matem_praktikum13

21

6.f x xex 2 1 .

Найти вторые производные следующих функций:

7.	f ( x ) ln x .	8.	f ( x ) ex	2
				.
	Найти производные второго порядка и записать дифференциалы второго по-
рядка для следующих функции:
9.	f x 2x cos x .

Контрольные вопросы

1.Определение производной функции.

2.Производная сложной функции.

3.Таблица основных формул дифференцирования.

4.Механический и геометрический смысл производной.

5.Определение дифференциала функции.

6.Аналитический и геометрический смысл дифференциала функции

7.Свойства дифференциала функции.

Производные дифференциалы и высших порядков

Задание на дом.

Теория.

1.Лекция по теме «Цели и задачи математики. Производная функции.

Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков».

2.Павлушков И.В. и другие стр. 71-100.

22

Лабораторная работа 3. Применение производных к решению приклад-

ных задач

Актуальность темы: производные и дифференциалы высших порядков имеют широкое применение при решении многих прикладных задач физики и химии.

Цель занятия: научить применять дифференциальное исчисление для ре-

шения прикладных задач химии, биологии и фармации.

Целевые задачи:

знать: необходимое и достаточное условия возрастания и убывания функ-

ции, необходимое и достаточное условие экстремума функций;

уметь: решать прикладные задачи на применение дифференциального ис-

числения.

Краткие сведения из теоретического курса

Приложение дифференциального исчисления

Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале (a; b), если для любых двух точек x1 и x2 из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству x1 x2 , выполняется неравенство f ( x1 ) f ( x2 ) ( f ( x1 ) f ( x2 )).

Необходимое условие возрастания (убывания): Если дифференцируемая функция на интервале (a, b) возрастает (убывает), то производная этой функ-

ции неотрицательна (неположительна) в этом интервале f x 0 ( f x 0 ).

Достаточное условие возрастания (убывания): Если производная диффе-

ренцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого интер-

вала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Функция f(x) в точке х1 имеет максимум, если для любого х из некоторой окрестности точки выполняется неравенство: f(x1)>f(x), при x x1.

Функция f(x) в точке х1 имеет минимум, если для любого х из некоторой окрестности точки выполняется неравенство: f(x1)<f(x), при x x1.

23

Экстремум функции называют локальным экстремумом, так как понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х1. Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой. Наличие максимума или минимума в отдельной точке интервала не означает, что в этой точке функция f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение на этом ин-

тервале.

Необходимое условие экстремума: В точке экстремума дифференцируе-

мой функции ее производная равна нулю.

Достаточное условие экстремума: Если производная дифференцируемой функция в некоторой точке х0 равна нулю и меняет свой знак при переходе через это значение, то число f(х0) является экстремумом функции, причем если изме-

нение знака происходит с плюса на минус, то максимум, если с минуса на плюс,

то минимум.

Точки, в которых производная непрерывной функции равна нулю или не су-

ществует, называются критическими.

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы.

Правило исследования функции на экстремум:

1). Найти критические точки функции у = f(x) и выбрать из них лишь те,

которые являются внутренними точками области определения функции;

2). Исследовать знак производной f'(x) слева и справа от каждой из вы-

бранных критических точек;

3). На основании достаточного условия экстремума выписать точки экс-

тремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на от-

резке необходимо выполнить несколько этапов:

1). Найти критические токи функции, решив уравнение f’(x)=0.

2). Если критические точки попали на отрезок, то необходимо найти значения в критических точках и на границах интервала. Если критические точки

24

не попали на отрезок (или их не существует), то находят значения функции толь-

ко на границах отрезка.
3).	Из полученных	значений функции	выбирают наибольшее и наи-
меньшее	и записывают	ответ, например,	в виде:	max f x f x1 f1 ;
				a,b

min f x f x2 f2 .

a,b

Решение задач

П р и м е р 2.1. Найти угловой коэффициент касательной к кривой

y 0,01x3 , проведенной в точке с абсциссой х=2.

Решение. На основании геометрического смысла производной имеем, что угловой коэффициент равен производной функции в точке, абсцисса которой рав-

на х. Найдем y 0,01x3 0,03х2 .

Вычислим k y 2 0,03 22 0,12 – угловой коэффициент касательной к графику функции.

П р и м е р 2.2. Популяция бактерий в момент времени t (t измеряется в ча-

сах) насчитывает p t 3000 100t 2 особей. Найти скорость роста бактерий. Най-

ти скорость роста бактерий в момент времени t = 5 часов.

Решение. Скорость роста популяции бактерий – это первая производная p t по времени t: p t 3000 100t 2 200t .

Если t = 5 часов, то p 5 200 5 1000 . Следовательно, скорость роста бактерий составит 1000 особей в час.

П р и м е р 2 . 3 . Реакция организма на введенное лекарство может выра-

жаться в повышении кровяного давления, уменьшении температуры тела, изме-

нении пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства. Если х обозначает дозу назначенного лекарства,

а степень реакции у описывается функцией y x2 1 x . При каком значении х реакция максимальна?

25

Решение. Найдем производную y x2 x3 2x 3x2 .

Найдем критические точки: 2x 3x2 0 x 2 3x 0 . Следовательно,

имеем две критические точки: x1 0; x2 23 . Значение x 0 не удовлетворяет

условию задачи.

Найдем вторую производную y 2x 3x2 2 6 x . Вычислим значение

	2				2		2		2
второй производной при	x		.			2 6		2 0 . Значит,	x		– уровень
				y
	3				3		3		3

дозы, который дает максимальную реакцию.
П р и м е р 2.4. Найти наибольшее и наименьшее		значение функции
f ( x ) 3x x3 на отрезке 2;3 .
	3	3x2 ; 3 3x2 0 , то
Решение. Находим производную f ' ( x ) 3x x3

есть x 1 – критические точки. Определяем значения функции в этих точках: f ( 1 ) 2 , f ( 1) 2 . Вычисляем значения данной функции на границах проме-

жутка: f ( 2 ) 2 , f ( 3 ) 18 . Из полученных четырех значений выбираем наи-

большее и наименьшее. Итак, наибольшее значение функции на данном отрезке равно 2, а наименьшее – 18. Можно записать ответ в виде:

max f ( x ) f ( 1 ) f ( 2 ) 2;	min f ( x ) f ( 3 ) 18 .
[ 2,3 ]	[ 2,3 ]

П р и м е р 2.5. Исследовать функцию на экстремум y x4 2x2 .

Решение.

1). Область определения функции – вся числовая ось;

	производную функции: y x4			4x3 4x . Найдем
2). Найдем			2x2
критические точки функции, решив уравнение y 0 :			4x3 4x 0 . Следовательно
4x x2 1 0 : x 0,	x	1.
1	2,3

Определим интервалы возрастания и убывания:

	26
–	рассмотрим интервал ; 1 , определим знак производной в точке ин-
тервала
	y 2 8 3 24 0 – на этом интервале функция убывает;
–	рассмотрим интервал 1;0 , найдем		– на
		y 0,5 2 0,75 1,5 0
этом интервале функция возрастает;
–	рассмотрим интервал 0;1 , найдем		– на
		y 0,5 2 0,75 1,5 0
этом интервале функция убывает;
–	рассмотрим интервал 1; , определим знак производной в точке ин-
тервала
	y 2 8 3 24 0 – на этом интервале функция возрастает;

Тогда точки х = –1 и х = 1 – точки минимума, причем y 1 y 1 1, а

точка х=0, y 0 0 – точка максимума.

Примерные задания для самостоятельного решения

Найти точки экстремума функций:

1.y 2x3 3x2 15 ;

2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции y 3x2 6 x на от-

резке 0; 3 .

3.Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки максимума

иминимума и точки пересечения с осями: y 2x3 3x2 1.

4.Закон движения точки имеет вид s t t sin t . Определить закон ско-

рость и ускорение этой точки.

5.Уравнение движения точки имеет вид s t 4 2t t 2 0,21t 3 (м).

Найти 1) положение точки в моменты времени t1 2 с и t2 5 с; 2) сред-

нюю скорость за время, прошедшее между этими моментами времени; 3)

мгновенные скорости в указанные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток времени; 5) мгновенные ускорения в указанные моменты времени.

Контрольные вопросы

1. Определение возрастающей (убывающей) функции.

27

2.Необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции.

3.Определение экстремума функции.

4.Понятие локального и глобального экстремумов функции.

5.Необходимое и достаточное условия экстремума

6.Определение критических точек функции.

Задание на дом.

Теория.

1. Лекция по теме «Функции нескольких аргументов».

2. Павлушков И.В. и другие стр. 101-122.

28

Лабораторная работа 4. Производные и дифференциалы функции не-

скольких аргументов

Актуальность темы: данный раздел математики имеет широкое примене-

ние при решении ряда прикладных задач, так как многим явлениям физического,

биологического, химического явления присуща зависимость не от одной, а от не-

скольких переменных (факторов).

Цель занятия: научиться находить частные производные и дифференциа-

лы функций нескольких переменных.

Целевые задачи:

знать: понятие функции двух переменных; понятие частных производных функции двух переменных; понятие полного и частных дифференциалов функции нескольких переменных;

уметь: находить производные и дифференциалы функций нескольких пере-

менных.

Краткие сведения из теоретического курса

Основные понятия

Переменная z называется функцией двух аргументов x и y, если некоторым парам значений ( x, y ) по какому-либо правилу или закону ставится в соответст-

вие определенное значение z. Функция двух аргументов обозначается z f ( x, y ).

Функция z f ( x, y )задается в виде поверхности в прямоугольной системе координат в пространстве. Графиком функции двух переменных z f ( x, y ) назы-

вается множество точек трехмерного пространства (x, y, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением z f ( x, y ).

Рассмотрим функцию z=f(x,y). Дадим аргументу х приращение х, а аргу-

менту у – приращение у. Тогда функция z получит наращенное значение f x x, y y .

Величина z f x x, y y f x, y называется полным приращением функции в точке x, y . Частным приращением по переменной х называется вели-

29

чина: x z f x x, y f x, y . Аналогично определяется частное приращение по переменной у: y z f x, y y f x, y .

Частные производные и дифференциалы функции

нескольких переменных

Частной производной от функции z f ( x, y ) по независимой переменной

	х называют конечный предел	lim	f ( x x, y ) f ( x, y )		, вычисленный при по-
			x
		x 0

стоянном у. Обозначается:

z

или

x

z x .

Частной производной от функции z f ( x, y ) по независимой переменной

у называют конечный предел

lim

f ( x, y y ) f ( x, y )

,

вычисленный при по-

y 0

y

стоянном х. Обозначается:

z

или

z y .

y

Пусть функция z=f(x,y)

имеет две непрерывные

частные производные

z

z

x и

y .

z

Произведение

x dx

называется

частным

дифференциалом

функции

z=f(x,y) по х и обозначаются d x z

z

dx .

x

Произведение

z

называется

частным

дифференциалом

функции

dy

y

z=f(x,y) по х и обозначаются d y z yz dy .

Полный дифференциал функции

Дифференциалом функции называется сумма произведений частных произ-

водных этой функции на приращение соответствующих независимых перемен-

ных, т. е.			df dx x	и df dy y тогда можно за-
	dz zx x z y y . Так как

								30
						z	dx		z
писать:									dy .
				dz zxdx z y dy или dz		x
									y
					Частные производные второго порядка
			Пусть		функция z f ( x, y )имеет частные производные первого порядка
	z		z	. Так как производные являются функциями аргументов х и у, то можно
		,
	x		y
найти производные от этих функций.								Частные производные этих функций назы-

ваются частными производными второго порядка (вторыми частными произ-

водными) данной функции z f ( x, y ).

Так, для функции z = f(x, у) двух аргументов х и у (предполагается, что все производные первого порядка существуют) частные производные второго поряд-

ка:

2 f

f

2 f

f

2 f

f

2 f

f

;

;

;

.

x2

x x

y2

x y

y x

y x

y

y

x

y

Частные производные 2 f и 2 f называются смешанными частными про-

x y y x

изводными второго порядка.

Решение задач

П р и м е р 3.1. Найти частные производные функций:

1). u x2 3xy 4 y2 x 2 y 1;

2). z ex2 y2 .

Решение.

1) рассматривая

у как

постоянную

величину,

получим

u

2x 3 y 1,

рассматривая

х

как

постоянную

величину,

найдем:

x

u

3x 8 y 2 .

y

2) пусть y – const, получим

z

e

x2

y2

( x

2

y

2

x2

y2

x

)x 2x e

,

пусть х – const, получим

z

e

x 2 y 2

( x

2

y

2

2 y e

x 2 y 2

.

y

)y