- •1. Основы теории случайных процессов
- •1.1. Семейства случайных величин
- •1.2. Выборочные функции
- •1.3. Теорема Колмогорова
- •1.4. Вещественный параметр. Дискретный случай
- •1.5. Вещественный параметр. Непрерывный случай
- •1.6. Пуассоновский процесс
- •1.7. Общие свойства случайных процессов
- •1.8. Примеры случайных процессов
- •2. Случайные потоки сообщений
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Принципы классификации входящих потоков
- •Определим p1() и p0():
- •Вероятность поступления k и более заявок определяется по формуле
- •2.6.1. Симметричный и примитивный потоки
- •2.6.2. Поток с повторными заявками
- •Вектор, обладающий свойствами (2.20) и (2.21), называется стохастическим. Если его компоненты представляют вероятности состояний системы, то вектор называется вектором состояний системы.
- •Матрица перехода имеет вид
- •2.12. Предельные теоремы для потоков событий
- •2.12.1. Предельная теорема для суммарного потока
- •2.12.2. Предельная теорема для редеющих потоков
- •3. Основы теории систем массового обслуживания
- •3.1. Элементы систем массового обслуживания
- •3.1.1. Виды распределения входящего потока и времени обслуживания
- •3.1.2. Дисциплина обслуживания заявок
- •3.1.3. Канал обслуживания
- •3.1.4. Выходящий поток
- •3.2. Классификация смо
- •3.3. Процессы гибели и размножения
- •3.4. Системы массового обслуживания с отказами
- •3.4.1. Классическая система массового обслуживания с отказами (система Эрланга)
- •Используя нормировочное условие
- •3.4.2. Системы массового обслуживания с отказами и полной взаимопомощью между каналами
- •3.4.3. Системы массового обслуживания с отказами и частичной взаимопомощью между каналами
- •Для сокращения дальнейшей записи введем обозначение
- •Вероятность обслуживания заявки
- •3.4.4. Системы массового обслуживания с отказами и неоднородными потоками
- •3.4.5. Примеры систем массового обслуживания с отказами
- •Решение
- •Вероятность занятости канала
- •Решение
- •Решение
- •Среднее время полной загрузки
- •4. Системы массового обслуживания с ожиданием
- •4.1. Классическая система массового обслуживания с ожиданием
- •С ожиданием (смо с конечной очередью)
- •4.2. Векторная модель с конечной очередью и неоднородными запросами на число мест в очереди
- •4.3. Векторная модель с бесконечной очередью и однородными запросами на число мест в очереди
- •Подставляя сюда (4.10), будем иметь
- •Где коэффициент , с учетом (4.12), имеет вид
- •4.4. Примеры систем массового обслуживания с ожиданием
- •Вероятность обслуживания заявки для смо с отказами
- •Среднее число заявок в системе
- •5. Различные системы массового обслуживания
- •5.1. Система массового обслуживания с ожиданием и приоритетом в обслуживании
- •5.2. Векторная модель системы массового обслуживания с приоритетом
- •5.3. Замкнутая векторная смо с отказами в обслуживании
- •5.4. Исследование и оптимизация управляемой смо
- •5.5. Примеры специальных смо
- •Решение
- •Среднее число ожидающих обычного переговора
- •Оглавление
Подставляя сюда (4.10), будем иметь
(4.14)
Полагая
, (4.14а)
из (4.14) получим для неизвестной f(x) обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
,
Где коэффициент , с учетом (4.12), имеет вид
(4.15)
Здесь S определяется равенством (4.13), а f(x), следовательно, имеет экспоненциальный вид:
.
Таким образом, асимптотическое распределение (x, k, m) вектора , где определяется равенством (4.14а), с учетом решения первого этапа имеет вид
. (4.16)
Константа С определяется условием нормировки:
,
и имеет вид
здесь определяется равенством (4.15).
Распределение (4.16) решает задачу исследования математической модели СМО с буфером бесконечной длины и позволяет находить основные вероятностные характеристики. Рассмотрим нахождение некоторых из них:
1. Распределение числа свободных приборов (обслуживающих)
2. Предельное значение коэффициента загрузки приборов
3. Асимптотическое распределение числа заявок в очереди (экспоненциальное распределение) с плотностью (4.15), имеет смысл среднего значения. Поэтому среднее число заявок в буфере .
4. Средняя величина задержки (время очереди) в буфере определяется по формуле Литтла:
5. Пропускная способность S СМО с буфером определяется равенством (4.13).
Аналогично можно определить и другие вероятностные характеристики СМО с буфером.
Таким образом, выше рассмотрена и построена векторная СМО с бесконечной очередью и однородными запросами на число мест в очереди. Получены явные выражения для расчета основных вероятностных характеристик СМО с буфером.
4.4. Примеры систем массового обслуживания с ожиданием
Пример 4.1. Показать, что для любого m > 0 и любых параметров (n, ) СМО с ожиданием имеет большую пропускную способность, чем СМО с отказами и с теми же параметрами (n, ).
Решение
Вероятность обслуживания заявки для смо с отказами
Вероятность обслуживания заявки для СМО с ожиданием
Рассмотрим первоначально случай, когда = 1 ( = n), и покажем, что .
В этом случае разность вероятностей
так как знаменатель первой дроби в квадратной скобке меньше знаменателя второй дроби.
Рассмотрим общий случай, когда 1:
Разность будет положительной, если положительным является числитель последней формулы; покажем, что он положительный:
Отношение положительно при любом значении. Покажем, что разность, стоящая в квадратных скобках, тоже положительна:
т.к. каждый член суммы неотрицателен (k n).
Таким образом, показали, что при одинаковых параметрах (n, ) система с ожиданием имеет большую пропускную способность, чем система с отказами. Это достигается за счет увеличения времени нахождения заявки в системе, т.е. за счет того, что заявка будет ожидать в очереди.
Пример 4.2. Рассматривается СМО с ожиданием и частичной взаимопомощью, когда каналы могут помогать друг другу, объединяясь в группы, наибольший состав которых равен l < n. При занятии всех каналов очередная пришедшая заявка не получает отказ, а может стать в очередь, число мест в которой равно m. Составить размеченный граф состояний системы и найти основные характеристики работы такой системы.
Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 4.3.
Рис. 4.3. Граф состояний СМО с частичной взаимопомощью и конечной очередью
На этом графе величина h равна целой части отношения . Этот граф с точностью до обозначений совпадает с графом состояний СМО с частичной взаимопомощью (глава 3) или системы массового обслуживания с ожиданием (§ 4.1). Следовательно,
(i = 0, 1, …, h),
Pj = j Ph (j = h, h + 1, …n + m),
где .
Для краткости рассмотрим только случай . Вероятность обслуживания
Среднее число занятых каналов .
Среднее число заявок, находящихся в очереди: