46. Дисперсия случайной величины х, имеющей равномерное распределение на отрезке [1, 9] равна

1)

2)

3)

4)

5)

47. ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Х, ИМЕЮЩЕЙ РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НА ОТРЕЗКЕ [1, 3] РАВНА

1)

2)

3)

4)

5)

48. СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Х, ИМЕЮЩЕЙ РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НА ОТРЕЗКЕ [3, 9] РАВНО

1)

2)

3)

4)

5)

49. ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Х, ИМЕЮЩЕЙ РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НА ОТРЕЗКЕ [1, 4] РАВНА

1)

2)

3)

4)

5)

50. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Х, РАСПРЕДЕЛЕНА ПО ЗАКОНУ ПУАССОНА ЕЁ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

1) k

2) e

3) а

4) k!

5) a^K

II. Материалы к собеседованию.

Производные и дифференциалы.

1. Найдите производную от функции:

2. Найдите дифференциал функции:

3. Найдите производную от функции:

4. Найдите дифференциал функции:

5. Найдите производную от функции:

6. Найдите дифференциал функции:

7. Найдите производную от функции:

8. Найдите дифференциал функции:

9. Найдите производную от функции:

10. Найдите дифференциал функции:

11. Найдите производную от функции:

12. Найдите дифференциал функции:

13. Найдите производную от функции:

14. Найдите дифференциал функции:

15. Найдите производную от функции:

16. Найдите дифференциал функции:

17. Найдите производную от функции:

18. Найдите дифференциал функции:

19. Найдите дифференциал функции:

20. Найдите дифференциал функции:

21. Найдите производную от функции:

22. Найдите дифференциал функции:

23. Найдите производную от функции:

24. Найдите дифференциал функции:

25. Найдите производную от функции: y = 4 sin (x² + 1)

26. В середине XIX века физиолог - экспериментатор Дюбуа-Реймон (DuBois-Reymond) установил, что «не абсолютная величина плотности тока в данный момент есть то, на что двигательный нерв отвечает сокращением принадлежащей ему мышцы, но изменения этой величины от одного момента к другому». На языке математики закон раздражения Дюбуа-Реймона означает, что способность вызывать возбуждение определяется скоростью изменения силы тока со временем. Постройте на графике такую зависимость силы тока от времени,при которой электрический ток наверняка вызовет сокращение мышцы.

27. Амплитуда вынужденных колебаний А является функцией частоты вынуждающей силы Ω:

Определите частоту вынуждающей силы Ω_рез, при которой амплитуда А достигает максимума (будет наблюдаться явление резонанса вынужденных колебаний).

28.Амплитуда вынужденных колебаний А является функцией частоты вынуждающей силы Ω:

Определите максимум амплитуды при резонансе.

29. Зная основной закон радиоактивного распада , гдеN_t - число ещё не распавшихся ядер в момент времени t, получите выражение для зависимости от времени активности A(t) радиоактивного препарата, которая является абсолютной величиной скорости радиоактивного препарата.

Частные производные. Применение дифференциального исчисления в теории ошибок измерений.

1. При прямых измерениях найдено, что диаметр круга равен 6,67 см, причём максимальная погрешность измерения составляет 0,03 см. Найдите приближённую относительную погрешность диаметра в процентах.

2. При прямых измерениях найдено, что диаметр круга равен 6,67 см, причём максимальная погрешность измерения составляет 0,03 см. Найдите приближённую относительную погрешность площади круга в процентах.

3. Докажите, что относительная погрешность вычисленного объёма шара приблизительно равна утроенной относительной погрешности в измерении его диаметра.

4. Определите относительную погрешность, с которой допустимо измерить радиус шара, чтобы объём его можно было определить с точностью до 2%.

5. Период малых колебаний «нитяного» (математического)маятника (в секундах) определяется по формуле

,

где l -длина маятника в сантиметрах, а g = 981 см/с² - ускорение силы тяжести.

Докажите, что приближённая относительная погрешность периода колебаний маятника равна половине относительной погрешности его измеренной длины.

6. Пользуясь формулой , установите, насколько следует изменить длину маятникаl = 25 см, чтобы его период увеличился на 0,05 секунд.

7. Из формулы следует, что определение ускорения силы тяжести с помощью маятника может быть сделано по формуле

Определите относительную погрешность в определении g, если известна относительная погрешность в измерении l - D_l, а погрешностью в измерении T можно пренебречь.

8. Из формулы следует, что определение ускорения силы тяжести с помощ0ью маятника может быть сделано по формуле

Определите относительную погрешность (D_g) в определении g, если известна относительная погрешность в измерении T - D_T, а погрешностью в измерении l можно пренебречь.

9. Вычислите частную производную функции

10. Вычислите частную производную функции

11. Вычислите частную производную функции

12. Вычислите частную производную функции

13. Вычислите частную производную функции

14. Вычислите частную производную функции

15. Вычислите частную производную функции

16. Вычислите частную производную функции

17. Вычислите частную производную функции

18. Вычислите частную производную функции

19. Входящий в выражение закона Ньютона для вязкой жидкости модуль производной часто не совсем правильно называют «градиентом скорости». Покажите, что в простейшем случае этот «градиент скорости» равен скорости сдвига.

Скалярное поле. Производные по направлению. Градиент.

1. Постройте линии равного уровня скалярного поля u = x + y, соответствующие значениям u = 1, 2, 3, 4, 5.

2. Постройте линии равного уровня скалярного поля u = x² + y², соответствующие значениям u = 1, 2, 3, 4, 5.

3. Постройте линии равного уровня скалярного поля , соответствующие значениямu = 1, 2, 3, 4, 5.

4. Найдите производную функции в точкеA (3,4) по направлению биссектрисы первого координатного угла.

5. Найдите производную функции в точкеA (3,4) по направлению вектора

6. Найдите производную функции в точкеA (3,4) по направлению радиус-вектора точки A.

7. Определите наибольшую скорость, с которой может возрастать функция u (M) =при переходе от точкиM(x,y,z) через точку M₀ (-1, 2, -2).

8. Определите направление, по которому должна двигаться точка M при переходе через точку M₁ (2, 0, 1), чтобы функция u (M) =убывала с наибольшей скоростью.

9. Найдите точки, в которых функция стационарна (т.е. точки, в которых производная по любому направлению равна нулю).

10. Найдите поверхности уровня скалярного поля U = x² + y² + z².

11. Вычислите градиент скалярного поля U = x² + y² +z² в точке .

12. Вычислите производную скалярного поля U = x² + y² +z² в точке по направлению вектора, гдеB (0; -4; 3).

13. При введении через плазматическую мембрану живой клетки

стеклянной микропипетки-электрода регистрируется потенциал покоя

равный -100 мВ относительно окружающего клетку раствора.

Определите величину и направление градиента потенциала, если считать, что потенциал линейно убывает через мембрану снаружи внутрь. Толщину мембраны считать равной l= 10 нм.

14. По известному выражению для потенциала поля точечного электростатического диполя найдите модуль электрической напряжённостиполя электростатического диполя. Считайте, что связь между потенциалом и напряжённостью электростатического поля известна:

Интегралы.

Неопределённые интегралы.

1. Найдите интеграл: .

2. Найдите интеграл: .

3. Найдите интеграл: .

4. Найдите интеграл:.

5. Найдите интеграл: .

6. Найдите интеграл: .

7. Найдите интеграл: .

8. Найдите интеграл: .

9. Найдите интеграл:.

10. Найдите интеграл:.

11. Найдите интеграл:.

12. Найдите интеграл:.

13. Найдите интеграл:.

14. Найдите интеграл:.

15. Найдите интеграл:.

16. Найдите интеграл:.

17. Найдите интеграл:.

18. Найдите интеграл:.

19. Найдите интеграл:.

20. Найдите интеграл:.

21. Найдите интеграл:.

22. Найдите интеграл:.

23. Найдите интеграл:.

24. Найдите интеграл:.

25. Найдите интеграл:.

26. Найдите интеграл:.

27. Найдите интеграл:.

28. Найдите интеграл:.

Определённые интегралы.

1. Определите значение a, при котором выполняется: .

2. Получите выражение для тепловой мощности N_т, выделяемой при ламинарном течении ньютоновской жидкости вязкостью η по цилиндрической трубке длины l под действием разности давлений ΔP. Считайте известными так же радиус трубки R, удельную тепловую мощность , где- напряжение сдвига как функцию расстоянияr от оси трубки и - скорость сдвига как функцию расстоянияr от оси трубки.

3. Пусть кривая проходит в плоскости xy через точку (0,2), а тангенс угла наклона её касательной к оси ОХ выражается функцией х³ - 3х² +2. Найдите эту кривую.

4. Считая известной зависимость линейной скорости течения V вязкой ньютоновской жидкости по цилиндрической трубке радиуса R:

, где ΔP - разность давлений на концах трубки, η - вязкость жидкости, l - длина трубки, определите объёмную скорость течения (расход) жидкости Q. Идентифицируйте полученное решение уравнения как формулу Пуазейля.

5. Идеальный газ изотермически расширяется. При этом давление газа изменяется от P₁ до P₂ . Масса газа m не изменяется. Молярная масса газа M, универсальная газовая постоянная R, абсолютная температура газа T. Получите формулу работы, совершённой газом над внешними телами.

6. Идеальный газ изотермически расширяется. При этом объём газа изменяется от V₁ до V₂. Масса газа m не изменяется. Молярная масса газа M, универсальная газовая постоянная R, абсолютная температура газа T. Получите формулу работы, совершённой газом над внешними телами.

7.Найдите:.

8. Используя закон Био-Савара-Лапласа и вычислив определённый интеграл, получите формулу для расчёта индукции магнитного поля, образованного прямым бесконечно длинным проводом, по которому течёт постоянный ток проводимости. Сила тока в проводе – I.

Дифференциальные уравнения.

1. Из реологического уравнения упруговязкой системы получите дифференциальное уравнение ползучести. Найдите общее решение полученного уравнения для относительной деформации. Решите задачу Коши, приняв за начальные условия отсутствие деформации в начальный момент времени. Схематически изобразите интегральную кривую, решенного Вами дифференциального уравнения.

2. Из реологического уравнения упруговязкой системы получите дифференциальное уравнение релаксации механического напряжения. Найдите общее решение полученного уравнения для напряжения. Решите задачу Коши, приняв за начальные условия напряжение σ₀в момент времениt₀= 0. Схематически изобразите интегральную кривую, решенного Вами дифференциального уравнения.

3. Из реологического уравнения вязкоупругой системы получите дифференциальное уравнение ползучести. Найдите общее решение полученного уравнения для относительной деформации. Решите задачу Коши, приняв за начальные условия отсутствие деформации в начальный момент времени. Схематически изобразите интегральную кривую, решенного Вами дифференциального уравнения.

4. Из реологического уравнения вязкоупругой системы получите дифференциальное уравнение упругого последействия. Найдите общее решение полученного уравнения для относительной деформации. Решите задачу Коши, приняв за начальные условия наличие относительной деформации ε₀в начальный момент времениt₀= 0. Схематически изобразите интегральную кривую, решенного Вами дифференциального уравнения.

5. Судебному медику необходимо установить момент смерти. При первом осмотре в 9 часов 30 минут местного времени была зафиксирована температура тела потерпевшего Т₁= 35,5⁰ С, спустя один час температура тела оказалась Т₂= 35,0⁰С. Температура воздуха в помещении была постоянной и составляла Т₀= 22⁰С. Считать температуру тела в момент наступления смерти Т_N= 36,7⁰С, а скорость охлаждения тела прямо пропорциональной разности температур тела в данный момент и окружающей среды.

6. Считая, что каждый элементарный слой вещества поглощает одну и ту же часть интенсивности попавшего на него электромагнитного излучения, составьте и решите дифференциальное уравнение для поглощения электромагнитного излучения. Идентифицируйте полученное частное решение дифференциального уравнения как закон поглощения Бугера.

7. Считая, что убыль изделий медицинской техники в процессе эксплуатации прямо пропорциональна исходному количеству изделий и промежутку времени эксплуатации, составьте и решите дифференциальное уравнение для вероятности безотказной работы изделия как функции времени. Идентифицируйте постоянный коэффициент в частном решении уравнения как интенсивность отказов медицинской техники.

8. Составьте дифференциальное уравнение для получения основного закона радиоактивного распада. Для чего считайте, что убыль распадающихся ядер прямо пропорциональна числу ещё нераспавшихся к данному моменту ядер, а коэффициент пропорциональности обозначьте λ и назовите постоянной распада. Решите уравнение, получите частное решение в виде основного закона радиоактивного распада, учитывая, что в начальный момент времени t= 0 число ещё нераспавшихся ядер былоN₀. Постройте интегральную кривую.

9. По цилиндрической трубке малого радиуса (т.н. капилляру) стационарно в ламинарном режиме под действием разности давлений ∆P на концах трубки течёт ньютоновская жидкость с вязкостью η. Радиус трубки R, длина трубки l. Используя реологическое уравнение Ньютона, где τ - напряжение сдвига,- модуль градиента скорости, r - расстояние от оси трубки, составьте дифференциальное уравнение для линейной скорости течения жидкости по трубке v как функции расстояния от оси трубки v =v(r). Получите частное решение уравнения из условия, что на стенке трубки, т.е. при r = R линейная скорость. Постройте интегральную кривую.

10. Докажите, что закон гармонических колебаний x_t = Acos(ω₀t + φ₀) является решением уравнения гармонических колебаний: .

11. Докажите, что уравнение гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси x, S(x,t) = S₀cos(ω₀(t - x/v)) является решением волнового уравнения: , гдеv -фазовая скорость распространения волны.

12. Дифференциальное уравнение, составленное на основании второго закона Ньютона, для движения материальной точки вдоль оси х имеет вид: гдеF- не зависит от времени, а m - масса. Найдите общее решение уравнения.

13. Дифференциальное уравнение, составленное на основании второго закона Ньютона, для движения материальной точки вдоль оси х имеет вид: гдеF> 0- не зависит от времени, а m - масса. Найдите частное решение уравнения, если в начальный момент времени координата была равна нулю, начальная скорость равна нулю. Изобразите графически интегральную кривую.

14. Дифференциальное уравнение, составленное на основании второго закона Ньютона, для движения материальной точки вдоль оси х имеет вид: гдеF> 0- не зависит от времени, а m - масса. Найдите частное решение уравнения, если в начальный момент времени координата была равна нулю, начальная скорость равна V₀. Изобразите графически интегральную кривую.

15. Дифференциальное уравнение, составленное на основании второго закона Ньютона, для движения материальной точки вдоль оси х имеет вид: гдеF- не зависит от времени, а m - масса. Найдите частное решение уравнения, если в начальный момент времени координата была равна Х₀, начальная скорость равна V₀. Изобразите графически интегральную кривую.

16. Длинное цилиндрическое тело, нагретое до температуры T₁, охлаждается на воздухе. Составьте и решите дифференциальное уравнение процесса охлаждения, считая, что процесс охлаждения цилиндра таков, что скорость охлаждения прямо пропорциональна разности температур нагретого тела и окружающей среды. Примите температуру окружающего воздуха за T_N и считайте её постоянной.

17. Найдите общее решение дифференциального уравнения: .

18. Найдите общее решение дифференциального уравнения: .

19. Найдите общее решение дифференциального уравнения: .

20. Найдите общее решение дифференциального уравнения: .

21. Найдите общее решение дифференциального уравнения: .

22. Найдите общее решение дифференциального уравнения: .

23. Найдите общее решение дифференциального уравнения: .

24. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

25.Естественный прирост населения большого города пропорционален наличному количеству жителей и промежутку времени. Кроме того, население города увеличивается благодаря иммиграции: скорость прироста этим путём пропорциональна времени, отсчитываемому от момента, когда население города равнялось A₀. Найдите зависимость числа жителей города от времени.

26. Проинтегрируйте дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и укажите интегральную кривую, удовлетворяющую условию

27. Определите прогнозируемую численность населения России в 2020 году, считая, что скорость прироста населения пропорциональна его наличному количеству, и зная, что население России в 2000 году составляло 145млн человек, а прирост населения за 2000 год был равен α%. (Вычислите при α = 2%, α = -1%).

28.Докажите, что функция где- постоянные, удовлетворяет дифференциальному уравнениюгде

29. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v₀. Определите закон движения тела, полагая, что оно движется только под действием силы тяжести.

30. Получите дифференциальное уравнение, описывающее изменение мембранного допорогового электрического потенциала с расстоянием и со временем, имея в виду мембрану гигантского аксона кальмара. Электрическое сопротивление единицы длины аксоплазмы (), единицы длины мембраны аксона (, электрическую ёмкость единицы длины мембраны аксона , радиус осевого цилиндра аксона (r) и толщину мембраны (h) аксона считать известными.

31.На поверхность жидкости осторожно положили стальной шарик малого диаметра d так, что его вертикальная скорость относительно лабораторной системы отсчёта в начальный момент была равной нулю. Плотность шарика ρ₁ больше плотности жидкости ρ₂. Жидкость ньютоновская с вязкостью η находится в поле силы тяжести Земли с ускорением свободного падения g. Найдите скорость шарика как функцию времени.

Теория вероятностей и математическая статистика.

1. Задана функция плотности вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону:

Определите математическое ожидание.

2. Запишите выражение функции распределения вероятностей для нормально распределенной случайной величины, если ее математическое ожидание М(х) = - 1, а дисперсияD(x) = 9.

3. Случайная величина задана законом распределения:

Х	- 1	0	2	2,5
Р	0,2	0,3	0,4	0,1

Найдите вероятность Р(х < 2,5).

4. Студент разыскивает нужную ему формулу в 3-х справочниках. Вероятности того, что формула найдется в первом, втором и третьем справочнике, соответственно равны: 0,60; 0,70; 0,80. Найдите вероятность того, что формула содержится только в одном справочнике.

5. Задана функция плотности вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону:

Определите дисперсию.

6. Запишите выражение функцииплотности распределения вероятностей для нормально распределенной случайной величины, если ее математическое ожидание М(х) = 1, а дисперсияD(x) = 4.

7. Случайная величина задана таблицей:

Х	- 2	- 1	0	1	2
Р	0,05	0,15	0,10	0,50	0,20

Определите вероятность того, что она примет значения в промежутке: -1 <X< 1.

8. Студент разыскивает нужную ему формулу в 3-х справочниках. Вероятности того, что формула найдется в первом, втором и третьем справочнике, равнысоответственно: 0,60; 0,70; 0,80. Найдите вероятность того, что формула содержится только в двух справочниках.

9. Задана функция плотности вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону:

Определите константу С.

10. Нарисуйте графики функции распределения вероятностей для 3-х случайных величин, распределенных по нормальному закону с математическим ожиданием М(х) = 0 и различными дисперсиями. Причем:

11. Случайная величина задана таблицей:

Х	-2	-1	0	1	2
Р	0,05	0,15	0,10	0,50	0,20

Постройте и нарисуйте график функции распределения вероятностей.

12. Студент разыскивает нужную ему формулу в 3-х справочниках. Вероятность того, что формула найдется в первом, втором и третьем справочнике, соответственноравна: 0,6; 0,7; 0,8. Найдите вероятность того, что формула содержится во всех 3-х справочниках.