Кузнецовой Теория электрических цепей часть 2

(см. рис. 4.97) определению подлежат напряжения на источниках тока uL1 , uL2 и ток в емкости iC ,

т.к. именно они определяют производные от переменных состояния. Рассмотрим четыре подсхемы (рис. 4.98), в каждой из которых действует только один из источников, входящихвсхему, приведен-

ную на рис. 4.97. Расчет схемы (см. рис. 4.98, а) позволяет определить искомые величины от действия источника напряжения uC :

du I

iI

u

C

=

C

=

C

= a11uC ,

+ R4 + R5 )C

dt C (R3

I

I

(R

+ R )

R

+ R

diL

uL

1

=

1

= −iCI

4

5

= −

4

5

uC

= a21uC ,

dt

L1

L1

(R3

+ R4 + R5 )L1

I

I

R5

R5

diL2

uL2

I

=

= iC

=

uC = a31uC .

dt

L

L

(R + R

+ R )L

2

2

3

4

5

2

Аналогичным образом рассчитаем эти же величины от действия

источника тока iL1

(см. рис. 4.98, б):

duII
	C
dt
	II
diL1
dt
	II

diL2

dt

=

iII

=

R4 +R5

i

=a i

,

C

+ R

C (R

+ R )C

L1

12

L1

3

4

5

uLII

iL

(R +R )R

R R

+ R R

+ R R

+ R R

+ R R

=

1

=−

1

4

5

3

+ R1

=−

1 3

1 4

1 5

4 3

5 3

iL1

=a22iL1 ,

L1

(R3 + R4 + R5 )L1

L1 R3

+R4 + R5

=

uLII

=

R R

=a

2

3

5

i

i .

L2

(R3

+R4

+ R5 )L2

L

32

L

1

1

Рассчитав следующую схему (см. рис. 4.98, в), найдем искомые величины от источника тока iL2 .

241

duIII
	C
dt
	III
diL1
	dt
diIII
	L2
	dt

III

R5

=

iC

=

i

=a i

,

+ R

C (R

+ R )C L2

13

L2

3

4

5

=

uLIII

=

R R

=a

1

5

3

i

i

,

L1

(R3

+ R4

L

23

L

+ R5 )L1

2

2

uLIII

(R + R )R

iL

R R

+ R R

+ R R

+ R R

+ R R

=

2

=−

3

4 5

+ R2

2

=−

2 3

2 4

2 5

3 5

4 5

iL2

=a33iL2 .

L2

(R3 + R4 + R5 )L2

R3 + R4 + R5

L2

Расчет схемы, изображенной на рис. 4.98, г, позволяет определить искомые величины от действия источника ЭДС.

	IV				IV
	duC		=		iC
	dt				C
	IV				IV
diL1			=	uL1
	dt				L1
diIV				u IV
	L2		=		L2
				2
dt					L

=0 = b11E,

=E = b21E,

=0 = b31E.

242

Суммируя частные решения в каждой из подсхем с учетом выбранных положительных направлений напряжений и токов, находим полные решения искомых величин:

du

du I

du II

du III

du IV

C

= −

C

+

C

−

C

+

C

= −a11uC + a12iL − a13iL ,

dt

dt

dt

dt

dt

1

2

I

II

III

IV

diL1

= −

diL1

+

diL1

+

diL1

+

diL1

= −a21uC

+ a22iL

+ a23iL

+ E,

dt

dt

dt

dt

dt

1

2

diL

I

II

III

IV

diL

diL

diL

diL

=

+

+

+

= a31uC + a32iL1 + a33iL2 .

dt

dt

dt

dt

dt

2

2

2

2

2

Полученные уравнения позволяют сформировать систему дифференциальных уравнений в форме Коши для переменных состояния и записать ее в матричной форме:

du
	C
	dt		a11	a12
diL1			= a	a
	dt		21	22
			a	a
diL			31	32
	2
	dt

a13 a23

a33

u				0
	C		+ 1			E .
iL				L1
	1
				0
iL
	2

После подстановки численных значений параметров элементов цепи

duCdt

diL1

dt

diL2

dt

−25 103

=−0,75 1030, 25 103

75 103

−1,75 103

0, 25 103

−50 103 0,5 103 −1,5 103

u				0
	C		+ 120 103			E .
iL
	1
				0
iL
	2

К системе уравнений, записанных в нормальной форме, необходимо добавить вектор, который отражает состояние электрической

243

iL (0− )	R4					цепи в момент времени t = 0+ .
1						Поскольку переменные состоя-
uC (0− )
		R2				ния подчиняются законам ком-
E						мутации, этот вектор можно
						получить из анализа состояния
	R3			−
R1		iL2	(0		)	R5 цепи в старом установившемся
	Рис. 4.99					режиме ( t = 0− ) . Схема в мо-
						мент времени t = 0− ) представ-
						лена на рис. 4.99.

iL	(0− ) = iL (0− ) =					E		= 30 А,
					R1	+ R4
1		2					+ R2
	uC	(0− ) =		R4 + R2			E = 90 В.
			R1	+ R4 + R2

Таким образом, вектор начальных состояний цепи имеет вид:

uC		(0)		90
				= 30 .
X (0) = iL		(0)
	1
				30
iL		(0)
	2

Вопросы и упражнения для самоконтроля

1.В чем заключается суть метода переменных состояния? Что понимают под переменными состояния? Чем определяется количество переменных состояния?

2.Что такое уравнение состояния цепи? Какова его матричная форма записи?

3.Чтолежитвосновеметодоврешенияуравнениясостоянияцепи?

4.Какими элементами замещаются в резистивных схемах для определения переменных состояния:

а) индуктивности; б) резисторы; в) емкости;

г) источники тока;

244

д) источники ЭДС?

5. В результате расчета некоторой электрической цепи было получено уравнение состояния:

di
	L					0		4			i			0
	dt																	E .
				=	−4	10	4	−10	3			L		+	10	5
duC											uC			2,5
	dt

Определить:

а) порядок электрической цепи; б) корни характеристического уравнения; в) вид свободной составляющей; г) источники цепи; д) начальные условия;

е) характер переходного процесса; ж) время переходного процесса.

6.Записатьуравнениесостоянияэлектрическихцепей(рис. 4.100).

7.Определить матрицы связи A, B, C, D электрических цепей

(рис. 4.101) при определении тока i(t) и напряжения uL (t) .

245

4.6.2. Расчетно-графическая работа № 6

Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях второго порядка

Данная работа подводит итог изучению переходных режимов в электрических цепях и усвоению методов их анализа. Для расчета переходного процесса предлагается цепь второго порядка, в которой действуют два источника постоянных воздействий.

Предполагается, что до срабатывания коммутаторов (коммутатор работает назамыкание) цепьнаходилась вустановившемся режиме.

Задача расчета переходных процессов сводится к решению системы дифференциальных уравнений, связывающих заданные воздействия и искомые токи и напряжения в исследуемой послекоммутационной цепи. Сформулированная задача может быть решена на основе классической теории дифференциальных уравнений (классический метод), операционного исчисления (операторный метод), численных методов (метод пространства состояний).

Задание

1.На откидном листе изобразить электрическую цепь, подлежащую расчету, привести численные значения параметров и задающих источников тока и напряжения.

2.Рассчитать указанный преподавателем ток или напряжение

водной из ветвей классическим методом.

3.Составить эквивалентную операторную схему и записать для нее систему уравнений по законам Кирхгофа. Рассчитать искомый ток операторным методом.

4.Получить матрицы связей А, В, С, D исследуемой цепи для решения задачи методом пространства состояний.

5.Построитьграфикиизменениявовременинайденныхвеличин.

Выбор варианта

1. Расчетная цепь выбирается в соответствии с номером варианта с помощью табл. 4.3. Графы расчетных цепей изображены на рис. 4.102.

246

2. Параметры пассивных элементов цепи и задающих источников цепей во всех вариантах определяются следующим образом:

L = 0,5 М Гн , С = 100 N мкФ;

величина сопротивлений для четных ветвей R = 100 Аr Ом, для нечетных ветвей R = 20 (Аr + N) Ом;

параметры источников: Е1 = 20 (N + M) В, Е2= 20 N B, J = 0,1× ×( N + 2M) А,

247

гдеN – номергруппы(длястудентовзаочногоотделения: 1 – длястудентов, обучающихся в нормативные сроки, 2 – для студентов, обучающихся всокращенныесроки);

M –	шифр специальности, для АТ – 1;									АСУ – 2;		ЭС – 1,5;				ТК –
2,5; КТЭИ –		3;	АЭП (АТПП) –				3,5;	АТП –		4; АУЦ –		4,5;		ЭВТ – 5;
КРЭС – 5,5;		КЗИ – 6;		КСК – 6,5;			ИН – 7;
Ar –	сумма цифр номера варианта.
											Таблица					4 . 3
Вариант	Граф		Ключ		Расположение элементов в ветвях цепи
					E1		Е2		J		R			L		C
1, 26, 51	а		3		1		–		6		1, 5,	4		3		2
2, 27, 52	б		5		1		5		–		3, 4,	5		1		2
3, 28, 53		в	2		3		–		5		1, 2,	3		3		4
4, 29, 54		г	3		1		–		5		1, 4,	3		1		2
5, 30, 55	д		4		1		5		–		2, 4,	5		1		3
6, 31, 56		е	4		1		4		–		1, 3, 4, 5, 6			5		2
7, 32, 57	а		6		6		–		1		2, 3, 5, 6			2		5
8, 33, 58	б		2		5		3		–		1, 2, 3, 5			4		1
9, 34, 59		в	2		1		–		4		1, 4,	5		2		5
10 , 35, 60		г	4		3		1		–		2, 3, 4, 5			5		1
11, 36, 61	д		4		1		4		–		1, 2, 3, 4, 5			1		2
12, 37, 62		е	6		4		–		2		3, 4, 5, 6			4		1
13,38,63	а		4		1		–		6		1, 4, 5			3		2
14, 39, 64	б		4		4		–		5		1, 4, 3			1		2
15, 40, 65		в	5		4		5		–		1, 3, 4, 5			1		2
16, 41, 66		г	5		5		–		2		1, 3, 4, 5			4		1
17, 42, 67	д		4		1		4		–		1, 3, 4, 5			5		2
18, 43, 68		е	2		3		–		1		2, 3, 4, 6			5		3
19, 44, 69	а		6		2		5		–		1, 5, 6			1		2
20, 45, 70	б		5		3		5		–		2, 4, 5			4		1
21, 46, 71		в	2		4		–		5		1, 2, 3, 4			1		3
22, 47, 72		г	5		3		–		1		2, 3, 5			3		4
23, 48, 73	д		4		1		–		2		1, 3, 4			3		5
24, 49, 74		е	1		6		–		4		1, 2, 3, 6			3		5
25, 50, 75	а		5		3		–		2		1, 3, 5, 6			1		4

248

4.7. ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ
Интеграл Дюамеля (интеграл наложе-
ния) позволяет рассчитывать реакцию цепи f(t)		y(t)
y(t) на входное воздействие любой формы
(сигнал напряжения или тока), задаваемое
некоторой функцией f(t) (рис. 4.103). При	Рис. 4.103

этом данное воздействие может быть представлено в виде суммы некоторых тестовых обобщенных функций,

каждая из которых начинает действие в момент ti, а амплитуда ее зависит от приращения входного воздействия ∆f. В этой связи для линейных систем, подчиняющихся принципу суперпозиции, справедливо следующее утверждение: поскольку возможна интерпретация входного сигнала в виде суммы (наложения) тестовых сигналов, выходной сигнал, в свою очередь, также интерпретируется в виде суммы (наложения) реакций на данные тестовые сигналы.

4.7.1.Переходные и импульсные характеристики

Кобобщенным (тестовым) функциям относят единичное сту-

пенчатое возмущение 1(t) (рис. 4.104, а) и δ-функцию (всплеск) Ди-

						рака δ(t) (рис. 4.104, б). Единичная
	1(t)					функция аналитически записывается
						как
					t	0, при	t < 0,
						1(t) =	t ≥ 0.	(4.50)
	a					1, при
						δ-функция Дирака аналитически запи-
	δ(t)
						сывается как
				t		0, при	t < 0,
	б					δ(t ) = ∞, при	t = 0,	(4.51)
Рис. 4.104						0, при	t > 0.

249

В качестве количественной оценки δ-функции выступает площадь под кривой, имеющая конечное значение и определяющаяся в виде

∞
∫ δ(t )dt =1.	(4.52)

−∞

Единичное ступенчатое воздействие и δ-функция связаны между собой соотношением

′	(t ) =δ(t ) .	(4.53)
1

Реакцией системы на единичное ступенчатое возмущение явля-

ется переходная характеристика h(t), а реакцией на δ-функцию – импульсная характеристика k(t) (рис. 4.105).

1(t)		h(t)	δ(t)		k(t)
	а	Рис. 4.105		б

Переходная и импульсная характеристики также связаны между собой соотношением

h′(t ) = k (t ) .

(4.54)

Введем понятие обобщенных переходной и импульсной характеристики.

Функция h(t) определена на всем диапазоне изменения абсциссы t, однако переходная характеристика может появиться на выходе системы только после подачи на вход единичного ступенчатого возмущения, в то время как весь предыдущий промежуток времени она должна равняться нулю. Для удобства аналитических преобразований над исследуемыми функциями времени обобщенной характеристикой будем называть функцию

h%(t ) = h (t )1(t ) .

(4.55)

250