Кузнецовой Теория электрических цепей часть 2

4.2.3. Определение корней характеристического уравнения

Если получено итоговое дифференциальное уравнение (4.1), то для составления характеристического уравнения в нем все производные от искомой величины заменяются корнем p в соответствующей степени, а сама искомая функция заменяется единицей:

a pn + a	n−1	pn−1 +K+ a = 0 .	(4.7)
n		0

Однако процедура получения дифференциального уравнения (4.2) не всегда очевидна и достаточно трудоемка. Поэтому разработаны более ловкие и удобные методы составления характеристического уравнения.

Приведем некоторые из них без доказательства в виде практических рекомендаций.

Метод входного сопротивления (входной проводимости)

♦Составляем цепь, соответствующую свободному режиму (для этого удаляем все источники электрической энергии: источники ЭДС замыкаем накоротко, ветви с источниками тока размыкаем).

♦Размыкаем цепь в произвольной ветви и относительно точек разрыва записываем входное комплексное сопротивление Z ( jω) , при

этом комплекс емкостного сопротивления Z C = 1 , а индуктивного jωC

Z L = jωL .

♦ В полученном выражении повсеместно величину jω заменяем корнем p и приравниваем выражение к нулю.

♦ Уравнение Z ( p) = 0 являетсяхарактеристическимуравнением.

Следует отметить, что для цепей, содержащих большое количество параллельных ветвей, удобно пользоваться методом входной проводимости. Метод состоит в том, что записывается эквивалентная комплексная проводимость между двумя произвольными узлами послекоммута-

141

ционной цепи с отключёнными источниками. Далее, как и в предыдущемслучае, jω заменяетсянарирешаетсяуравнение Y ( p) = 0 .

Метод главного определителя

♦Составляем цепь, соответствующую свободному режиму.

♦Выбираем независимые контуры и задаем направление их контурных токов.

♦Составляем главный определитель ∆( jω) , состоящий из соб-

ственных и общих контурных комплексных сопротивлений.

♦ Повсеместно заменяем			jω на p и приравниваем определи-
тель нулю, уравнение ∆( p) = 0		–	характеристическое уравнение
	Z11 ( p)	Z12 ( p) K Z1n ( p)
∆( p) =	Z21 ( p) Z22 ( p) K Z2n ( p)					= 0 .
	L		K	L	K
	Zn1 ( p) Zn1 ( p) K Znn ( p)

Рассмотрим применение описанных способов определения корней характеристического уравнения на примере цепи второго порядка всвободном режиме (рис. 4.5).

R1			Метод входного сопротивления.
			Разорвём в цепи (см. рис. 4.5) ветвь,
	L		содержащую емкость, и относительно
			точек разрыва запишем входное сопро-
		С
I	II		тивление, заменяя jω на p,
	R2		Z ( p) = 1 +	R1	(R2 + pL) =
			pC	R	+ R + pL
				1	2

Рис. 4.5	=	p2CLR	+ p(CR R	+ L) + R	+ R	= 0.
		1	1 2	1	2
		pC (R1 + R2 + pL)

Тогда характеристическое уравнение для указанной цепи

p2CLR1 + p(CR1R2 + L) + R1 + R2 = 0.

142

Метод главного определителя. Выберем независимые контуры и укажем направление их обхода (см. рис. 4.5). Составим главный определитель, заменяя jω на p,

R1 + R2 + pL −(R2 + pL)

1

∆( p) =

−(R2

+ pL)

+ pL +

1

= (R1 + R2

+ pL) R2

+ pL +

−

R2

pC

pC

−( R2 + pL)2 = p2 LCR1 + pCR1R2 + pL + R1 + R2 = 0 . pC

Как видно, оба метода приводят к одному характеристическому уравнению.

Существует еще один способ, основанный на определении постоянной времени, применимый только для цепей I порядка.

Постоянной времени τ цепи называют промежуток времени, за который свободная составляющая искомой величины изменяется в е раз. Время переходного процесса прямо пропорционально τ и приближённо определяется как

tпп = (3 ÷5)τ.

(4.8)

Для устойчивых цепей (цепей, в которых соблюдается условие

lim iсв = 0 ) корни характеристического уравнения должны быть отри-

t →∞

цательными или иметь отрицательную действительную часть. Постоянная времени для цепей I порядка связана с корнем характеристического уравнения:

p = −	1	.	(4.9)
	τ

Причём для цепей I порядка, содержащих ёмкость, постоянная времени τ = RэС, а для цепей I порядка, содержащих индуктивность, постоянная времени τ = L/Rэ, где Rэ – эквивалентное сопротивление послекоммутационной цепи, вычисленное относительно зажимов единственного реактивного элемента (накопителя энергии) при удаленных источниках.

143

4.2.4. Определение постоянных интегрирования

Как известно, постоянные интегрирования определяются из начальных условий, каковыми являются значения искомой функции и ее производных по (n – 1)- ю включительно в начальный момент времени 0+ («справа»). В отличие от чисто математических задач, где эти условия задаются в качестве исходных данных непосредственно, при анализе переходных процессов задаются начальные условия «слева» в момент t = 0– , предшествующий коммутации (чаще всего они формулируются самой постановкой задачи и легко определяются из расчета докоммутационного режима). Нахождение начальных условий «справа» по известным значениям начальных условий «слева» – ключевой момент в расчете переходных процессов.

Опишем процедуру отыскания начальных условий в цепи n-го порядка:

1) для послекоммутационной схемы ( 0+ ≤ t < ∞ ) составляют систему уравнений для мгновенных значений токов и напряжений позаконам Кирхгофа, дополняют эту систему компонентными уравне-

ниямитипа iC	= C	duC	для емкости и uL	= L	diL	для индуктивности;
		dt
					dt

2)рассматривают эту систему уравнений в момент t = 0+ с учетом независимых начальных условий, которые по правилам коммутации берутся равными начальным условиям «слева», в результате определяются зависимые начальные условия, в том числе значения первых производных от индуктивных токов и емкостных напряжений;

3)для отыскания значений первых производных от зависимых электрических величин и вторых производных от независимых электрических величин необходимо систему уравнений из п. 1 продифференцировать и рассмотреть ее в момент t = 0+ с учетом информации, полученной в п. 2;

4)процедура дифференцирования продолжается до тех пор, пока не будет найдена (n – 1)- я производная искомой функции в 0+.

Система уравнений для определения постоянных интегрирования имеет следующий вид:

144

			n
x(0+ ) = xпр (0+ ) + ∑ Ak ,
			k =1
x′(0+ ) = x′ (0+ ) +			n
			p A ,
		пр	∑ k	k	(5.10)
			k =1
	K
				n
x(n−1)		(0+ ) = xпр(n−1) (0+ ) + ∑ pkn−1 Ak ,
				k =1

Здесь для определенности полагаем все корни pk вещественными разными числами. Кроме того, следует учитывать, что при наличии в цепи только источников постоянных воздействий значения производных от принужденной составляющей переходного процесса равны нулю.

4.2.5. Применение резистивных схем замещения

Описанная выше процедура определения начальных значений искомых величин и их производных в момент времени t = 0+ достаточно громоздка и трудоемка. Однако расчет можно упростить, применив схемное эквивалентирование рассмотренного выше алгоритма, придающее процедуре отыскания начальных значений наглядность и сводящееся к расчету резистивных цепей с источниками постоянных воздействий.

Для определения начальных значений токов и напряжений изображается расчетная резистивная цепь, характеризующая распределение токов и напряжений в момент начала переходного процесса t = 0+.

В этой цепи ветви с индуктивностями, имеющими нулевые начальные условия ( iL (0− ) = 0 ), размыкаются, в случае ненулевых

начальных условий ( iL (0− ) ≠ 0 ) заменяются содействующими источниками тока с задающими токами, равными iL (0− ) .

Емкости с нулевыми начальными условиями (uC(0– ) = 0) заменяются короткозамкнутыми участками, с ненулевыми начальными

условиями ( uC (0− ) ≠ 0 ) заменяются противодействующими источниками напряжения с задающими ЭДС, равными uC(0– ).

145

Параметры всех источников и номиналы резисторов остаются неизменными.

С помощью полученной вспомогательной цепи, применив любой известный расчетный метод, определяют значения искомых ве-

личин в момент времени t = 0+, а также iC (0+ ) и uL (0+ ) , которые необходимы для определения первых производных от независимых

начальных условий	iL′	(0+ ) =	u	L	(0+ )	и	uC′ (0+ ) =	i	(0+ )	, используемые
								C
					L
									C

в резистивной схеме для производных.

Далее строится вспомогательная цепь для определения значений производных от искомых величин в момент времени t = 0+. Токи и напряжения в такой цепи составляют производные от искомых величин в момент t = 0+. В такой цепи источники заменяются на аналогичные источники с ЭДС или задающим током, равными соответственно производной от данных в задании, номиналы резисторов остаются неизменными.

Емкости и индуктивности заменяются в соответствии со следующим правилом. Емкости с нулевыми начальными условиями

( uC′ (0+ ) = 0 ) заменяются короткозамкнутыми участками, с ненулевыми начальными условиями ( uC′ (0+ ) ≠ 0 ) заменяются противодействующими источниками ЭДС с EC′ = uC′ (0+ ) . Ветви с индуктивностями,

имеющими нулевые	начальные	условия	( iL′(0+ ) = 0 ),	размыкаются,
в случае ненулевых	начальных	условий	( iL′(0+ ) ≠ 0 )	индуктивности

заменяются на содействующие источники тока с J L′ = iL′(0+ ) .

Далее процедура расчета продолжается аналогично описанной выше до получения начальных значений высших производных. Исходной информацией для построения каждой i-й последующей вспомогательной цепи служат значения i-й производной напряжений на емкостях и токов в индуктивностях, определяемых через значения (i – 1)- й производной соответствующих токов в емкостях и напряжений на индуктивностях, в соответствии с соотношениями:

uC (i ) = iC (i −1) , iL(i) = uL(i −1) .

C L

146

Следует отметить, что для неизменных во времени воздействий во всех вспомогательных подсхемах, начиная со схемы, соответствующей первым производным сигналов, источники напряжения заменяются короткозамкнутыми участками ( E′ = 0) , а ветви с источ-

никами тока размыкаются ( J ′ = 0) .

Это замечание справедливо и для источников, которые замещают реактивные элементы при нулевых начальных условиях ( iL (0) = 0

и uC (0) = 0 ).

Таким образом схемно осуществляется операция дифференцирования, адекватная дифференцированию системы уравнений Кирхгофа. Описанный способ определения начальных значений выходных сигналов и их производных легко формализуется и может быть автоматизирован, что делает его более привлекательным в сравнении с традиционным.

4.2.6. Переходные процессы в цепях I порядка

Рассмотрим примеры расчета переходных процессов в неразветвленных электрических цепях, с достаточной степенью наглядности иллюстрирующие физические явления, происходящие в них в переходных режимах.

4.2.6.1.Разряд заряженной ёмкости через сопротивление R

1.Запишем правило коммутации для цепи на рис. 4.6:

uC (0+ ) = uC (0− ) =U0 .

	2. Составим дифференциальное уравне-		C	+ U 0
	ние цепи:		i	uC
	iR +uC = 0 ;
	CuC′ R +uC	= 0 .	R
	Характеристическое уравнение первого
			Рис. 4.6
	порядка:

147

pCR +1 = 0 ,

корень которого p = − 1 .

RC

3. Полное решение дифференциального уравнения:

uC (t) = uCпр +uCсв .

Поскольку уравнение имеет первый порядок, свободная составляющая содержит одну экспоненту

− 1 t

uC (t) = uCпр + Ae pt = uCпр + Ae RC .

4.Определим принужденную составляющую uCпр = 0 .

5.Для определения постоянной интегрирования A запишем полное решение для момента t = 0+

uC (0+ ) = uCпр + A.

Применив правило коммутации, получим

uCпр + A = uC (0− ) =U0 , A =U0 ,

окончательное решение

−

1

t

u (t) =U

0

e

RC .

C

Ток в цепи определяется с помощью дифференциального зако-

на Ома:

iC = CuC′

−

1

t ′

1

−

1

t

U0

−

1

t

= C U0e RC = −C

U0e RC

= −

e RC ,

RC

R

i (0+) = −

U0

, i (0−) = 0 .

C

R

C

Итак, имеем две экспоненты, описывающие изменения uC и iC .

Графики изменения uC (t)

и iC (t) представлены на рис. 4.7. Напряже-

148

ние на конденсаторе непрерывно в момент коммутации и уменьшается по экспоненциальному закону от начального значения U0. Знак «минус» в выражении для тока означает, что ток при разряде конденсатора направлен противоположно току при его заряде. В начальный момент значение тока максимально, его спад связан с уменьшением напряжения на элементах цепи. Ток на ёмкости меняется скачком.

U0

uC

t

iC

− U 0

R

Рис. 4.7

Определим величину, характеризующую скорость изменения электрической величины в переходном режиме, называемую посто-

янной времени (τ).

Величина τ показывает, за какой промежуток времени свободная составляющая переходного процесса уменьшается в e раз:

−

1

t

τ

u

(t)

U

e

RC

=

= e RC = e .

C

0

uC (t + τ)

−

1

(t +τ)

U

e RC

0

Чем больше τ ,

тем

медленнее

переходный процесс, тем

больше tпп . Хотя полученные выше выражения определяют беско-

нечную длительность переходного процесса – свободные составляющие лишь асимптотически стремятся к нулю – практически можно считать, что переходный процесс заканчивается за время, равное (3 ÷5)τ.

149

Постоянную времени можно графически определить по длине подкасательной, проведённой в любой точке свободной составляющей переходного процесса (рис. 4.8).

uC

t

τ

Рис. 4.8

Постоянная времени измеряется в секундах и для цепей первого порядка связана с корнем характеристического уравнения

τ =			1			.	(4.11)
			p
Для цепи (см. рис. 4.6) τ = RC , следовательно, p = −							1	.

RC

Рассмотрим энергетические соотношения, описывающие работу цепи после коммутации.

Энергия электрического поля конденсатора до коммутации опре-

деляется как (W )		=	CU02	, врезультате полногоразряда lim (W ) = 0 .
	0
э		2		t →∞	э

Покажем, что вся энергия, запасенная в конденсаторе, выделяется в виде тепловой энергии на резисторе R:

∞

Wтепл = ∫ pdt =

0

∞

− 2 t

= U02 e RC

R − 2 RC 0

∞		∞	∞				U	0	2
∫uRiC dt =∫ RiC2 dt =∫ R						−			e
0		0	0				R
= −	CU02	e−∞	−e0	=	CU02			.
2						2

		2		U	2	∞	2
	−		t dt =		0	∫ e−		t dt =
		RC					RC
				R
						0

150