Кузнецовой Теория электрических цепей часть 2

	С учетом того, что по теореме Виета				p1 p2	=	1
							LC
	ния тока принимает следующий вид:
	i = −	U0		e p1t −e p2t .
		L( p	− p )
	1		2

Напряжение на резисторе

uR	= iR = −	U0 R		e p1t −e p2t .
		L( p − p )
	1		2

, закон измене-

(4.15)

(4.16)

Получим функцию изменения напряжения на индуктивности

u		(t) = Li′	= −	U0		p e p1t − p e p2t .				(4.17)
				p − p
	L	L			2		1	2
				1

Качественно изобразим графики полученных функций (рис. 4.17), длячегопроведемследующиеисследования.

Определим начальные значения функций:

– напряжение на конденсаторе

u (0+ ) = u (0+ ) =U

p1 − p2

=U

,

0

0

C

Cñâ

p1 − p2

что не противоречит начальным условиям;

–

ток и напряжение на резисторе

i(0+ ) = −

U0

e0

−e0

= 0 ,

uR (0+ ) = −

U0 R

e0

−e0 = 0 ;

L( p − p

L( p − p

)

2

)

1

2

1

–

напряжение на индуктивности

u

(0+ )

= −

U0

p e0 − p e0

= 0 .

p

− p

L

2

1

2

1

Поскольку

p1 < 0 и p2 < 0 и

p1

<

p2

,

то при изменении вре-

мени t

от 0 до ∞ величины e p1t и e p2t

убывают от 1 до 0 и разность

161

этих экспонент e p1t −e p2t всегда положительна. Следовательно, ток i не меняет своего направления, т.е. конденсатор все время разряжается; в частности, при uC (0+ ) =U0 > 0 ток отрицателен. Такой односто-

ронний разряд конденсатора и называют апериодическим разрядом. На рис. 4.17 изображены зависимости i(t), uR(t), uC(t) и uС(t).

В интервале времени 0 < t < t1 ток по абсолютному значению возрастает, в интервале времени t1 < t < ∞ ток по абсолютному значению

убывает, стремясь к нулю. Напряжение на конденсаторе также монотонно убывает, стремясь к нулю.

u i

	uC(t)
	e p1t
	U0
	t1	uC(t)
		t
	e p2t

t1 t2 t i(t)

uR(t)

uL(t)

t

-U0	Рис. 4.17

162

В момент времени t1 имеет место перегиб в кривой напряжения на конденсаторе uC (t) , следовательно, ток имеет максимальное зна-

чение, а напряжение на индуктивности uL (t) равно нулю. В момент

времени t2 – перегиб в кривой тока,

а напряжение uL (t) принимает

максимальное значение.

Значение t1 определяется из условия:

di(t)

=

uL (t)

= 0 ,

dt

t =t1

L

t =t1

uL (t)

=

U0

p e p1t1

− p e p2t1

= 0,

L

L( p

t =t1

− p )

1

2

1

2

p e p1t1

− p e p2t1 = 0,

1

2

решение полученного уравнения

ln

p2

t1 =

p1

.

(4.18)

p1

− p2

Значение t2 определяется из условия:

uL (t)

dt

решение уравнения

Из уравнения

= ( p

− p )

p1

e

− p2 e

= 0 ,

U0

2

p1t1

2

p2t1

t =t2

1

2

p2

2ln

t

=

p1

= 2t .

(4.19)

2

p1 − p2

1

u

= −(L

di

+ Ri)

C

dt

следует, что напряжение на зажимах конденсатора в любой момент времени уравновешивается суммой напряжения самоиндукции на за-

163

жимах катушки и напряжения на участке с сопротивлением. В первый момент времени, когда uR (0+ ) = iR = 0 , напряжение на зажимах кон-

денсатора полностью уравновешивается напряжением на зажимах катушки. Ток начинает возрастать по абсолютному значению именно с такой скоростью, чтобы наступило равновесие. В интервале 0 < t < t1

напряжение uC частично уравновешивается напряжением на катушке и частично напряжением на сопротивлении. С возрастанием времени на долю катушки приходится все меньшее сопротивление и, соответственно, скорость нарастания тока уменьшается.

В момент времени t1 uC = – uR, т.е. оставшееся к этому моменту времени напряжение на конденсаторе полностью уравновешивается напряжением на сопротивлении. Поэтому ток дальше возрастать не может. В этот момент он достигает максимального значения, т.к. после этого момента он должен убывать вследствие того, что конденсатор продолжает разряжаться.

Напряжение на конденсаторе и ток в нем в момент времени 0 < t < t1 разных знаков, следовательно, мгновенная мощность конден-

сатора pC = uC i < 0 , т.е. энергия отдается конденсатором из его электрического поля. Напряжение на индуктивности и на сопротивлении одного знака с током, следовательно, pL = uLi > 0 и pR = i2 R > 0 , т.е. энергия поступает в индуктивность, запасаясь в ее магнитном поле,

ивыделяется в виде теплоты в сопротивлении.

Винтервале времени t1 < t < ∞ напряжение на индуктивности

так же, как и напряжение на конденсаторе, положительно, поскольку они совместно преодолевают сопротивление цепи. Теперь мгновенная мощность индуктивности отрицательна, и катушка так же, как и конденсатор, отдает запасенную в ней энергию. Вся эта энергия превращается в тепло.

4.2.7.3. Предельный апериодический разряд

Если корни характеристического уравнения вещественны и равны друг другу, переходный процесс имеет предельный апериодический

164

характер. Это имеет место при условии R = 1 , т.е. при

		2L		LC
R = R = 2	L	. В этом случае корни уравнения	p	= p	= −	R	= −δ .
кр	C		1	2		2L

При этом выражения для тока и напряжения становятся неопределенными из-за равенства нулю и числителя, и знаменателя. Раскроем эти неопределенности по правилу Лопиталя, считая, что p1 – переменная

истремитсяк p2

= −

R

= −δ . Получимследующеевыражениедлятока:

2L

i = −

U0

lim

e p1t −e p2t

= −

U0

te p2t = −

U0

te−δt .

(4.20)

L

p1 − p2

p1 →p2

L

L

Для напряжений

uL

= L

di

=U

0 (δt −1)e−δt ;

(4.21)

C ∫

dt

u

=

1

t

idt +U

=U

(δt +1)e−δt .

(4.22)

C

0

0

0

Характер процессов в этом случае не отличается от рассмотренных выше при апериодическом разряде конденсатора. Процесс также апериодический. Момент достижения током максимального абсолютного значения определяется как t1 =1δ . Это предельный

случай апериодического разряда, так как при дальнейшем уменьшении R ниже значения Rкр разряд становится колебательным.

4.2.7.4.Колебательный разряд конденсатора

Вслучае, если корни характеристического уравнения p1,2 комплексные сопряженные, переходный процесс имеет колебательный

характер. В данном случае R < 1 и подкоренное выражение от-

2L LC

165

рицательно. Корни характеристического уравнения в общем случае записываются в виде

p1,2 = −δ± jωсв ,

где

δ =

R

–

коэффициент затухания;

2L

ωсв

=

1

−

R 2

частота свободных (собственных) колебаний

–

LC

2L

контура.

Между δ и ωсв

существует следующая связь:

δ2 + ω2

=

1

.

св

LC

Поскольку все изложенные выше выкладки применимы и для данного случая, запишем полное решение:

uC	(t) = − p		− p		p2e		− p1e	.
		U0				p1t		p2t
	1			2

Подставив в данную формулу выражения для p1 и p2 , получим:

uC (t) = −

U0

×

−δ+ jωсв + δ+ jωсв

× (

−δ− jω

)

e(−δ+ jωсв )t −

(−δ+ jω

)

e(−δ− jωсв )t

=

св

св

= −

U0e−δt

δ(e

− jω

t

−e

jω t

) − jωсв (e

jω

t

+ e

− jω t

) =

св

св

св

св

2 jω

св

= −

U0e−δt

[δ[cos ω t − j sin ω t −cos ω t − j sin ω t] −

2 jωсв

св

св

св

св

− jωсв[cos ωсвt + j sin ωсвt + cos ωсвt − j sin ωсвt]] =

−δt

= −U0eω [−δ2 j sin ωсвt − jωсв 2cos ωсвt ] =

2 j св

166

= −

U0e−δt

[−δsin ω t −ω

cos ω t

] =

U0e−δt

[δsin ω t + ω

cos ω t] .

ωсв

св

св

св

ωсв

св

св

св

Определим ток в контуре:

U

0

/

i(t) = СuC′

= C

e−δt

[δsin ωсвt + ωсв cos ωсвt]

=

ω

=

CU0

δ

e−δt (−δ) sin

ω t + e−δt

cos ω

t ω

+

ω

св

св

св

св

+ω

−δe−δt

cos

ω t −e−δt sin ω

t

ω

=

св

св

св

св

= −

CU0

e−δt δ2 sin ω

t +ω2 sin ω

t

= −

CU0

e−δt δ2

+ω2 sin

ω t .

ω

св

св

ω

св

14243

св

св

1

LC

Таким образом,

i(t) = −

U0

e−δt

sin ω t .

(4.23)

ωсвL

св

Введем I0 =

U0

и упростим выражение, полученное для uC (t) :

ω

L

св

U

e−δ t

[δsin ω

t]

δ2 + ω2

u (t) =

0

t + ω

cos ω

св

,

ωсв

C

св

св

св

δ2 + ω2

св

тогда, обозначив cosβ =

δ

, sin β =

ω

, где

β = arctg

ωсв ,

δ2 + ωсв2

δ2 + ω2

δ

св

uC (t )

U

e−δt

ω

L

=

0

δ2 + ωсв2

sin

ωсвt

+ arctg

св

=

ωсв

δ

L

=

U

e−δ t

L

ωсвt + arctg

ω

0

sin

св

.

ωсвL

δ

C

167

Таким образом,

ω

uC (t) =U0ρe−δt sin ωсвt + arctg

св

.

(4.24)

δ

Напряжение на индуктивности

′

U0

p1t

p2t

U0

−δt

[δsin ωсвt −ωсв cos ωсвt] =

uL (t) = LiL

= −

p1e

− p2e

=

e

p

− p

ω

1

2

св

ωсвt −arctg

ω

=U0ρe−δt sin

св .

δ

При построении графиков следует принимать во внимание со-

отношение между постоянной времени экспоненты τexp ≈ 1δ и перио-

	дом синусоиды T	=	2π	в свободной составляющей. Рассмотрим
			ω
	св
			св

два варианта:

1. τexp <<Тсв . В данном случае возможно только аналитическое определение свободной составляющей (рис. 4.18). Для этого

i

	ωt + arctg	ω
sin
		δ

t

i(t)

– I0e-δt

–I0

Рис. 4.18

168

необходимо			оценить время переходного процесса tпп				= (4 ÷5)τexp ,
		1
где	τexp = δ .		Далее в зависимости от необходимой точности по-
строения графика этот промежуток времени следует разбить на n
интервалов ∆t и далее рассчитать значение искомой функции в ка-
ждый момент ti = ti −1 + ∆t .
		2. Наибольший интерес представляет случай τexp >>Tсв . В дан-
ном		случае	возможно		графическое	перемножение	экспоненты
exp =		E e−δt = I		ρe−δt и синусоиды sin ω t . На рис. 4.19 изображе-
		ωсвL	0			св
ны зависимости uR, uL и uC от ωсв, кривая тока подобна кривой на-
пряжения на резисторе uR.
		u
		I0ρ			I0ρe-δt
			t2			uC(t)	ωсвt
					–I0ρe-δt
		–I0ρ
		t1					ωсвt
						uL(t)
		–I0ρ
				t3		uR(t)	ωсвt
			π/2	3/2π	5/2π
					Рис. 4.19
							169

Из рисунка видно, что процесс в этом случае является колебательным. Ток и напряжения на всех участках периодически изменяют знак. Амплитуда колебаний убывает по показательному закону, следовательно, в цепи совершаются затухающие колебания тока и напряжений. Угловая частота затухающих колебаний

ω =

1

−

R2

=

ω2 −δ2

,

(4.25)

LC

4L2

св

0

где ω0 – резонансная частота.

Период затухающих колебаний определяется по формуле

T

=

2π

=

2π

.

(4.26)

ωсв

св

1

−

R2

LC

2

4L

Быстроту затухания тока характеризуют декрементом колебаний ∆, который определяется как отношение двух последующих амплитуд одного знака:

		Ie−δt
∆ =			= eδTсв ,	(4.27)
	Ie	−δ(t +T )
		св

а также логарифмическим декрементом колебаний, определяемым как

ϑ= ln δTсв .

(4.28)

Рассмотрим подробнее энергетические процессы, происходящие при затухающем колебательном разряде конденсатора.

В интервале 0 < t < t1 , пока ток нарастает от нуля до максимально-

го по модулю значения, характер процесса такой же, как и при апериодическом разряде в аналогичном интервале (см. рис. 4.18). В интервале t1 < t < t2 характер колебательного разряда аналогичен характеру апе-

риодического разряда в интервале t1 < t < ∞ . При апериодическом раз-

ряде напряжение на конденсаторе, напряжение на резисторе и ток уменьшаются до нуля в установившемся режиме. Но при колебатель-

170