matem_praktikum13

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пятигорский медико-фармацевтический институт (филиал ВолгГМУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

а величина

– истинной относительной погрешностью х. Полностью учесть

.pdf

Скачиваний:

403

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

1.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Лабораторная работа 13.Доверительный интервал и доверительная веро-

ятность. Погрешности прямых измерений результатов экспериментов

Актуальность темы: при проведении независимых испытаний необходимо оценить результат наблюдений и погрешности.

Цель занятия: научиться вычислять абсолютную и относительную по-

грешности прямых и косвенных измерений.

Целевые задачи:

знать: понятие погрешности измерений; формулы абсолютной и относи-

тельной погрешности для прямых измерений, а также формулы вычисления абсо-

лютной погрешности косвенно измеряемой величины.

уметь: вычислять среднее арифметическое наблюдаемых значений; оценку средней квадратической погрешности выборочного среднего; находить коэффи-

циент Стьюдента по таблице; правильно записывать результаты измерений.

Краткие сведения из теоретического курса

Интервальные оценки

Интервальной оценкой называется множество точечных оценок, которое за-

висит от результатов наблюдений и, следовательно, является случайным. Интер-

вальной называется оценку, которая определяется двумя числами – концами ин-

тервала. Поэтому каждой интервальной оценке ставится в соответствие довери-

тельная вероятность или надежность, с которой эта оценка накроет неизвестный параметр. В качестве надежности берут число близкое к единице.

Вероятность того, что интервал ( * * заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна p: Р * * =p. Доверительным называ-

ется интервал ( * * , который покрывает неизвестный параметр с задан-

ной надежностью .

Наиболее часто p равно 0,9; 0,95; 0,99; 0,999. При исследованиях в фарма-

ции, медицине и биологии доверительную вероятность принимают равной 0,95.

Нахождение доверительного интервала для оценки нормального распределения при неизвестном . Распределение Стьюдента

Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение, причем инеизвестны. По данным выборки можно построить случайную величину Т (ее

						, где x – выборочная средняя
возможные значения обозначим через t):				T	X

					Sx
из n наблюдений;	S		– оценка среднего квадратического отклонения выбо-
		x

рочной средней (оценка среднеквадратической погрешности среднего арифмети-

ческого вычисляется по формуле: sx sn )

Распределение Т с f=n-1 степенями свободы называется t-распределением или распределением Стьюдента. Функция плотности вероятности зависит от чис-

ла степеней свободы f и не зависит от дисперсии случайных величин . Пользу-

ясь распределением Стьюдента можно определить доверительный интервал, по-

крывающий	неизвестный	параметр	κ	с	надежностью
x t p f Sx x t p f Sx .

Таким образом, интервальной оценкой математического ожидания является доверительный интервал x t p f Sx , x t p f Sx .

Погрешности измерений. Истинная, абсолютная и

относительные погрешности

Результаты измерений почти никогда не дают точного (истинного) значения величин, поскольку они содержат те или иные погрешности. Если х – измеренное значение величины a, то |a–x| называется истинной абсолютной погрешностью х,

и исключить погрешности невозможно, однако можно оценить пределы погреш-

ностей измерений, указав граничную величину истинной абсолютной погрешно-

сти, т. е. положительное число х, для которого выполняется неравенство: |a– x| х. Величина х называется абсолютной погрешностью.

Типы погрешностей

Систематические, кот при многократном измерении одной и той же вели-

чины остаются постоянными или меняются по определенному закону.

Случайные – неопределенные по величине и природе погрешности, обу-

словленные причинами, зависящими от измерительного устройства.

Промахами или грубыми погрешностями называются погрешности, сущест-

венно превышающие случайные и систематические погрешности.

Оценка истинного значения измеряемой величины

Пусть производится n независимых равноточных измерений некоторой фи-

зической величины, истинное значение µ которой неизвестно. Будем рассматри-

вать результаты отдельных измерений как случайные величины х1; х2; …; хn. Эти величины независимы (измерения независимы), имеют одно и то же математиче-

ское ожидание µ (истинное значение измеряемой величины), одинаковые диспер-

сии ζ (измерения равноточные) и распределены нормально (такое допущение подтверждается опытом). Истинное значение измеряемой величины можно оце-

нивать по среднему арифметическому результатов отдельных измерений при по-

мощи доверительных интервалов.

Абсолютная погрешность среднего арифметического x независимых из-

мерений оценивается по формуле:

x t p f Sx .

Интервальной оценкой величины х является доверительный интервал

x x , x x , в который попадает истинное значение с заданной доверительной вероятностью. Окончательный результат измерений запишется в виде: x x x .

Относительная погрешность среднего арифметического: E% xx 100%

Вычисление абсолютной погрешности

косвенных измерений

Если искомая величина у связана с измеряемой х функциональной зависи-

мостью: y=f(x1,x2,…xn), то такая величина называется косвенно измеряемой.

На практике достаточно часто требуется найти косвенно измеряемую вели-

чину и абсолютную и относительную погрешности косвенных измерений.

Пусть y=f(x) – функция зависит от одной переменной х. Были проведены измерения величины х ( x x ), где x – среднее арифметическое прямых изме-

рений величины х, а x – погрешность прибора или абсолютная погрешность пря-

мых измерений.

Значение косвенно измеряемой величины вычисляется по формуле y f x .

Абсолютная погрешность величины у вычисляется по формуле:

y y x ,

где yx – производная у по переменной х.

Относительная погрешность вычисляется по формуле: E% yy 100% .

Пусть z=f(x,y) – функция, зависящая от двух переменных х и у. Проведены измерения величин х и у: х ( x x ) и y y y , где x и y – средние арифме-

тические прямых измерений величин х и у, x и y – погрешности приборов или абсолютные погрешности прямых измерений.

Значение косвенно измеряемой величины вычисляется по формуле z f x , y .

Абсолютная погрешность величины z=f(x,y) вычисляется по формуле:

		2		2
z zx x			z y y .

Относительная погрешность вычисляется по формуле E% zz 100%

Решение задач

1. Известно, что количественный признак х генеральной совокупности рас-

пределен нормально. По выборке объема n=20 найдены выборочная средняя xâ 5,01 и несмещенная оценка дисперсии s2 0,81. Определить интервальную

оценку математического ожидания с доверительной вероятностью р=0,95.

Решение. Доверительный интервал для математического ожидания, в кото-

рый с вероятностью р попадает имеет вид: xв

t р f Sx xв t р f Sх .

Найдем оценку среднего квадратического

отклонения выборочного средне-

го:

; Sx

0,81

0,2 .

По таблице найдем коэффициент Стьюдента t p f .

По условию р=0,95, число степеней свободы f n 1 20 1 19 . Итак, t0,95 19 2,093.

Запишем:

5,01 2,093 0,2 5,01 2,093 0,2 ;

4,59 5,43.

2. При исследовании плодов здоровых крыс были получены показатели масса тела плода: 2,58; 1,95; 2,04; 2,46; 2,56; 2,04; 2,46; 2,58; 2,56; 2,58; 3,04;

2,46. Найти приближенное значение величины с вероятностью 0,95.

Решение.

Найдем среднее арифметическое

ximi ; x

29,31 2,4425

n i 1

Найдем абсолютную погрешность:

xi x 2 mi

x t р f Sx ;

вычислим

сначала

i 1

;

n n 1

1,0089

0,0874 .

Составим расчетную таблицу:

	xi	mi	ximi	х хi	х х		i	2	х х	i	2 m	i
							i			i		i
	1,95	1	1,95	-0,49		0,2401			0,2401
	2,04	2	4,08	-0,4		0,16			0,32
	2,46	3	7,38	0,02		0,0004			0,0012
	2,56	2	5,12	0,12		0,0144			0,0288
	2,58	3	7,74	0,14		0,0196			0,0588
	3,04	1	3,04	0,6		0,36			0,36
		12	29,31						1,0089
Найдем		коэффициент		Стьюдента				t0,95 11 2,20 .					Тогда

x 2,20 0,087 0,192 0,20 .

Примечание. При записи результата применяют следующее правило округ-

ления: абсолютную погрешность округляют до двух значащих цифр по избытку.

В приближенном значении округляют так, чтобы сохранились все надежные циф-

ры и одна сомнительная. Сомнительная цифра находится в том же разряде, что округленная в абсолютной погрешности.

x 2,40 0,20
Относительная погрешность: E%	x	100%	0,20	100% 8,3% .
Относительная погрешность: E%	x	100%	2,4	100% 8,3% .
	x		2,4

Ответ: приближенное значение случайной величины x 2,40 0,20 .

3. При исследовании содержания общего белка в сыворотке крови у 5 крыс

были получены следующие статистические данные: 6,1; 6,2; 6,7; 6,6; 6,3 (г%).

Найти приближенное значение величины, абсолютную и относительную погреш-

ности. Оценить качество измерений с вероятностью 0,95.

Решение.

xi	х хi	х х	i	2
			i
6,1	-0,28	0,0784
6,2	-0,18	0,0324
6,3	-0,08	0,0064
6,6	0,22	0,0484
6,7	0,32	0,1024
		0,268

97
	1	n	31,9
Найдем среднее арифметическое: x	1	xi	31,9	6 ,38 .
Найдем среднее арифметическое: x		xi		6 ,38 .
	n i 1		5

Найдем оценку средней квадратической погрешности среднего арифметиче-

	n
	xi x 2
	xi x 2		0,268
ского: Sx	i 1	; Sx	0,268	0,1158	(г%).
ского: Sx	n n 1	; Sx	5 4	0,1158	(г%).
	n n 1		5 4

Абсолютная погрешность: x 0,1158 2,78 0,321 0,33 .

Приближенное значение: x 6,40 0,33 .

Относительная погрешность: E%	x	100%	0,33	100% 5,1% .
	x		6 ,4

Ответ: приближенное значение случайной величины: x 0,330 0,015 нм;

качество измерений неудовлетворительное.

Примерные задания для самостоятельного решения

1. Определить концентрацию сахарозы в растворе, абсолютную и относи-

тельную погрешности с вероятностью 0,99. Результаты наблюдений: 2,4; 2,7; 2,5; 2,6; 2,3. Оценить качество измерений.

2. Проведены равноточные измерения электрического сопротивления ка-

тушки. Полученные результаты представлены в таблице:

хi	6,27	6,271	6,272	6,273	6,274

mi	1	2	4	1	2

Найти приближенное значение сопротивления, абсолютную и относитель-

ную погрешности с доверительной вероятностью 0,99.

3.При фотоэлектроколориметрическом определении концентрации аце-

тилсалициловой кислоты на основании реакции с сульфатом меди и пиридином были получены следующие результаты: 99,2%; 99,0%; 98,9%; 99,3%; 98,8%; 99,1%.

Вычислить среднее значение полученных результатов и абсолютную и относи-

тельную погрешности при доверительно при вероятности 0,95.

4.При подсчете количества листьев у одного из лекарственных растений

были получены следующие данные: 8, 10, 7, 9, 11,6, 9, 8, 10, 7. Вычислить выбо-

рочную среднюю и оценку среднего квадратического отклонения выборочной средней, интервальную оценку с вероятностью 0,95.

Контрольные вопросы

1.Интервальные оценки.

2.Доверительный интервал и доверительная вероятность.

3.Распределение Стьюдента

4.Нахождение доверительного интервала для оценки нормального распре-

деления при неизвестном .

5.Погрешности измерений.

6.Истинная, абсолютная и относительные погрешности.

7.Оценка истинного значения измеряемой величины

Теория

1.Лекция по теме «Интервальные оценки параметров распределения. По-

грешности измерений»

2.Павлушков И.В. и другие стр. 283-288.

Лабораторная работа 14.Погрешности косвенных измерений результатов

экспериментов.