Кузнецовой Теория электрических цепей часть 2

Выразим U&1 и I&1 Т-образной схемы через U&2 , I&2 , используя уравнения, составленные по законам Кирхгофа:

U&1 = Z1I&1 + Z 2 I&2 +U&

2 ; I&1 = I&2 +(Z 2 I&2 +U&

2 )Y 0 .

(2.18)

Подставляя I&1

в выражение для определения U&1

и группируя

однородные члены, получим

&

&

&

&

&

&

+ Z 2 + Z1 Z

&

U1

= Z1 I2

+(Z 2 I2 +U2 )Y

0 +U2

=(1+ Z1Y 0 )U2 +(Z1

2 Y 0 ) I2 ,

I&

=Y U&

+(1 + Z

2

Y

0

) I& .

1

0

2

2

Однако для данной схемы справедлива и общая запись уравнений четырехполюсника в А-параметрах:

U&1 = (1 + Z1Y 0 )U&2 +(Z1 + Z 2 + Z1 Z 2 Y 0 ) I&2 = A11U&2 + A12 I&2 ,

I&1 =Y 0U&2 +(1 + Z 2 Y 0 ) I&2 = A21U&2 + A22 I&2 .

Приравняв коэффициенты при U&2 и I&2 , получим А-параметры как функции параметров Т-образной схемы замещения:

A11 =1 + Z1Y 0 ; A12 = Z1 + Z 2	+ Z1 Z 2 Y 0	;
A21 =Y 0 ; A22 =1 + Z 2 Y 0 .		(2.19)

Проведя аналогичные действия, можно получить подобные соотношения для П-образной схемы четырехполюсника:

A11 =1 +Y 2 Z 0 ; A12 = Z 0 ; (2.20)

A21 =Y 1 +Y 2 +Y 1Y 2 Z 0 ; A22 =1 +Y 1 Z 0 .

Два четырехполюсника эквивалентны, если у них равны А-пара- метры. Это следует из уравнений (2.9). Следовательно, если известны А-параметры какого-то четырехполюсника, то его можно заменить эквивалентной ему Т- или П-образной схемой замещения, определив параметры этих схем замещения по выражениям (2.19) и (2.20). При этом для Т-образной схемы замещения

61

Y	0	= A ; Z	1	=	A11 −1		; Z	2	=	A22 −1	.	(2.21)
		21			A21					A21

Параметры элементов П-образной схемы замещения:

Z	0	= A ; Y	1	=	A22 −1		; Y	2	=	A11 −1	.	(2.22)
		12			A12					A12

2.7. СИММЕТРИЧНЫЙ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК

Встречаются такие электрические схемы, у которых наблюдается симметрия параметров относительно входных и выходных выводов. В эквивалентных схемах замещения это приводит к следующему: для Т-схемы Z1 = Z 2 = Z ; для П-схемы Y 1 =Y 2 =Y . Тогда для Т-схемы

A11 =1 + ZY 0 ; A22 =1 + ZY 0 ,

для П-схемы

A11 =1 +Y Z 0 ; A22 =1 +Y Z 0 .

Следовательно, для симметричного четырехполюсника A11 = A22 .

Таким образом, симметричный четырехполюсник характеризуется двумя независимыми параметрами.

2.8. РОДСТВЕННЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

Расчет А-параметров с помощью формул (2.16), (2.17) дает два решения, так как при извлечении квадратного корня А11 может принять как положительное, так и отрицательное значение. В результате, помимо матрицы [А], получаемой также с помощью решения по (2.19), появляется дополнительное решение в виде новой матрицы, каждый элемент которой имеет противоположный знак.

Наличие двух решений традиционно объясняют тем, что коэффициенты Aij зависят не только от структуры и состава четырехпо-

62

люсника, но и от положительных направлений напряжений и токов на входе и выходе. Последнее обстоятельство не может быть учтено ни расчетом, ни экспериментальным определением сопротивлений в режимах холостого хода и короткого замыкания. Представляется, что возникновение двух решений может также иметь иное объяснение. Изменение полярности выходного тока и напряжения, схемно реализуемое в виде перекрещивания выходных зажимов, образует новый четырехполюсник, характеризующийся своей схемой замещения и матрицей [А]. Таким образом, возникает понятие родственных четырехполюсников, одновременно удовлетворяющих одним и тем же значениям входных сопротивлений Z1х, Z2х, Z1k, Z2k. И в этом отношении такие четырехполюсники равноправны. У всех коэффициентов матрицы [А](2) родственного четырехполюсника знаки меняются на противоположные по отношению к коэффициентам матрицы [А](1).

Схемы замещения родственных четырехполюсников различны, а их соответствие друг другу с точки зрения передающих свойств можно проиллюстрировать с помощью рис. 2.6.

Следует отметить, что схемная реализация родственных четырехполюсников в ряде случаев невозможна, так как в результате расчета параметров схем замещения могут быть получены отрицательные значения активных сопротивлений.

63

2.9. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА

Для несимметричных четырехполюсников можно подобрать такую пару сопротивлений Z1C и Z 2C , для которых соблюдаются следующие условия:

1. Входное сопротивление со стороны выводов 1–1′ Z1вх = Z1C , если к выводам 2–2′подключено сопротивление Z 2 = Z 2C (рис. 2.7, а).

2. Входное сопротивление со стороны выводов 2–2′ Z 2вх = Z 2C , если к выводам 1–1′подключено сопротивление Z1 = Z1C (рис. 2.7, б).

Z1C и Z 2C называют характеристическими сопротивлениями

(характеристическими параметрами) четырехполюсника. Выразим

Z1C и Z 2C через А-параметры.				Для этого воспользуемся уравне-
ниями (2.9) и (2.11):
U&			=	A U&	+ A I&		=	A Z		+	A
Z1вх = Z1C =	1			11 2	12 2			11	2C		12 . (2.23)
I&1 Z 2 =Z 2 C			A21U&2 + A22 I&2					A21 Z 2C + A22
При выводе этого соотношения числитель и знаменатель дроби
разделили на I&2 и учли, что при Z 2 = Z 2C						Z 2C = U&2			I&2 .
	1	I&1			I&2	2
Z 1вх = Z 1C		U&1			U&2			Z 2 = Z 2C
	1′			а		2′
		I&1			I&2
	1					2
Z 2 = Z 2C	U&1				U&2		Z 1вх = Z 1C
	1′					2′

б

Рис. 2.7

64

Из уравнений (2.11) следует, что

U&

A U&

+ A I&

A Z

1C

+ A

Z 2вх = Z 2C

=

2

=

22

1

12 1

=

22

12

.

(2.24)

&

&

&

A21 Z1C + A11

I2

Z1 =Z1C

A21U1

+ A11I1

При выводе соотношения (2.24) числитель и знаменатель дро-

би разделили на I&1

и учли, что при принятых условиях Z1C =U&1

I&1 .

Решая совместно уравнения (2.23) и (2.24) относительно Z1C и Z 2C (два уравнения с двумя неизвестными), получаем:

Z1C =		A11 A12	;		(2.25)
	A21 A22
Z 2C =		A22 A12		.	(2.26)
		A21 A11
С учетом (2.12) – (2.15) получим
Z1C = Z1х Z1к ;	Z 2C = Z 2 х Z 2к .				(2.27)

Третьим характеристическим параметром четырехполюсника является постоянная передачи (или мера передачи), которая характе-

ризует четырехполюсник как элемент, через который передается мощность, и в общем случае представляет собой комплексное число

Γ = Α + jΒ ,		(2.28)
где Α – постоянная ослабления;	Β – постоянная фазы.
Постоянная передачи должна удовлетворять условиям
chΓ =	A11 A22 ,	(2.29)
shΓ =	A12 A21 .	(2.30)

Эти выражения не противоречат соотношению (2.10), так как

ch2Γ − sh2Γ =1 .

65

Z1C , Z 2C , Γ называют вторичными параметрами четырехпо-

люсника. Эти величины независимы друг от друга и являются функциями параметров четырехполюсника.

2.10.УРАВНЕНИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА

ВГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ

Выразим с помощью характеристических параметров соотношения между выражениями и токами на входе и выходе четырехполюсника. С этой целью разделим и умножим (2.25) на (2.26):

	Z1C	=	A11		;
	Z 2C		A22
Z1C Z 2C =				A12		.
				A21

Умножим и разделим (2.29) на (2.31):

chΓ		Z1C	= A	;
		Z 2C	11
chΓ		Z 2C	= A .
		Z1C	22

Умножим и разделим (2.30) на (2.32):

shΓ Z1C Z 2C = A12 ;

shΓ		= A .
Z1C Z	21
	2C

(2.31)

(2.32)

(2.33)

(2.34)

(2.35)

(2.36)

Таким образом, с помощью уравнений (2.33) – (2.36) можно выразить А-параметры через характеристические параметры четырехполюсника. Для этого (2.33) – (2.36) подставим в (2.9), тогда

66

U&1 =

Z1C

chΓU&

+ shΓ

Z1C Z 2C I&2

=

Z1C

(chΓU&2 + shΓZ 2C I&2 ) , (2.37)

2

Z 2C

Z 2C

shΓ

Z

2C

Z

2C

shΓ

I&1 =

U&

+ chΓ

I&2 =

U&

2 + chΓI&2 .

(2.38)

2

Z1C Z 2C

Z1C

Z1C Z 2C

Получили уравнения четырехполюсника,

в которых U&1 ,

I&1 , U&2 ,

I&2 связаны друг с другом с помощью трех независимых характеристи-

ческих параметров. Поскольку в эти соотношения входят гиперболические функции, то они называются уравнениями четырехполюсника

вгиперболических функциях.

2.11.РЕЖИМ СОГЛАСОВАННОЙ НАГРУЗКИ

ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА

Подключим к выходным выводам четырехполюсника Z 2 = Z 2C , тогда Z1вх = Z1C . Это соответствует согласованному режиму – режиму передачи максимальной мощности. В этом случае U&2 = I&2 Z 2C . Вынесем в (2.37) U&2 , а в (2.38) I&2 за скобки и получим

U&1 =U&

Z1C

I&2

2

chΓ +

Z 2C shΓ

=

&

Z 2C

U2

(2.39)

Z1C

(chΓ + shΓ) =U&2

Z1C

=U&2

eΓ;

Z 2C

Z 2C

Z 2C

&

I&1 = I&2

shΓ

U2

+ chΓ =

I&2

Z1C Z 2C

.

(2.40)

Z 2C

(shΓ + chΓ) = I&2

Z 2C

= I&2

eΓ

Z1C

Z1C

67

Уравнения (2.39), (2.40) называют уравнениями четырехполюсника для согласованного режима. Найдем произведение входного тока и напряжения,

&

&

&

&

e

2Γ

,

U

I

=U

2

I

2

1

1

откуда

Γ =

1

U&

1

I&

ln

1

.

(2.41)

2

&

&

U2 I2

В случае U&1 =U1e jψu1 ,

U&2

=U2e jψu2 ,

I&1 = I1e jψi1 , I&2

= I2e jψi2

Γ =

1

U e jψu1 I e jψi1

=

1

1

ln

2

U2e jψu 2 I2e jψi 2

=

1

ln

U1I1

+ j

1

ln (ψu

+ ψi

−ψu

−ψi ) =

(2.42)

2

U2 I2

2

1

1

2

2

=

1

ln

U1I1

+ j

1

ln (∆ψu + ∆ψi ).

2

U I

2

142432

14424443

Α

Β

Приведенные соотношения позволяют пояснить физический

смысл Α и Β: Α –

постоянная ослабления (коэффициент затуха-

ния), учитывает изменение полной мощности сигнала при прохожде-

нии через четырехполюсник; Β – постоянная фазы (коэффициент фазы), показывает изменение фазы напряжения и тока при прохождении сигнала от первичных выводов к вторичным. Значения Α и Β можно определить из уравнений

eΓ = chΓ + shΓ = A11 A22 + A12 A21 ; Γ = ln ( A11 A22 + A12 A21 ) . (2.43)

В симметричных четырехполюсниках A11 = A22 , тогда на осно-

вании (2.25)

Z1C = Z 2C	=	A12	= Z C .
		A21

68

Связь между напряжениями и токами на входе и выходе четырехполюсника можно выразить с помощью двух характеристических сопротивлений и меры передачи. На основании (2.37) и (2.38) для симметричных четырехполюсников

U&1 = chΓU&2 + Z C shΓI&2 ;
&		shΓ &			&	(2.44)
I	=		U	2	+ chΓI	.
1		Z C			2

Если симметричный четырехполюсник нагрузить на

Z 2 = Z C ,

то согласно (2.39), (2.40)

&

&

e

Γ

&

&

e

Γ

.

(2.45)

U

1

=U

2

, I = I

1

2

Для симметричного четырехполюсника характеристическое со-

противление Z C

называют повторным. Это объясняется тем, что при

Z 2 = Z C входное сопротивление со стороны входных выводов тоже

будет равно Z C , следовательно, (2.45) можно представить в виде

U e

jψu

e

jψu

2 e

Α+ jΒ

; I e

jψi

= I

e

jψi

Α+ jΒ

,

1 =U

2

1

2 e

1

1

2

отсюда

U1

= eΑ;

I1

= eΑ;

ψu

−ψu

= ψi

−ψi

= Β.

(2.46)

U2

I2

1

2

1

2

В этих соотношениях еще более четко просматривается физический смысл постоянной ослабления и фазы.

Постоянная ослабления Α = ln U1 = ln I1 измеряется в неперах.

U2 I2

1 непер соответствует уменьшению модуля напряжения или тока

вe раз при прохождении тока от входных выводов к выходным

всимметричном четырехполюснике, нагруженном на Z C . Постоян-

ная фазы Β измеряется в радианах или градусах. Применяются и другие единицы измерения ослабления – белы и децибелы. Постоянная в белах определяется по формуле

69

Α = lg S1 = lg U1I1 ,

S2 U2 I2

где S1, S2 – полные мощности соответственно на входе и выходе четырехполюсника.

Для симметричного согласованного четырехполюсника

S

=

U

U

1

Z

C

=

I Z

I

=

U 2

=

I 2

1

1

1

C 1

1

1

.

S

U

U

Z

I

Z

I

U 2

2

2

C

2

I 2

2

2

C

2

2

Вэтом случае постоянная ослабления (в белах)

Α= 2lg U1 = 2lg I1 ,

		U2		I2
в децибелах
Α =10lg	S1	=10lg	U1	=10lg	I1	.
	S2	U2			I2

2.12. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА

Токи и напряжения могут быть выражены через токи и напряжения со стороны входа и выхода с помощью передаточных коэффи-

		&				&
	циентов kU	=	U2		и kI	=	I2	. Передаточная функция – это отношение
			&
							&
			U	1			I
						1

комплексных амплитуд или комплексных действующих значений электрической величины на выходе и входе четырехполюсника при заданном режиме нагрузки. Выразив эти коэффициенты через А-па-

раметры, получим коэффициент передачи (или передаточную функцию) по напряжению

k

=

U&

2

=

U&2

=

U&2

=

Z 2

(2.47)

&

&

&

U

&

+

A Z

+ A

U

A U

A I

2 A U&

+ A

U

2

2

1

11 2

12

11

12

11 2

12

Z 2

70