Кузнецовой Теория электрических цепей часть 2

и коэффициент передачи по току

kI =	I&2	=			I&2			=				I&2					=		1		. (2.48)
	&		&			&			&		Z				&			A Z
	I		A U	2	+ A I		2		A I	2		2	+ A I			2			2	+ A
	1		21		22				21					22				21		22

Если четырехполюсник нагружен на характеристическое сопротивление, то в соответствии с (2.39), (2.40)

k		=			U&2		=		Z 2C		e−Γ;
			U&2
U					Z1C Z 2C eΓ				Z1C
					I&2		(2.49)
k		=				=		Z1C		e−Γ.
	I		I&2		Z 2C Z1C eΓ
								Z 2C

Если U2, Z 2 , U1, I1 являются функциями частоты, то

	kU ( jω) =			Z	2	( jω)		;
			A11	( jω) Z 2	( jω) + A12		( jω)
								(2.50)
	kI ( jω) =					1
								.
		A21		( jω) Z 2	(	jω) + A22 ( jω)

Модули этих величин представляют собой амплитудно-частот- ные характеристики (АЧХ), а их аргументы – фазочастотные характеристики (ФЧХ).

Используются и такие передаточные функции, как передаточ-

ное сопротивление

kIU =	U&	=		U&				=		U&				=		Z		2
	2				2					2									(2.51)
	&		&		+	&					&				A Z			+ A
	I		A U			A I			A U&	+ A	U		2				2
	1		21 2			22	2								21			22
								21 2		22		Z 2

и передаточная проводимость

k	=	I&2		=			I&2			=				I&2					=		1		. (2.52)
					&			&			&						&
UI	&												Z							A Z		+ A
	U		A U			2	+ A I		2		A I	2		2	+ A I			2			2
			1		11		12				11					12			11			12

71

2.13. СОЕДИНЕНИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Рассмотрим три вида соединения четырехполюсников – каскадное (цепная схема соединения, рис. 2.8), параллельное (рис. 2.10)

ипоследовательное (рис. 2.11).

2.13.1.Каскадное соединение

Пусть в цепной схеме соединения заданы А-пара- метры четырехполюсника

(АI) и (АII). Выразим напряжение и ток на входе

четырехполюсника заданными напряжениями и токами на выходе последнего четырехполюсника (в данном случае второго). Для первого и второго четырехполюсников справедливы следующие соотношения:

U&			= [ AI ]
&1
I1
U&			= [ AII ]
&	2
I2

U&&2 ,I2

U&3& .I3

(2.53)

(2.54)

Подставив значение матрицы	U&			из (2.54) в (2.53), получим
	&	2
	I2

U&		= [ AI ] [ AII ]
&1
I1

Если схема состоит из равенство

U&		n
&1	= ∏[ Ak ]
I1		k =1

U&		n=2	U&
&3		= ∏[ Ak ]	&n+1	.
I3		k =1	In+1

n четырехполюсников,

U&n+1		= [ A	]	U&n+1		,
&		э		&
In+1				In+1

справедливо

(2.55)

72

где Aэ – эквивалентная матрица, равная произведению n матриц,

n

Aэ = ∏[ Ak ].

k =1

Таким образом, матрица А-параметров каскадно соединенных четырехполюсников равна произведению матриц А-параметров отдельных четырехполюсников.

	Пусть имеется два четырехполюсника с постоянными переда-
чи Γ1	и Γ2 и с характеристическими сопротивлениями Z ′1C , Z′2C ,
Z ″1C ,	Z ″2C . Причем, Z′2C = Z ″1C . Если включить их по цепной схеме

(рис. 2.9) и подключить на выходе второго четырехполюсника Z ″2C ,

то будет иметь место согласованное включение двух четырехполюсников. В соответствии с (2.39)

		′			″
U&1 =U&2	Z 1C		eΓ1 ; U&2 =U&3	Z 1C		eΓ2 .
	′			″
	Z	2C		Z	2C

I&1		I&2	2		I&3	3
1
Z 1вх = Z ′1C U&1	AI	U&2	Z ′2С = Z ″1C	AII	Z ″2C		U&3
1′			2′			3′
			Рис. 2.9

После подстановки получим

′

″

′

′

∑Γk

2

&

=

Z

1C Z

1C

&

Γ1 +Γ2

=

Z

1C

&

Γ1 +Γ2

=

Z

1C

&

k =1

.

U1

U

3e

U3e

U3e

′

″

″

″

Z

2C Z

2C

Z

2C

Z

2C

Если цепная схема будет состоять из n согласованных четырехполюсников, то

73

				′	n
U&	= U&		Z		∑Γk
		n+1		1C	ek =1	,	(2.56)
				(n)
1			Z
				2C

где U&n+1 – напряжение на выходе последнего четырехполюсника.

В схеме, состоящей из n согласованных симметричных четырехполюсников,

						n
				U&	= U&	∑Γk
						ek =1 .
				1		n+1
				2.13.2. Параллельное соединение
		При параллельном соединении четырехполюсников (см. рис. 2.10)
напряжения на входе и выходе четырехполюсников равны:U&1′ = U&1′′ ,
&	′	&	′′	, т.е. являются общими для всех четырехполюсников. Поэто-
U	2	= U	2

му в качестве системы, описывающей это соединение, следует выбирать систему уравнений в Y-параметрах. Для схемы (см. рис. 2.10) справедливо равенство

I&′

U&

′

I&′′

U&

′′

1

=

[Y ]

1

,

1

=

[Y ]

1

.

I&′

U&

′

I&′′

U&

′′

2

2

2

2

Просуммировав эти выражения с учетом того, что

I&1 = I&1′ + I&1′′ ,

&

&′

&′′

&

&′

&′′

&

&

′

&

′′

, получим

I2

= I2

+ I2 , U1

= U1 = U1 ,

U2 = U

2 = U

2

I&

I&′

+

I&′′

= ([YI ] + [YII ])

U&

n=2

U&

1

=

1

+

1

1

= ∑[Yk ]

1

.

I&

I&′

I&′′

U&

k =1

U&

2

2

2

2

2

Если параллельно включено n четырехполюсников, то

I&1

n

U&1

U&1

&

=

∑[Yk ]

&

= [YЭ ] &

.

(2.57)

I2

k =1

U2

U2

Следовательно, при параллельном соединении четырехполюсников матрица Y-параметров есть сумма матриц Y-параметров отдельных четырехполюсников.

74

2.13.3. Последовательное соединение

При последовательном включении четырехполюсников

(см. рис. 2.11) токи	&	&′	&′′	,	&	&′	&′′	,	т.е. являются общими
	I1	= I1	= I1		I2	= I2	= I2

для всех четырехполюсников. Для математического описания соединения удобно воспользоваться уравнениями четырехполюсника в Z-параметрах:

U&	′		I&′			U&	′′		I&′
	1		= [ZI ]	1	,		1		= [ZI I ]	1	.
U&	′′			I&′		U&	′′			I&′′
	2			2			2			2

Просуммируем эти выражения с учетом того, что U&1 = U&1′ + U&1′′ ,

U&	= U&′ + U&′′ :
2	2	2
	U&	′	+ U&	′′		U&			= ([ZI ] + [ZI I ])	I&			n=2	I&
		1	+ U&	1		=	1				1		= ∑[Zk ]		1	.
	U&	′		′′		U&	2				I&		k =1		I&
	2			2							2				2

Если в схеме n четырехполюсников включены по последовательной схеме, то

U&1		n=2	I&1		I&1
&		= ∑[Zk ] &			= [ZЭ ] &	.	(2.58)
U2		k =1	I2		I2

Таким образом, при последовательном соединении четырехполюсников матрица Z-параметров эквивалентного четырехполюсника равна сумме матриц Z-параметров отдельных четырехполюсников.

75

Выражения (2.53) – (2.58) дают возможность перейти от сложных схем соединения четырехполюсников к схемам, состоящим из одного четырехполюсника с соответствующими параметрами эквивалентных матриц.

2.14. ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ

Типовые задачи

Задача 1.

Дано: параметры симметричной мостовой схемы (рис. 2.12, а):

Z1 = 20 Ом, Z 2 = 60 Ом.

Z1

1 2

Z2 Z2

1'	2'
	Z1

	Z1
1	2
Z2	Z2
2'	1'
	Z1

аРис. 2.12 б

Найти: зависимость входного сопротивления схемы от сопротивления нагрузки.

Решение.

Поскольку Z вх =	U&		=	A U&		2	+ A I&				то с учетом того, что
	I&			A U&			+ A	I& ,
	1			11			12	2
	1			21		2	22	2
U&2 = I&2 Z Н , получаем
	Z		вх	= A11 Z Н + A12							,
					A21 Z Н + A22

и решение сводится к отысканию А-параметров.

76

Всоответствии с п. 2.4 определим А-параметры при помощи режимов холостого хода и короткого замыкания, для чего преобразуем схему (рис. 2.12, б) и найдем входные сопротивления соответственно холостого хода и короткого замыкания со стороны первичных

ивторичных выводов. Поскольку четырехполюсник симметричный, сопротивление холостого хода со стороны первичных выводов совпадает с сопротивлением холостого хода со стороны вторичных выводов. Аналогичное утверждение верно и для сопротивлений короткого замыкания.

Врезультате получаем

Z1x = Z 2 x

=

Z1 + Z 2

= 40 Ом; Z1к = Z

2к

=

Z1 Z 2

+

Z1 Z 2

= 30 Ом.

Z1 + Z 2

2

Z1 + Z 2

Тогда в соответствии с формулами (2.16) – (2.17)

A11

= A22 =

Z1х

=

40

= 2 ;

Z 2 х

− Z 2к

40

−30

A

= A Z

2к

= 2 30 = 60 Ом;

A

=

A11

=

2

= 0,05 Ом-1.

12

11

21

Z1х

40

Окончательно получаем

Z вх

=

2Z

Н

+

60

.

0,05Z Н + 2

Задача 2.

Дано: параметры согласующего трансформатора (рис. 2.13): коэффициент связи k = 0,5; R2 = 4R1 = 40 Ом; X2 = 4X1 = 40 Ом; сопротивление нагрузки RН = 10 Ом.

Найти: А-параметры и входное сопротивление трансформатора со стороны первичных выводов, построить Т-образную схему замещения.

77

1	&	R		&		R2	2
	I1	1	XM	I	2
		*		*
U&1		X1		X 2			RН	U&2
1'			Рис. 2.13				2'

Решение.

Составим уравнения трансформатора по II закону Кирхгофа:

U&1 = Z1I&1 − Z M I&2 ,

0 = Z 2 I&2 − Z M I&1 +U&2 .

Выразим из уравнений трансформатора первичные напряжение и ток через вторичные напряжение и ток, для чего из второго уравнения выразим первичный ток:

I&	=	1	U&		+	Z 2	I&	,
				2
1		Z M				Z M	2

и подставим его в первое уравнение:

U&1	=	Z1	U&2	+ (	Z1 Z 2	− Z M )I&2 .
		Z M			Z M

Сравнение полученных уравнений с уравнениями четырехполюсника в А-параметрах для прямого питания (2.9) позволяет получить искомые А-параметры:

A =

Z1

; A

=

Z1 Z 2

− Z

;

A =

1

; A =

Z 2

.

M

11

Z M

12

Z M

21

Z M

22

Z M

В полученных выражениях

Z1 = R1 + jX1 =10 + j10 Ом; Z 2 = R2 + jX 2 = 40 + j40 Ом;

Z M = jX M ; X M = k X1 X 2 =10 Ом.

78

Подставляя численные значения, получим:

A11 =1 − j ; A12			=80 − j10 Ом; A21 = − j0,1Ом-1; A22 = 4 − j4 .
Входное сопротивление трансформатора
Z вх =	A11 Z Н + A12	=	(1 − j)10 +80 − j10	=11, 22 + j9,024 =14, 4e j 38,5o Ом.
	A21 Z Н + A22		− j0,1 10 + 4 − j4

Для определения параметров эквивалентной Т-образной схемы воспользуемся формулами (2.21):

Z 0	=	1	=	1	= j10 Ом; Z1	=	A11 −1	=10 Ом; Z 2	=	A22 −1	= 40 + j30 Ом.
		Y 0 A21					A21			A21

Эквивалентная Т-образная схема представлена на рис. 2.14.

10	40	30	R1	X -X	M	R2	X -X	M
				1			2

10	XM
Рис. 2.14	Рис. 2.15

Т-образную схему замещения можно было получить, произведя развязку индуктивной связи (рис.2.15).

Задача 3.

Дано: напряжение на входе четырехполюсника (рис. 2.16) U&1 =100 В, частота ω=1000 с-1; параметры четырехполюсника:

L = 0,01 Гн, C = 500 мкФ.

Найти: характеристические параметры, напряжение и ток на согласованной нагрузке.

79

1	L	L	2
		C	Z Н = Z С
1'		Рис. 2.16	2'

Решение.

Определим параметры эквивалентной симметричной Т-образной схемы замещения по формулам (2.19), помня о том, что у эквивалентного четырехполюсника парамет-

ры A11 = A22 :

A11 =1 + Z1Y 0 ; A12 = Z1 + Z 2 + Z1 Z 2 Y 0 ;

A21 =Y 0 ; A22 =1 + Z 2 Y 0 ,

здесь Z1 = Z 2 = jωL = j103 0,01 = j10 Ом; Y 0 = jωC = j0,5 Ом-1.

После подстановки численных значений получим А-параметры:

	−4	− j30
A =		.
j0,5		−4

Проверка правильности расчетов:

det A = A11 A22 − A12 A21 = (−4)2 −(− j30) j0,05 =1 .

Определим характеристические параметры четырехполюсника:

характеристическое сопротивление Z C =	A12	=	− j30 = j7,75 Ом;
	A21		j0,5
мера передачи Γ = ln( A11 + A12 A21 ) = ln(7,87e j180o			) = 2, 06 + j3,14 .
Коэффициент затухания (ослабления) Α = 2,06 Нп, коэффици-

ент фазы Β = 3,14 рад.

При согласованном режиме входное сопротивление симметричного четырехполюсника равно характеристическому. Следова-

тельно,
I&1	=	U&1	=	100	= − j12,9 А.
		Z вх		j7,75

80