Кузнецовой Теория электрических цепей часть 2

4.2.6.2. Подключение RС-цепи к источнику постоянного напряжения

1. Запишем правило коммутации для цепи на рис. 4.9:

uC (0− ) = uC (0+ ) = 0 .

2. Получим дифференциальное уравнение цепи:

	R
	+
E	uC
iC	C
Рис. 4.9

uR +uC = E ,

iC R +uC = E , iC = C duC , dt

CuC′ R +uC = E .

Характеристическое уравнение цепи

pCR + 1 = 0 ,

корень которого

p = − 1 .

RC

Постоянная времени τ = 1 = RC . p

3. Запишем полное решение:

− 1 t

uC (t) = uCпр +uCсв = E + Ae RC .

Здесь свободная составляющая так же включает только одну экспоненту, поскольку цепь имеет первый порядок.

4. Подставив в полное решение t = 0+, определим постоянную интегрирования на основании правил коммутации A = −E .

Таким образом, окончательный результат имеет вид

		−	1	t
uC	(t) = E 1	−e RC .

151

Ток в цепи
	1	− 1 t	=	E	− 1 t
iC (t ) = CuC′ = −E −	Ce RC			R	e RC .
	RC
Графики изменения uC (t) и iC (t) представлены на рис. 4.10.
Значение тока, содержащее лишь свободную составляющую, макси-
uC , iC	мально в начальный момент време-
	ни,	когда	оно		скачком достигает
E	значения		E R , и все напряжение
uC(t)
E R	источника приложено к резистору.
iC(t)	По мере зарядки конденсатора на-
t	пряжение на нем повышается, что
Рис. 4.10	ведет к соответственному умень-
	шению тока вцепи.
4.2.6.3. Подключение R L -цепи к источнику
постоянного напряжения

1. Запишем правило коммутации для цепи, изображенной на рис. 4.11:

			i (0− ) = i (0+ ) = 0 .
			L	L
	2. Получим дифференциальное уравнение цепи:
				RiL +uL = E ,
				RiL + LiL′ = E ,
				характеристическое уравнение
		R		Lp + R = 0 .
	E	iL	L	Корень характеристического урав-
				нения и постоянная времени соответ-
				ственно имеют вид
		Рис. 4.11		p = −	R	L
					, τ =	.

L R

152

3. Полноерешениеимеетвид								E	uL, iL
			= E + Ae−		R
i (t) = i		+i			L t .		E R
L	Lпр	Lсв	R							iL(t)
4. Подставив в iL(t) t = 0+, на											uL(t)
основании	правила		коммутации								t
определим	постоянную интегри-
										Рис. 4.12
рования
					A = − E .
							R
Таким образом,
			iL (t) =			E		− R t
							1 −e L		.
						R
Напряжение на индуктивности
		uL (t )			−	E		R	− R t	− R t
			= Lil′ = L				−	e L		= Ee L .
						R		L
Графики изменения uL(t), iL(t) приведены на рис. 4.12.
	4.2.6.4. Подключение RC-цепи к источнику
		гармонического напряжения
Рассмотрим случай, когда в цепи (рис. 4.13) действует источ-
ник синусоидальной ЭДС:
			e(t) = Em sin(ωt + ψe ) .
Здесь ψe –	фаза включения,			т.к.			она			R
определяется моментом срабатывания
коммутатора.		Интуитивно		следует				e(t)			C
ожидать влияние ψe			на качественную							i(t)
и количественную картину протека-
ния переходного процесса.										Рис. 4.13
											153

Порядок расчета переходных процессов, описанный выше, не претерпевает никаких изменений.

1. Запишем правило коммутации:

uC (0− ) =uC (0+ ) = 0 .

2. Дифференциальное уравнение и соответствующее ему характеристическое уравнение имеют вид:

uC +uR = e(t),

uC +CuC′ R = e(t), 1 + RpC = 0 .

Корень характеристического уравнения

p = −

1

.

RC

3. Полное решение для рассматриваемой цепи первого порядка:

=i + Ae−

1

t .

i(t) =i +i =i + Ae pt

RC

пр

св

пр

пр

4. Расчет принужденной составляющей произведем символи-

ческим методом:

E

Em e

jψe

Em

Ψe

+arctg

1

I&m =

=

=

e

ωCR ;

&

j

1

R2 +

2

e

1

R2 +

2

R − j ωC

ωCR

1

− jarctg

1

ωC

ωC

&

= − j

1

&

UC

ωC

I ;

iпp (t) =			Em
		2		1 2
	R		+
				ωC

	ωt +ψe	+arctg	1
sin				;
			ωCR

154

uCпp (t) =

Em

1

ωt +ψe

+arctg

1

−

π

sin

.

2

1 2

ωC

ωCR 2

R

+

ωC

Обозначим Im =			Em
		2		1 2
	R		+
				ωC

мулуприведения

, ϕ= arctg	1	и применим фор-
	ωCR

uCпp (t) = −ωIm cos (ωt +ψe −ϕ) .

C

5. Для расчета постоянной интегрирования запишем полное решение для момента t = 0+ :

		(t ) =u			(t ) + Ae−	1	t ;
	u					RC
	C		Cпр
	uC (0+ ) = −		Im		cos (ψe −ϕ) + A .
			ωC

В соответствии с правилом коммутации

A = Im cos(ψ −ϕ) .

ωC e

Таким образом,

u (t) = I		1				−cos (ωt +ψ −ϕ) +cos (ψ
C	m		ωC				e		e
обозначим X C =		1			, тогда
	ωC
							(ωt +ψe	−ϕ) +cos (ψe
uC (t) = Im X C −cos

−	1	t
−ϕ)e	RC	,

−	1	t
−ϕ)e	RC	.

155

Определим:

CI

1

−

1

t

m

iC

(t) =CuC′

=

ωsin (ωt +ψe −ϕ) +cos(ψe −ϕ)

−

e

RC ;

ωC

RC

1

−

1

t

iC

(t) = Im

sin (ωt + ψe

−ϕ) −

e RC cos (ψe

−ϕ) ;

ωRC

X C

−

1

t

iC

(t) = Im

sin (ωt + ψe

−ϕ) −

cos (ψe −ϕ)e

RC .

R

Оба выражения для uC и iC в общем случае имеют периодическую принужденную и апериодическую свободную составляющие. При этом характер переходного процесса существенно зависит от двух факторов – начальной фазы напряжения источника в момент включе-

ния ψe и соотношения параметров цепи X C						и R.
Исследуем ожидаемое влияние фазы включения ψe источни-
ка на переходный режим:
1) Пусть ψe = ϕ, тогда ψe	−ϕ = 0 . Поскольку cos 0 = 1, получим
						−	1	t
uC (t) = Im X C −cos ωt + e							RC	;
		X C		1	t
i(t) = Im sin ωt −			e RC			;
		R

а) исследование кривой напряжения (рис. 4.14) наглядно показывает, что максимальное напряжение в переходном режиме ограничено UCmax < 2UCmпр ;

б) исследование кривой тока (рис. 4.15) показывает, что максимальное значение тока в переходном режиме зависит от соотношения X C и R и может превышать Imпр в несколько раз. Однако этот начальный всплеск тока является кратковременным.

156

uC

UCmax

ImXC				uC(t)
								uCсв
									t
		uCпр
-ImXC
				Рис. 4.14
	Im	i
		iпр
									t
	-Im
						X c		> R	X c >> R
− I m	X C	iсв	i(t)
	R
		iсв		Рис. 4.15
2) В случае, если ψe			− ϕ = π , поскольку cos π = 0 , получим:
				2					2
					+	π			= Im X C sin ωt;
uC (t) = Im X C − cos ωt						2		+ 0
	iC			ωt +	π
		(t) = Im sin					+ 0 = Im cos ωt.
					2

157

Таким образом, в данном случае в цепи переходный процесс не наблюдается.

4.2.7. Переходные процессы в цепях II порядка

Одна из классических задач в теории переходных процессов – анализ разряда конденсатора с емкостью C на цепь, обладающую активным сопротивлением R и индуктивностью L.

	4.2.7.1. Разряд емкости на цепь RL
	R	1. Независимые начальные условия для
		рассматриваемой цепи (рис. 4.16):
	L	u (0− ) = u (0+ ) =U		0	;
C		C	C
	i	iL (0− ) = iL (0+ ) = 0.
	uC	2. Дифференциальное уравнение				цепи
Рис. 4.16		и корни характеристического уравнения:

uR + uL +uC = 0; iR R + LiL′ +uC = 0;

iC = iL = iR = i = CuC′ ;

LCuC′′

+ RCuC′

+uC = 0 .

Характеристическое уравнение

LCp2 + RCp +1 = 0

или p2 +

R

p +

1

= 0 .

(4.12)

L

LC

Корни характеристического уравнения

R 2

1

R

− 4

R

R

2

1

LC

= −

±

L

= −

±

−

p1,2

. (4.13)

2L

2

2

2L

2L

LC

158

3. Полное решение uC	(t) = uCпр + ∑ Ai e pi t = uCсв (t) . Вид свобод-
	{ i =1,2
	0

ной составляющей и характер переходного процесса будут определяться тем, какими числами будут корни характеристического уравнения. Это зависит от соотношения между параметрами цепи, в частности, от подкоренного выражения в уравнении (4.12). Здесь возможны три варианта:

		R 2		>	1	R > 2	L	= 2ρ , где ρ –	волновое сопротивле-
1)
		2L			LC		C
ние контура, т.е. для низкодобротных контуров Q < 0,5. При этом
корни p1 и p2 –				вещественные отрицательные разные;
2)	R = 2ρ или Q = 0,5: корни p1 = p2 –								вещественные отрица-
тельные равные;

3) R < 2ρ илиQ > 0,5: корниp1 иp2 – комплексныесопряженные.

В первых двух случаях переходный процесс носит апериодический характер (напряжение на емкости uC монотонно затухает до нуля, не меняя своей полярности); в третьем случае процесс разряда – колебательный.

5. Найдем постоянные интегрирования А1 и А2, для чего возь-

мем производную uC′ (t) :
				u′	(t) = A p e p1t		+ A p e p2t .
				C		1 1	2	2
4.2.7.2. Апериодический разряд емкости на цепь RL
Рассмотрим случай, когда p1,2 –							действительные и отрицатель-
ные, т.е.	R	>	1	. В этом случае переходный процесс называется
	2L		LC
апериодическим и вид полного решения следующий:
				uCпр	= 0;
				u (t) = u		(t) = A e p1t		+ A e p2t .
				C	C св		1	2

159

Рассмотрим функции uC (t) и uC′ (t) в момент времени t = 0+ :

u (0+) = A + A = ?
	C	1	2
		(0+) = A p + A p = ?
u′
	C	1 1	2 2

Определим правые части приведенных выше уравнений:

u (0+ ) = u (0− ) =U					0	;
C	C
i = i = Cu′		;	u′	=	iL		u′	(0+) =	iL (0+)	= 0.
C L	C		C		C		C		C

Тогда система уравнений для определения постоянных интегрирования А1 и А2 принимает следующий вид:

uC (0+ ) = A1 + A2 = uC (0− ) =U0 ,

uC′ (0+ ) = A1 p1 + A2 p2 = 0.

Решим полученную систему уравнений.

A1 + A2 =U0			,			−	A p		=U0 ,
				A1				1 1
								p2
		A1 p1
A2	= −					( p2		− p1 )
				A1						=U0 .
		p2					p2

A1 = −

U0 p2

; аналогично:

A2

=

U0 p1

.

p − p

2

p

− p

1

1

2

Таким образом, искомое uC (t) имеет вид

−p

p t

p

p t

U

0

p t

p t

u

(t) =U

2

e 1 +

1

e 2

= −

p e 1

− p e

2

. (4.14)

0

C

− p2

p1 − p2

p1 − p2

2

1

p1

Получим функцию изменения тока в цепи:

i = iR = iL = iC = CuC′

= −CU0

p p

P t

−

p p

P t

2 1

p1e 1

1 2

e 2

.

− p2

p1 − p2

p1

160