Интегралы. Неопределённые интегралы.

1. 1). Применим формулу интегрирования по частям. 2). Положимu=x, найдёмdv:dv=cosxdx. 3). Найдёмdu:du=dx. 4). Найдёмv:v=. 5). Получим ответ:

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8. .

9.

10.

11.

12.

13. .

14.

15.

16..

17.

18.

19.

20

21. + C.

22.+ C

23.

24.

25. +C.

26.+C.

27.

28.Интегралберётся методом замены переменной.

Обозначим , тогда:,,,,.========

Определённые интегралы.

1. 1). Получите первообразную от функции .

2). Примените формулу Ньютона-Лейбница.

3). Приняв за переменнуюz, квадратное уравнение. .z²–z= 2

4). Решите полученное квадратное уравнение.

z_1,2= ;z= 2

5). Подставьте .

2.1). Изобразим схематически капилляр и выделим вблизи оси капилляра малый цилиндр радиусаrcплощадью основанияS= πr²:

2). Запишем выражение для N_т, формализовав его в виде интеграла по всему объёму трубки - капилляра:. гдеdV-объём цилиндрического слоя, полученного при изменении радиуса малого приосевого цилиндра радиусаrи длиныl, т.е.dV=l·dSиdS=d(πr²) = π2rdr

3). Запишем выражение для тепловой мощности, учитывая связь удельной тепловой мощности с напряжением сдвига и скоростью сдвига: .

4). Учтём зависимости напряжения сдвига и скорости сдвига от радиуса - расстояния от оси трубки r. Запишем выражение для тепловой мощности в виде интеграла поr.

Ответ: .

5). Возьмём интеграл, сформируем окончательный ответ: . И окончательно:

3.

4.Для решения задачи мысленно разобьём протекающую через капилляр за единицу времени жидкость на концентрические трубчатые слои настолько тонкие, чтобы можно было считать линейные скорости частиц жидкости в такой цилиндрической оболочке одинаковыми.

Вклад (dQ), который делает объём такой цилиндрической оболочки в расход, легко подсчитать.

Расход найдём, если проинтегрируем по всему капилляру:

5. Схематически изобразим изотерму в координатахp,V, воспользовавшись известным из школьного курса физики законом Бойля – Мариотта. Покажем на графике значения давления и объёма в начале и в конце процесса (P₁,V₁иP₂,V₂). Покажем в виде заштрихованного прямоугольника элементарную работу.

Идентифицируем работу в процессе как площадь криволинейной трапеции на графике процесса. Подсчитаем площадь криволинейной трапеции как определённый интеграл :

Используя закон Бойля-Мариотта получим функциональную зависимость давления от объёма:P·V=P₁·V₁,

Подставим, полученную функцию, в определённый интеграл:

Уравнение Менделеева-Клапейрона запишем в виде выражения: . Подставим в, полученное выражение и получим:

Используем закон Бойля-Мариотта, поучим связь между давлениями и объёмами для двух состояний газа. Сформулируем окончательный ответ:

6.Схематически изобразим изотерму в координатахp,V, воспользовавшись известным из школьного курса физики законом Бойля – Мариотта. Покажем на графике значения давления и объёма в начале и в конце процесса (P₁,V₁иP₂,V₂). Покажем в виде заштрихованного прямоугольника элементарную работу.

Идентифицируем работу в процессе как площадь криволинейной трапеции на графике процесса. Подсчитаем площадь криволинейной трапеции как определённый интеграл: Используя закон Бойля-Мариотта :P·V=P₁·V₁,

Уравнение Менделеева-Клапейрона запишем в виде выражения: . И получим:

7.Интегралберётся методом замены переменной.

Обозначим , тогда:,,,,.========

.8. Для определения индукции магнитного поля вблизи провода воспользуемся законом Био - Савара – Лапласа:

( )

.

Для прямого бесконечно длинного провода с током применение закона даёт:

Переменные r,L,αвыразим через одну (α).