Кузнецовой Теория электрических цепей часть 2

i1(t)

R1

u1(t) R2

		i1(t)	R1
R3	u2(t)	u1(t)	R2
L

R3

u2(t)

С

а	б
	Рис. 4.123

4.7.5. Расчетно-графическая работа № 7

Расчет переходного процесса при помощи интеграла Дюамеля

Задание

Рассчитать переходный процесс в цепи первого порядка при подключении к источнику напряжения (тока) произвольной формы.

1.На откидном листе изобразить электрическую цепь, подлежащую расчету, и вид сигнала входного напряжения, привести численные значения параметров цепи.

2.Получить переходную и импульсную характеристику цепи при заданных входных и выходных сигналах классическим и операторным методами.

271

3.Рассчитать указанный в задании ток или напряжение с помощью интеграла Дюамеля.

4.Построить график изменения вовремени найденной величины.

Выбор варианта

Схема цепи и форма входного сигнала выбираются в соответствии с номером варианта задания (рис. 4.125, 4.126). Вид источника задан в соответствии с четностью номера варианта: для четных номеров – источник задающего напряжения (А = 100 В), для нечетных – источник задающего тока (А = 0,1 А). Параметры цепи, искомая реакция выбираются в соответствии с вариантом в табл. 4.4.

272

1)	2)
А	А

2	4 мс	2	4 мс
3)		4)
А		А

	1	3	4 мс	2	4 мс
5)				6)
А				А

3			4						мс
	2			мс		2		4
– А/4
						8)
7)
А						А
						А/2
2		3	мс			1		3	мс
– А/2

Рис. 4.126 (см. также с. 274–275)

273

Рис. 4.126 (продолжение)

274

Рис. 4.126 (окончание)

275

						Таблица				4 . 4
	Схемацепи	R	L	C	Форма	Искомая реакция
Вариант					импульса	в соответствии
	(см. рис. 4.125)	(Ом)	(Гн)	(мкФ)	(см. рис. 4.126)		с вариантом
1,26,51	а	200	0,1	–	1	i1		i2		i3
2,27,52	б	100	0,15	–	2	i1		i2		uL
3,28,53	в	200	–	10	3	i1		i2		uC
4,29,54	г	220	–	3	4	i1		i2		iL
5,30,55	д	200	0,1	–	5	i1		i2		iC
6,31,56	е	100	0,15	–	6	i1		i2		uL
7,32,57	ж	200	–	10	7	i1		i2		i3
8,33,58	з	220	–	3	8	i1		i2		i3
9,34,59	а	200	0,1	–	9	uR1		uR2		uR3
10,35,60	б	100	0,15	–	10	uR1		uR2		uR3
11,36,61	в	200	–	10	11	iC		uR1		uR2
12,37,62	г	220	–	3	12	uL		uR1		uR2
13,38,63	д	200	0,1	–	13	uC		uR1		uR2
14,39,64	е	100	0,15	–	14	iL		uR1		uR2
15,40,65	ж	200	–	10	15	uR1		uR2		uR3
16,41,66	з	220	–	3	16	uR1		uR2		uR3
17,42,67	а	200	0,1	–	17	i1		i2		i3
18,43,68	б	100	0,15	–	18	uR1		i1		i2
19,44,69	в	200	–	10	19	i2		i1		i3
20,45,70	г	220		3	20	i3		i2		uL
21,46,71	д	200	0,1	–	21	uC		i1		i2
22,47,72	е	100	0,15	–	22	i1		uR1		uL
23,48,73	ж	200	–	10	23	i2		i1		uR1
24,49,74	з	220	–	3	24	uC		i1		i2
25,50,75	а	200	0,1	–	1	i3		uR1		uR3

276

Пример расчета

Определить ток iC в RC-цепи (рис. 4.127, а) и построить график его изменения во времени, полагая, что входное напряжение имеет форму, изображенную на рис. 4.127, б. Параметры схемы: R = 200 Ом,

C = 10 мкФ.

Аналитически входное напряжение может быть описано следующим образом:

U		0	t для 0 < t < t1 ,
t1
u (t ) =			для t1 < t < t2
U0
	0		для t > t2 .

	5	t	для	0 < t < 10		−3	,
10
или u (t ) = 102			для 10-3 < t < 4 10−3 ,
			для	t > 4 10	−3
0						.

Определим ток через емкость при воздействии заданного сигнала с учетом особенностей изменения этого сигнала на разных интервалах времени.

R		u
		100
		C
	а	1	4 t, мс
			б

Рис. 4.127

Расчет переходной характеристики hui(t) сводится к определению тока через емкость при подключении к заданной цепи источника постоянного напряжения с величиной задающего воздействия в 1 В. Эта задача была решена выше, и переходная функция для данной цепи имеет следующий вид:

		1
	h	(t ) =	1	e−		t = 5 10−3 e−500t .
					RC
	ui		R

Получим искомую функцию реакции с помощью второй формы интеграла Дюамеля.

277

На промежутке 0 < t < t1 , где t1 = 10–3 с, интеграл Дюамеля принимает следующий вид:

		t
iC (t ) = u1 (0)hui (t) + ∫u1′(τ)hui (t − τ)d τ.
		0
Для рассматриваемой	цепи в		приведенной выше формуле
u1 (0) = 0 (см. рис. 4.127, б),	а	′	определяется как производная
		u (τ)

линейной функции на участке от 0 до 10-3 с u1′(τ) = (105 t)′ =105 Вс , h(t − τ) = 5 10−3 e−500(t −τ) , тогда после интегрирования имеем

t			t
iC (t ) = 0 + ∫105 5 10−3 e−500(t −τ) d τ =500e−500t ∫e500τe−500t d τ =
0			0
t			= e−500t (e500t −1) =1 −e−500t ;
= e−500t ∫e500τd τ = e500τ		t
		0
0

iC (t1 =10−3 ) = 0,39 A .

На промежутке t1 < t < t2 , где t1 =10−3 , t2 = 4 10−3 ,

iC (t )	t		t
	= u1 (0)hui (t) + ∫1	u1′(τ)hui (t − τ)d τ+ ∫2		u2′(τ)hui (t − τ)d τ.
	0		t1
В этой формуле u1 (0) = 0			, а поскольку на участке от t1 до t2

функция u2(t) = 100 В постоянна, тои u2′(τ) = 0 ,. Врезультатеполучаем

10−3
iC (t ) = 0 + ∫ 500e−500(t −τ) d τ+ 0 = 500 e−500t e500τ				=
			0
			10−3
0	500
= e−500t +(e500 10−3 −1) = 0,65e−500t ;

iC (t1 =10−3 ) = 0,39 A , iC (t2 = 4 10−3 ) = 0,088 A .

При t = t2 входное напряжение делает скачок вниз до нуля. После этого цепь остается подключенной к идеальному источнику напряжения. Следовательно, конденсатор будет разряжаться через замкнутую цепь (R). Рассмотрим интеграл Дюамеля на этом участке.

278

На промежутке t2 < t < ∞		в общем случае интеграл Дюамеля
будет иметь вид
t		t
iC (t ) =u1 (0)hui (t) + ∫1	u1′(τ)hui (t −τ)dτ+ ∫2		u2′(τ)hui (t −τ)dτ−u2 (t2 )hui (t −t2 ) .
0		t1

Но, поскольку u1 (0) = 0 и u2′(τ) = 0 , то

iC (t ) = 0,65e−500t −100 5 10−3 e−500(t −4 10−3 ) = 0,65e−500t −0,50e−500t e2 =

= (0,65 −3,7)0,65e−500t = −3,05e−500t ;

iC (t2 = 4 10−3 ) = −0, 41 A .

Полученное выражение для iC (t) описывает разряд конденсатора через резистор R. Постоянная времени при этом

τ= RC = 200 10 10−6 = 2 10−3 c ,

азначение тока через конденсатор при t = t2 в конце второго интервала было равно 0,088 А. Значение тока в начале третьего интервала

iC (t2 = 4 10−3 ) = −0, 41 A , т.е. ток изменяется скачком в момент времени t = t2. Для t ≥ 4 10−3 ток изменяется по закону iC (t) = −3,05e−500t .

Для построения графика изменения iC (t) найдем значения тока на всех трех интервалах:

0 < t < t				: i		(t) =1 −e−500t
		1			C
	t, мс							0			0,2				0,4			0,6			0,8			1
	iC(t), А							0			0,095				0,181			0,259			0,33			0,394
t		< t < t	2	:	i		(t) = 0,65e−500t
1					C
	t, мс										1				2					3				4
	iC(t), А								0,394						0,239			0,145						0,088
t	2	< t < ∞ : i						(t) = −3,05e−500t
					C
	t, мс							4				5				6				7				8
	iC(t), А								–0,412			–0,25				–0,152				–0,092				–0,056

279

График изменения тока iC (t), совмещенный с графиком входного напряжения, показан на рис. 4.128.

iC, А; u, В 100

0,4

u(t)

0,1

0

1

4

t, мс

iC(t)

– 0,4

Рис. 4.128

4.8. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧАСТОТНЫМ (СПЕКТРАЛЬНЫМ) МЕТОДОМ

В теории переходных процессов встречаются задачи с нулевыми начальными условиями, когда в некоторый момент времени, обычно принимаемый за начало отсчета, к источнику некоторого непериодического воздействия подключается невозбужденная цепь. Расчет переходных процессов в таком случае можно вести частотным методом, базирующимся на спектральном представлении входного и выходного сигнала. Применение метода целесообразно для тех задач, в которых токи и напряжения переходного процесса связываются с частотными характеристиками цепи, в частности, для расчета переходных процессов в фильтрах.

Метод применяется преимущественно к цепям сложной структуры, для которых передаточную функцию можно определить экспериментально. Для таких цепей это единственный способ расчета.

280