Кузнецовой Теория электрических цепей часть 2

Рассмотренный выше классический метод расчета переходных процессов, будучи прозрачным и наглядным, имеет недостатки, связанные с громоздкой процедурой определения начальных условий, которые усугубляются с ростом порядка исследуемой цепи. В этой связи в последнее время все большее применение находят другие методы расчета переходных процессов: операторный и частотный методы, метод пространства состояний, которые и будут рассмотрены дальше.

4.3. ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ
Типовые задачи
Задача 1.		R
Дано: для схемы (рис. 4.28)
E = 200 В, R = 10 кОм, С = 1 мкФ.		i		i2
Найти: закон изменения в пе-	E
		i1	R	C
реходном режиме напряжения uC (t) ,
токов i(t), i1 (t), i2 (t) .
Решение.		Рис. 4.28
1. Начнем расчет с определе-
ния напряжения на емкости uC (t) . Полное решение для этого на-
пряжения определяется по формуле

uC (t) = uCпр + uCсв .

2. Значение напряжения на емкости в докоммутационном установившемся режиме (t = 0− ) определяется обычно условиями задачи (в рассматриваемом примере емкость не заряжена)

uC (0− ) = 0 .

3. Принужденная составляющая напряжения на емкости – это напряжение в новом установившемся режиме ( t = ∞) , определяем

по схеме (рис. 4.29):

181

R

uCпр

= uR =

E

R =

E

=100 В.

2R

2

E

uCпр

4. Свободная составляющая

R

t

u

Cсв

= Ae pt = Ae−τ .

Рис. 4.29

Постоянная времени

τ для

цепей

первого

порядка

в

цепях

с емкостью определяется по формуле:

τ = R

С = R R

C = RC = 10 103 1 10−6

= 5 10−3 с.

экв

R + R

2

2

Таким образом,

uCсв = Ae−200t .

5. В соответствии с п. 1 полное решение переходного процесса

uC (t) =100 + Ae−200t .

6. Для определения постоянной интегрирования А воспользуемся правилами коммутации, которые запрещают скачок емкостного напряжения в момент коммутации:

		u (0− ) = u (0+ ),
		C	C
	0 = 100 + A, A = −100 .
	7. Окончательно для емкостного напряжения имеем
	uC (t) =100(1 −e−200t ) В.
	8. Токи можно найти, используя законы Ома и Кирхгофа:
	i2 (t) = CuC′ (t) =1 10−6 (−100) (−200)e−200t			= 0,02e−200t А;
	i1 (t) =	uC	= 0,01 (1 −e−200t ) А;
		R
	i(t) = i1 (t) +i2 (t) = 0,01(1 + e−200t )			А.

182

Качественная временная диаграмма емкостного напряжения uC (t) и тока i2 (t) представ-

лена на рис. 4.30.

В результате переходного процесса емкость заряжается до напряжения 100 В.

Задача 2.

Дано: длясхемы(рис. 4.31)

100 uC пр

0,02

uC (t)

i2 (t)

t

uC св

-100

Рис. 4.30

E = 300 В, R1 = R2 = R3 = 10 Ом,
L = 0,1 Гн.		R1	R2		i3
Найти: закон изменения	E		i2	L	R3
в переходном режиме токов i1 (t),		i1

i2 (t), i3 (t) .

Решение. Рис. 4.31

Удобнее начать расчет с тока вветви с индуктивностью.

1. Полное решение для индуктивного тока определяется по формуле

i2 (t) = i2пр + i2св .

2. Значение индуктивного тока в докоммутационном установившемся режиме (t = 0− ) определим по схеме (рис. 4.32), в которой индуктивность не оказывает сопротивления току (при этом сопротивление R3 закорочено),

iL (0− ) = i2 (0− ) = i1 (0− ) = E = 30 А.

R1

3. Принужденную составляющую тока определим по схе-

ме (рис. 4.33),

183

i		=		E	=15 А.
	пр
2			R1	+ R2

4. Свободная составляющая

−t

i2св = Ae pt = Ae τ ,

где τ − постоянная времени цепи, определяемая как отношение индуктивности L к эквивалентному активному сопротивлению, вычисленному относительно зажимов индуктивности при удаленных источниках:

τ =	L	; R		=	(R1 + R2 )R3			=	20	Ом; τ = 0,15 с.
		экв			R1	+ R2 + R3		3
	Rэкв
Таким образом,
					i		= Ae−66 ,7 t .
					2св
5. Помня о том,			что индуктивный ток в момент коммутации

не изменяется скачком, определим постоянную интегрирования А:

i (0− ) = i (0+ ) =15 + A = 30;		A =15.
2	2
6. Окончательное решение для индуктивного тока

i2 (t) =15 (1 + e−66 ,7 t ) А.

7. Токи i3(t) и i1(t) можно определить позаконам Омаи Кирхгофа:

		Li′	(t)		0,1 15 (−66,7)e−66,7t
	i3 (t) =	2		=		= −10e−66,7t А;
		R3			10

i1 (t) = i2 (t) +i3 (t) =15 +5e−66,7t А.

Временные графики токов представлены на рис. 4.34. Ток i2(t) в ветви с индуктивностью не изменяется скачком в момент коммутации, а токи i1(t) и i3(t) изменяются скачком.

184

30		30
20	i1		i2
		15
15
	t		t
-10	i3
	Рис. 4.34
Задача 3.
Дано: для схемы (рис. 4.35) E0 = 400 В, R = 10 Ом, L = 0,01 Гн,
e(t) =100	2 sin(1000t +15o) В.
Найти: закон изменения тока i(t)		после замыкания ключа.
Решение.
1. Полное решение переходного про-
цесса для тока i:

i(t) = iпр +iсв .

2. Значение индуктивного тока в докоммутационном установившемся режиме (t = 0− ) определим по схеме с источником постоянного воздействия (рис. 4.36), в которой индуктивность не оказывает сопротивления току,

i(0− ) =	E0	= −20 А.
	R + R

3. Принужденная составляющая тока (ток установившегося послекоммутационного режима) будет создаваться только источником гармонического напряжения (рис. 4.37):

iпр = Im sin(1000t +15o −ϕ) ,

185

где

Im =	Em		=	100 2			=10	А,
	R2 +(ωL)2			102 +(1000 0,01)2
	ϕ = arctg ωL = arctg				1000 0,01	= 45o .
	R			10

Таким образом,

iпр =10sin(1000t −30o ) А. 4. Свободная составляющая тока

−t

iсв = Ae pt = Ae τ ,

где τ − постоянная времени

τ =	L	;	R = R =10	Ом; τ = 0, 001	с.
	Rэкв		экв

Таким образом,

iсв = Ae−1000 t А.

5.Полное решение

i(t) =10sin(1000t −30o) + Ae−1000t А.

6.Постоянную интегрирования A найдем из начального условия, которое можно получить на основании закона коммутации (индуктивный ток в момент коммутации не изменяется скачком):

i(0− ) = i(0+ ) = −20 А.

В момент времени t = 0+ значение переходного тока подчиняется полному решению при t = 0 :

i(0+ ) =10sin(−30o) + A = −5 + A = −20 .

Откуда A = −15 .

186

7.Окончательное решение

i(t) =10sin(1000t −30o) −15e−1000t А.

График изменения тока i(t) в течение переходного процесса представлен на рис. 4.38.

i

10

iпр

t

i(t)

iсв

-10

-20 Рис. 4.38

Условная длительность переходного процесса

tпп ≈ 5 = 0,005 с. p

Задача 4.

Дано: для схемы (рис. 4.39) J = 12 А, L = 0,1 Гн, R = 100 Ом, С = 62,5 мкФ.

Найти: законизменения тока iC (t) после размыкания ключа.

Решение.

1. Полное решение тока в емкости в переходном режиме:

iC (t) = iC пр +iC св .

187

2. Независимые начальные усло-
вия определим по схеме	(рис. 4.40)
в старом установившемся	режиме

(t = 0− ). Очевидно, что это схема с нулевыми начальными условиями, т.е.

iL (0− ) = iL (0+ ) = 0, uC (0− ) = uC (0+ ) = 0 .

3. Принужденную составляющую искомого тока определим по схеме (рис. 4.41). Очевидно, что она равна нулю, т.к. в цепи действует источник постоянного тока и в установившемся послекоммутационном режиме емкость представляет собой бесконечно большое сопротивление,

iC пр = 0 .

4. Для определения свободной составляющей тока необходимо предварительно найти корни характеристического уравнения, для чего воспользуемся методом входного сопротивления. Комплексное сопротивление относительно точек разрыва

(рис. 4.42)

Z ( jω) = R + jωL + 1 . jωC

Характеристическое уравнение:

Z ( p) = R + pL + 1 = 0; pC

p2 LC + pRC +1 = 0;

188

p2 + p	R	+	1	= 0;
	L		LC
p2 +103 p +16 104 = 0.

Корни характеристического уравнения:

p1,2 = −500 ± 25 104 −16 104 ; p1 = −200 с–1 ; p1 = −800 с–1 .

Переходный процесс апериодический, таким корням соответствует свободная составляющая в виде

iCñâ = A1e p1t + A2e p2t = A1e−200 t + A2e−800 t .

5. Полное решение для переходного емкостного тока

iC = A1e−200 t + A2e−800 t .

Найдем закон изменения первой производной от тока в емкости во время переходного процесса:

iC′ = −200 A1e−200 t −800 A2e−800 t .

6. Для определения постоянных интегрирования A1 и A2 необходимо знание двух начальных условий:

iC (0+ ) = A1 + A2 ,

iC′ (0+ ) = −200 A1 −800 A2 .

Для определения численных значений тока в емкости и его производной в момент времени t = 0+ составим уравнения по законам Кирхгофа для этого момента времени с учетом независимых начальных условий.

Для послекоммутационного режима ( 0 ≤ t ≤ ∞ )

iC +iL = J ,

+ ′ =

RiL LiL uC .

Для момента времени t = 0+

189

iC (0+ ) +iL (0+ ) = J ,

RiL (0+ ) + LiL′(0+ ) = uC (0+ ).

С учетом независимых начальных условий, определенных в п. 2,

iC (0+ ) = J ,LiL′(0+ ) = 0.

Таким образом, iC (0+ ) =12 А, iL′(0+ ) = 0 А/с.

Для определения второго начального условия продифференцируем уравнение, записанное по I закону Кирхгофа, и рассмотрим его в момент времени t = 0+:

iC′ (0+ ) +iL′(0+ ) = 0 ; iC′ (0+ ) = 0 А/с.

Для нахождения A1 и A2 необходимо решить систему уравнений

A1 + A2 =12,

−200 A −800 A = 0.

1 2

Таким образом, A1 = 16 А, A2 = − 4 А. 7. Окончательное решение

i (t) =16e−200 t	− 4e−800 t .
C

График изменения тока в емкости представлен на рис. 4.43.

i

16

16e−200t

12

iC(t)

t

-4 − 4e−800t

Рис. 4.43

190