- •Федеральное агентство по здравоохранению и социальному развитию
- •I. Материалы ко второму этапу экзамена.
- •Тема №1:«дифференциальное и интегральное исчисления»
- •1. Если производные двух функций тождественно равны, то сами функции
- •26. Если f(X) является одной из первообразных для данной функции f(X), то самое общее выражение, для первообразной имеет вид
- •3. Уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, классифицируется как
- •5. Дифференциальное уравнение относится к
- •6. Особым решением обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка является ….
- •7. Общим решением дифференциального уравнения будет
- •11. Уравнение:является
- •16. Случайная величина х дискретного типа принимает два значения 0 и 1 с равными вероятностями. Определите вероятность того, что она примет значение 0
- •46. Дисперсия случайной величины х, имеющей равномерное распределение на отрезке [1, 9] равна
- •13. Задана функция плотности случайной величины, распределенной по нормальному закону:
- •25. Задана функция плотности вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону:
- •26. Статистические данные свидетельствуют о том, что вероятность рождения мальчика равна 0,516. Определите вероятность того, что новорожденный ребёнок окажется девочкой.
- •33. Случайная величина принимает шесть значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5 с равными вероятностями. Определите математическое ожидание.
- •50. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 90% случаев. Определите вероятность того, что из 5 больных поправятся не менее 4.
- •51. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80% случаев. Определите вероятность того, что из 5 больных поправятся 4.
- •61. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берут на пробу 2 дм3 воздуха. Найдите вероятность того, что в пробе будет обнаружен хотя бы один микроб.
- •Тема №3. «Теория вероятностей и мат.Статистика»
- •Производные и дифференциалы.
- •Частные производные. Применение дифференциального исчисления в теории ошибок измерений.
- •Скалярное поле. Производные по направлению. Градиент.
- •Интегралы. Неопределённые интегралы.
- •Определённые интегралы.
- •Дифференциальные уравнения.
- •Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Справочные материалы
- •Оглавление
Дифференциальные уравнения.
1.; . При ползучести σ = const. ;; . При t = 0, ε = 0 и С =0..
2. ; . При релаксации: . .; ; . При t = 0, , тогда константа . , , , где - время релаксации.
3.;; dt; ; ; = ; || = ; ; ;
; .
4.;; ; ; . При t = 0 ε = . =; . Здесь - время упругого последействия.
5.1). Опишем на языке знаков условие задачи.Т - температура тела в произвольный момент времени t, Т1 = 35,50 С - температура тела в момент первого наблюдения, Т2 = 35,00 С - температура тела в момент второго наблюдения, Т0 = 220 С - постоянная температура окружающей среды, ТN = 36,70 С - температура тела в момент смерти, τ = 9 часов 30 минут - момент первого наблюдения, t - время, прошедшее с момента наступления смерти, t1 - время, прошедшее с момента наступления смерти до первого наблюдения, t2 - время, прошедшее с момента наступления смерти до второго наблюдения,Δt = 1 час - промежуток времени между первым и вторым наблюдением, t2 = t1 + Δt, k - коэффициент пропорциональности между скоростью охлаждения и разностью температур тела и окружающей среды.2). Составим знаковую модель в виде математической модели., где знак « - » означает охлаждение. 3). Решим дифференциальное уравнение, разделив переменные.,,,.
4). Получим частное решение уравнения (решим задачу Коши).,
.
Константу скорости охлаждения k находим:
Разделив (1) на (2) получаем константу k:
5). Вычисляем момент наступившей смерти:
t1 = 2,26 часа ≈ 2 часа 15 минут
Момент смерти: τ - t1 = 9 часов 30 минут - 2 часа 15 минут = 7 часов 15 мин по местному времени.
6. ; ; ;.
7.;λ;λ. , где - вероятность безотказной работы.
8.; λ;λ.
9.1).Проанализируем условия стационарного течения по трубке: при стационарном течении вязкой жидкости по трубке объёмная скорость течения (расход) жидкости постоянен во времени. Отсюда следует, что слой жидкости, находящийся на некотором расстоянии от оси трубки должен двигаться с определённой неизменной во времени скоростью, т.е. в трубке должно наблюдаться «телескопическое» течение. Каждый из коаксиальных цилиндрических слоёв должен иметь постоянную скорость.
2). Истолкуем полученный результат с позиций законов динамики: с точки зрения законов динамики описанная ситуация возможна только в случае скомпенсированного действия сил на каждый из тонких коаксиальных слоёв.3). Проиллюстрируем сказанное рисунком.
V = const, FТ = FД
4). Запишем равенство сил, используя понятие напряжение сдвига, реологический закон Ньютона и приняв во внимание, что градиент скорости направлен от стенки трубки к оси: для приосевого цилиндра радиуса rFД =,FТ = откудадля любой жидкости. Для ньютоновской жидкости, поэтому. 5). Решим полученное обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, частное решение получим, приняв во внимание условие на стенке трубкиV = 0 при r =R.
Ответ: откуда
,,,.
10. .Подстановка полученного выражения второй производной висходное уравнение обращает его в тождество.
(t - |
(t – |
(t - |
(t - |
(t - |
(t - |
(t - | |
|
12.;. Пусть, тогда дляпорядок дифф.ура окажется ниже на единицу.;
;;;;;;. Полученное общее решение легко идентифицируется с законом движения при прямолинейном равноускоренном движении, который изучался Вами в 8 классе средней школы.проекция ускорения на ось х,- начальная скорость,- начальная координата.
13. См. решение задачи 12.,,Возможны два случая:и. В первом случае проекция ускорения будет положительна, а во втором– отрицательна.
14.См. решение задачи 12,13.
15.См. решение задачи 12,13.
16. ;;;;;;{
17. 1). Уравнение:― обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. 2)..
3). . 4).. 5).;, где. И окончательно:.
18.
19.
20. ..
21. .
22. .
23. .
24. .
25. 1). ЕслиA– наличное количество жителей города в момент времениt, то по условию прирост за времяdtбудетdA=k1·A·dt, гдеk1 – коэффициент пропорциональности. Отсюда найдём скорость прироста:
2). Кроме того, население увеличивается за счёт иммиграции, так что скорость прироста населения в целом равна: гдеk2 – отличный от k1 коэффициент пропорциональности.
3). Полагая в полученном уравнении: будем иметь:
4). Выберем функцию v таким образом, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. Из этого уравнения найдёмv: .
5). Из уравнения определяем
Итак,
Из начального условия A(0) =A0находим:Тогда искомая зависимость числа жителей города от времени выразится формулой:
26.1). Уравнение с разделяющимися переменными приведём к уравнению с разделёнными переменными, разделив обе части уравнения на произведение ,:
. 2). Интегрируем полученное уравнение:
.
В нашем случае для упрощения вида общего решения, произвольную постоянную удобнее записать в логарифмическом виде:
.
Тогда общий интеграл (общее решение) уравнения примет вид:
.
3). Выражаем из последнего равенства и получаем общее решение исходного уравнения:
.
4). При делении на предполагалось, что, то есть(для любых). Проверкой убеждаемся, что у = 0 можно получить из формулы общего решения при С1= 0. Следовательно, у = 0 – частное решение.5). Выделим интегральную кривую, проходящую через точку (1;2). Для этого подставим значения х = 1 и у = 2 в общее решение и определим соответствующее значение С1:
.
Итак, - искомая интегральная кривая.
27. Обозначим численность населения России в момент времени.
Дифференциальное уравнение исследуемого процесса (скорость «прироста» численности населения) имеет вид , где– коэффициент пропорциональности.
Учитывая, что , имеем- общее решение уравнения.
Согласно условию задачи 145 при. Находим частное решение:
, т.е. С =145, .
Найдём значение коэффициента , зная, что в конце 2000 года, т.е. при1, население России равномлн человек:. Отсюда
, т.е. . Равенствотеперь можно переписать так:
.
Таким образом через 20 лет численность населения составит:
При α = 2%: (млн человек);
при α = -1%: (млн человек).
28. 1). «Функция удовлетворяет уравнению» означает, что при подстановке её и её производных в уравнение, оно обратится в тождество.
2). Найдём первую производную функции поt:
3). Найдём вторую производную функции поt:
4). Получим произведение:
5). Учитывая, что получим:
.
6). Сложив полученные выражения для и приводя подобные, убеждаемся в равенстве нулю полученной суммы:
7). Т.о. функция обращает равенство (дифференциальное уравнение)в тождество, т.е. она удовлетворяет дифференциальному уравнению и является одним из решений этого уравнения.
29. По второму закону Ньютона, на движущееся тело действует сила
Дифференциальное уравнение движения в проекциях на вертикальную ось
Постоянные интегрирования С1и С2найдём из начальных условийv=v0,S= 0 приt= 0. ИмеемC1=v0,C2= 0. Таким образом, закон движения брошенного вверх тела под действием силы тяжести выражается зависимостями
30.Рассмотрим электрические свойства отрезка аксона длинойLи радиусом осевого цилиндраr. Толщину мембраны обозначим черезh.
Пусть -удельное сопротивление аксоплазмы и- удельное сопротивление мембраны.
Электрическое сопротивление отрезка аксона для аксиального тока обозначим как.. Сопротивление единицы длины, так как все единицы числомLсоединены последовательно.
Электрическое сопротивление мембраны отрезка аксона длины Lобозначим, каки найдём , учитывая направление тока через мембрану.
. Учитывая, что сопротивления Lединиц длины для тока через мембрану окажутся соединёнными параллельно, рассчитаем сопротивление, приходящееся на единицу длины..
Обозначим и назовём её постоянной длины нервного волокна .
(1).
Рассчитаем теперь аксиальный ток на отрезке нервного волокна , воспользовавшись законом Ома для однородного участка электрической цепи.
.
Силу электрического тока через мембрану можно рассчитать, пойдя двумя путями.
Первый путь основан на законе сохранения электрического заряда. Применительно к рассматриваемому случаю, сила мембранного тока будет равна убыли аксиального тока на участке . То есть:
. (2)
С другой стороны тот же самый мембранный ток должен пройти через мембрану, эквивалентная схема которой представляет параллельно соединённые сопротивление мембраны и ёмкость мембраны.
. (3)
Приравняв левые части выражений (2) и (3), получим дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, которое получило название «кабельное уравнение» или «телеграфное уравнение».
(4)
Из уравнения: можно получить уравнения для двух частных случаев.
В первом случае получается «стационарное телеграфное уравнение», если предположить, что потенциал Vна мембране удерживается постоянным в точке с координатойx= 0. Для этого случая в качестве решения легко получить зависимость потенциала от координатыxдля заданного момента времениt. Эта зависимость имеет вид:, где- постоянная длины. Очевиден физический смысл. Предположив, чтоx=получим:, где- основание натуральных логарифмов. Таким образом, постоянная длиныпредставляет собой расстояние от точки удержания потенциаладо точки, в которой потенциал будет меньше исходного враз. Чем больше значение постоянной длины, тем меньше окажется изменение потенциала с увеличением расстояния от исходной точки.
Второй частный случай получится, если поинтересоваться тем, как изменяется потенциал в одной и той же точки с течением времени. При этом в уравнении (4) и уравнение преобразуется к виду:. Это уравнение легко интегрируется методом разделения переменных.
Обозначив постоянную времени нервного волокна получим:. Из этой зависимости понятен физический смысл постоянной времени. Она представляет из себя время, в течении которого потенциал в данной точке наблюдения уменьшится враз.
Кабельные постоянные инервного волокна играют важную роль в процессах пространственной и временной суммации допороговых электрических сигналов, происходящих на мембранах нервных клеток.
Зависимость постоянной длины от физических характеристик волокна (1) указывает на пути возможного увеличения.-удельное сопротивление аксоплазмы и- удельное сопротивление мембраны мало меняются у разных представителей животного мира. Поэтому увеличитьвозможно либо за счёт увеличения радиуса осевого цилиндра нервного волокнаr, что реализовано у гигантского аксона кальмара. Либо за счёт увеличения толщиныh, что реализовано в миелиновом нервном волокне за счёт швановской оболочки.
31.После того, как шарик окажется полностью погружённым в жидкость, на него будут действовать три силы. Сила тяжести, выталкивающая сила Архимедаи сила Стокса. В проекциях на вертикальную ось второй закон Ньютона будет выглядеть с математической точки зрения как обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:
или.
Это уравнение решается понижением порядка. Обозначив ,каки учитывая:придадим уравнению вид:
Решением полученного уравнения является скорость vкак функция времени –v(t). Получить решение уравнения можно, если разделить переменные и переписать его в дифференциалах.
lnПриняв за начальные условия:, получим, и частное решение:ln. Далее:ln,,. При.