.1. Система массового обслуживания с ожиданием и приоритетом в обслуживании
- •5.2. Векторная модель системы массового обслуживания с приоритетом
- •5.3. Замкнутая векторная смо с отказами в обслуживании
- •5.4. Исследование и оптимизация управляемой смо
- •5.5. Примеры специальных смо
- •Решение
- •Среднее число ожидающих обычного переговора
- •Оглавление
3.4. Системы массового обслуживания с отказами
3.4.1. Классическая система массового обслуживания с отказами (система Эрланга)
Постановка задачи. На вход n-канальной СМО подается простейший поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала обозначим μ. Если заявка застала все n каналов занятыми, то она получает отказ (покидает систему не обслуженной). Если заявка застала свободным хотя бы один канал, то она принимается к обслуживанию любым из свободных каналов и обслуживается до конца (заявки «терпеливые»).
Описанная выше система названа нами классической потому, что с рассмотрения такой системы Эрлангом и начала развиваться теория массового обслуживания. Эрланг рассматривал работу такой системы на примере работы автоматического телефонного узла связи. В этом случае поток заявок представляет собой поток вызовов со стороны абонентов. Длительность обслуживания характеризуется длительностью коммутации и длительностью разговора. Число каналов n равняется максимально возможному числу одновременно осуществляемых разговоров.
Анализ работы СМО начнем с рассмотрения возможных состояний системы и составления размеченного графа состояний с указанием интенсивностей потоков, переводящих систему из одного состояния в другое.
Рассмотрим следующее множество состояний системы:
x0 – все каналы свободны, ни одна заявка не обслуживается;
x1 – занят ровно один канал (какой – не важно), обслуживается одна заявка;
xk – занято ровно k каналов (каких именно – не важно), обслуживается k заявок;
xn – все n каналов заняты, обслуживается n заявок.
Граф состояния данной СМО с отказами в обслуживании представлен на рис. 3.6.
Рис. 3.6. Граф состояний СМО с отказами в обслуживании
Как и в § 3.3, возможность перескока «через состояние» не рассматривается, т.к. все потоки ординарные. Поясним порядок определения интенсивностей потоков событий на рис. 3.6. Когда система находится в состоянии x0, на нее действует поток заявок с интенсивностью λ, переводящий систему в состояние x1. Если система находится в состоянии x1, то на нее действует уже два потока событий: а) поток заявок с интенсивностью λ, который стремится перевести систему в состояние x2; б) поток освобождений канала («поток обслуживаний»), который стремится перевести систему в состояние x0. Интенсивность этого потока равна μ.
Рассмотрим случай, когда система находится в состоянии xk (k = 1, 2, ... , n–1). В этом состоянии на систему действует также два потока: а) поток заявок с интенсивностью λ, который стремится перевести систему в состояние xk+1; б) поток освобождений всех занятых каналов с интенсивностью kμ, который стремится перевести систему справа налево в состояние xk–1.
Если система находится в состоянии xn, то на нее действует только один поток событий с интенсивностью nμ, переводящий систему справа налево в состояние xn–1.
Система уравнений имеет следующий вид:
,
............................................
, k = 1,2,…, n–1, (3.10)
............................................
.
Система (3.10) интегрируется при следующих начальных условиях:
Р0(0) = 1; Рk(0) = 0 (k = 1,2, ... , n),
что соответствует случаю, когда система в начальный момент времени t = 0 свободна. Решение системы (3.10) при данных начальных условиях удовлетворяет нормировочному условию
(t ≥ 0). (3.11)
Уравнения (3.10) называются уравнениями Эрланга. Заметим, что (3.10) и (3.11) справедливы и для случая, когда потоки событий не являются простейшими, а представляют собой нестационарные пуассоновские потоки. В этом случае параметры λ = λ(t) и μ = μ(t).
Рассмотрим стационарный режим работы при t → ∞. Такой режим существует (см. § 3.3), т.к. рассматриваемая система эргодична. Поэтому при t → ∞ система (3.10) превращается в систему алгебраических уравнений:
0 = –λ Р0 + μР1,
.……………..
0 = –(λ + kμ)Рk + λРk–1+ (k + 1)μ Рk +1 (k = 1,2, ... , n–1),
.…………….
0 = + λРn–1 – nμ Рn = 0,
которую нужно решать совместно с (3.11).
Введем обозначение:
ui = –λPi–1 + iμ Рi (k = 1,2, ... , n),
тогда
u1 = 0,
……...
uk+1 – uk = 0 (k = 1,2, ... , n–1), (3.12)
……...
un = 0.
Анализируя (3.12), убеждаемся в том, что ui = 0. Следовательно,
; ;;.