Тема №3. «Теория вероятностей и мат.Статистика»

№ №	ответы	№ №	ответы	№ №	ответы	№ №	ответы	№ №	ответы
1.	2	11.	3	21.	4	31.	4	41.	2
2.	1	12.	2	22.	1	32.	5	42.	3
3.	3	13.	2	23.	3	33.	4	43.	4
4.	3	14.	1	24.	4	34.	1	44.	5
5.	2	15.	1	25.	4	35.	2	45.	2
6.	4	16.	2	26.	5	36.	1	46.	4
7.	3	17.	3	27.	1	37.	1	47.	1
8.	5	18.	3	28.	5	38.	5	48.	1
9.	2	19.	3	29.	5	39.	1	49.	2
10.	1	20.	3	30.	3	40.	1	50.	3

Производные и дифференциалы.

1.1). Идентифицируем функцию как алгебраическую сумму. «Производная от суммы равна сумме производных».2). Представим функцию в виде степеней аргумента х: _.

3). Вспомним подходящие формулы дифференцирования y = xⁿ,y^’= nx^n-1. 4). Применим формулы к заданной функции5). Сформулируем окончательный результат:

2. Идентифицируем функцию как алгебраическую сумму. «Дифференциал от суммы равен сумме дифференциалов»,т.е.:.

Вспомним подходящие формулы дифференцирования: y = xⁿy^’= nx^n-1; y = sinxy^’= -cosx.Применим формулы к заданной функции:

Сформулируем окончательный результат:

3.1). Идентифицируем функцию как произведение элементарных функций. Вспомним правило получения производной от произведения элементарных функций:y=u(x) · v(x);y^’=u´(x) ·v(x) +v´u(x) (x); 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: .3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования:y=xⁿy^’=nx^n-1;y=cosxy^’= -sinx. 4). Применим формулы к заданной функции:. 5). Сформулируем окончательный результат:

4.1). Идентифицируем функцию как произведение элементарных функций. Вспомните правило получения производной от произведения элементарных функций:y=u(x) · v(x);y^’=u´(x) ·v(x) +v´u(x) (x); 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования : .3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования:y=xⁿy^’=nx^n-1;y=cosxy^’= =-sinx. 4). Применим формулы к заданной функции:.5). Сформулируем окончательный результат:

5.1). Идентифицируем функцию как частное элементарных функций. Вспомним правило получения производной от частного элементарных функций: . 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования:y=xⁿy^’=nx^n-1.4). Применим формулы к заданной функции:. 5). Сформулируем окончательный результат:

6.1). Идентифицируем функцию как частное элементарных функций. Вспомним правило получения дифференциала от частного элементарных функций: . 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования:y=xⁿy^’=nx^n-1;y=cosxy^’= -sinx;y=sinxy^’=cosx. 4). Применим формулы к заданной функции:. 5). Сформулируем окончательный результат:

7.1). Идентифицируем функцию как произведение элементарных функций. Вспомнм правило получения производной от произведения элементарных функций:y=u(x) · v(x);y^’=u´(x) ·v(x) +v´u(x) (x);2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования:y=xⁿy^’=nx^n-1;y=lnxy^’= 1/x. 4). Применим формулы к заданной функции:. 5). Сформулируем окончательный результат:

8.1). Идентифицируем функцию как произведение элементарных функций. Вспомним правило получения производной от произведения элементарных функций:y=u(x) · v(x);y^’=u´(x) ·v(x) +v´u(x) (x); 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: .3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования:y=xⁿy^’=nx^n-1;y=sinxy^’=cosx;y=e^xy^’=e^x4). Применим формулы к заданной функции:.5). Сформулируем окончательный результат, воспользовавшись определением дифференциала:

9.1). Идентифицируем функцию как частное от деления алгебраической суммы элементарных функций на произведение элементарных функций. Вспомним правила получения производной от произведения элементарных функций:y=u(x) · v(x);y^’=u´(x) ·v(x) +v´u(x) (x);и 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования:y=xⁿy^’=nx^n-1;y=sinxy^’=cosx;y=lnxy^’= 1/x. 4). Применим формулы к заданной функции:. 5). Сформулируем окончательный результат:

10.1). Идентифицируем функцию как частное от деления произведения элементарных функций на произведение постоянной и элементарной функции. Вспомним правила получения производной от произведения элементарных функций и от частного:y=u(x) · v(x);y^’=u´(x) ·v(x) +v´u(x) (x); и . 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования:

3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xⁿy^’= nx^n-1; y = ctgxy^’= -1 /sin²x; y = lgxy^’ = 1/(x · ln10).4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный результат вспомнив, что дифференциал функции:dy = y^’dx:

11. 1). Идентифицируем функцию как частное от деления произведения элементарных функций на алгебраическую сумму элементарных функций. Вспомним правила получения производной от алгебраической суммы, от произведения элементарных функций и от частного элементарных функций:y=u(x) + v(x);y^’=u´(x) +v´(x);y=u(x) ·v(x);y^’=u´(x) ·v(x) +v´(x)u(x);и .

2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования:. 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования:y = xⁿy^’= nx^n-1; y = sinxy^’= cosx; y = cosxy^’ = - sinx.4). Применим формулы к заданной функции: 5).Сформулируемокончательный результат:

12.1). Идентифицируем функцию как частное от деления алгебраической суммы элементарных функций на алгебраическую сумму элементарных функций. Вспомним правила получения производной от алгебраической суммы элементарных функций: иy=u(x) + v(x);y^’=u(x) +v´(x).

2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования:y = xⁿy^’= nx^n-1 . 4). Применим формулы к заданной функции: 5). Сформулируем окончательный ответ, воспользовавшись определением дифференциала.

Ответ: dy = y^’dx;

13.1). Идентифицируем функцию как алгебраическую сумм у произведений элементарных функций. Вспомним правила получения производной от суммы и от произведения элементарных функций:y=u(x) +v(x);y^’=u´(x) +v´(x);y=u(x) ·v(x);y^’=u´(x) ·v(x) +v´u(x) (x). 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования:. 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования:y=xⁿy^’=nx^n-1. 4). Применим формулы к заданной функции:. 5). Сформулируем окончательный ответ:

14.1). Идентифицируем функцию как алгебраическую сумму элементарных функций. Вспомним правила получения производной от суммы и от произведения элементарных функций:y=u(x) +v(x);y^’=u´(x) +v´(x); 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования:. 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования:y=xⁿy^’=nx^n-1;y=tgxy^’= 1/cos²x. 4). Применим формулы к заданной функции:. 5). Сформулируем окончательный результат, вспомнив определение дифференциала:

15.1). Идентифицируем функцию как произведение элементарных функций. Вспомним правило получения производной от произведения элементарных функций:y=u(x) · v(x);y^’=u´(x) ·v(x) +v´(x)u(x); 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования:y=ctgxy^’= - 1/sinx;y=e^xy^’=e^x. 4). Применим формулы к заданной функции:5). Сформулируем окончательный результат:

16.1). Идентифицируем функцию как частное элементарных функций. Вспомните правило получения дифференциала от частного элементарных функций: . 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования:y=xⁿy^’=nx^n-1. 4). Применим формулы к заданной функции:. 5). Сформулируем окончательный результат:

17

18..

19.;

.

20.1). Идентифицируем функцию как частное от деления произведения элементарных функций на произведение постоянной и элементарной функции. Вспомним правила получения производной от произведения элементарных функций и от частного:y=u(x) ·v(x);y^’=u´(x) ·v(x) +v´u(x) (x);

и; f(x) = a · y(x) = a · y^’(x). 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования:y = xⁿy^’= nx^n-1; y = cosxy^’= - sinx; y = lnxy^’ = 1/x

4). Применим формулы к заданной функции:

5). Сформулируемответ, вспомнив, что дифференциал функции: dy = y^’dx:

21..

22.

23..

24.

25. Представим функцию в виде:где .По правилу нахождения производной сложной функции:или.

26. 1). Скорость изменения функции (в данном случае функция - сила электрического тока) определяется её производной, которая, по сформулированному закону, должна быть наибольшей по величине. 2). Поскольку требуется построить график, то следует обратиться к геометрическому смыслу производной. Геометрически производная равна тангенсу угла наклона касательной к оси независимой переменной - времени. 3). Тангенс будет стремиться к бесконечности, когда угол стремится к π/2. 4). Проведём изоклину с максимально возможным тангенсом наклона. Получаем перпендикуляр к оси времени в качестве переднего фронта импульса тока.

27. Рассмотрим амплитуду как функцию частоты вынуждающей силы Ω и обратим внимание на то, что от Ω зависит знаменатель. Следовательно, минимум выражения в знаменателе соответствует максимуму амплитуды.

Рассмотрим подкоренное выражение в знаменателе как функцию частоты вынуждающей силы и проанализируем эту функцию на условия минимума. Для чего получим выражение для производной этой функции.

Необходимое условие экстремального значения: имеет три решения первое очевидно ─ 1); второе и третье найдём, решая уравнение:.

2) ,

3)

Решение 2) отбрасываем так, как частота колебаний не может быть отрицательной. Сформулируем условие минимума:

Для , учитывая, что при колебаниях,получаем , а это соответствует максимуму знаменателя формулы:

При вторая производная:

> 0

и знаменатель формулы:минимален.

Следовательно, резонансной частотой является: иначе:.

28. Для определения амплитуды при резонансе подставим найденное значение резонансной частоты (см. задачу 27)

в формулу

В случае отсутствия затухания: и

29. .