matem_praktikum13

41

тегралов по частям этого отрезка.

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y=f(x) 0. Фигура ог-

раниченная сверху графиком функции, снизу – осью Ох, сбоку – прямыми х=а,

х=b, называется криволинейной трапецией.

Рассмотрим функцию y=f(x), которая определена на отрезке [a, b]. Разо-

бьем отрезок [a, b] точками а=х0,х1…,хn=b (х0<х1<…<хn) на n частичных отрез-

ков, в каждом из которых возьмем произвольную точку сi. Умножим f(ci) на длину соответствующего частичного отрезка xi. Сумма всех таких произведений

n

f ci xi равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади i 1

n

криволинейной трапеции f ci xi Sn . За точное значение площади криволи- i 1

нейной трапеции принимают предел S, к которому стремится площадь ступенча-

той фигуры Sn, когда n стремится к :

Рис. 5.1

		n	b
S	lim	f ci xi f x dx .
	max xi	0 i 1	a

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно ра-

вен площади криволинейной трапеции.

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – какая-

42

либо ее первообразная	на	[a,b] (F’(x)=f(x)),		то имеет место			формула:
b
f x dx F b F a . Данное равенство называется формулой							Ньютона-
a
Лейбница.
Метод замены переменных в определенном интеграле
			b
Пусть для вычисления интеграла f x dx от непрерывной функции								сдела-
			a
на подстановка x t .	Если функция		x t и ее производная x					непре-
						t
	b
рывны; ( )=а, ( )=b, то		f x dx		dt . При вычислении определен-
			f t t
	a

ного интеграла методом замены переменных возвращаться к исходной перемен-

ной не требуется, так как определенный интеграл есть некоторое постоянное число. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой перемен-

ной t как решение относительно переменной t уравнений t a и t b .

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Если u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], то

b			b
имеет место формула: udv uv		b	vdu. Эта формула называется формулой ин-
		a
a			a

тегрирования по частям для определенного интеграла.

Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y=f(x) 0. Фигура ог-

раниченная сверху графиком функции, снизу – осью Ох, сбоку – прямыми х=а,

х=b, называется криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс

(f(x)≥0), равна соответствующему определенному интегралу (геометрический

b

смысл определенного интеграла): S f x dx . Если криволинейная трапеция a

расположена ниже оси Ох (f(x)<0), то ее площадь может быть найдена по форму-

43

b

ле: S f x dx .

a

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием пе-

ременной силы F=F(x), направленной параллельно этой оси. Работа, произведен-

ная силой при перемещении точки М из положения х=а в положение х=b, нахо-

b

дится по формуле: A F( x )dx . a

Путь пройденный телом

Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоро-

стью v=v(t). Путь S, пройденный ею за промежуток времени от t1 до t2:

t2

S v( t )dt . t1

Решение задач

П р и м е р 1.Вычислить интеграл:

1

2х3dx ;

0

Решение:						Найдем	первообразную											для			функции	f(x)=2x3:
F x 2	x4		C	x4		C . Для того, чтобы воспользоваться формулой Ньютона-
4					2
Лейбница возьмем первообразную для которой С=0. Тогда
						1			4			1	4				4
						2х3dx		x						1		0			1	.
						0	2					0	2			2		2
П р и м е р 2.					Вычислить интегралы
2			3 x3		4 dx ,
1) x2
1

Решение: 1) Применим метод подстановки. Пусть t 3 x3 . Тогда

44

																						dt
		dt d 3 x3 3 x3 dx 3x2dx и																x2dx							. Найдем новые пределы
																							3
	интегрирования: tB 3 23								5,					tH 3 13 2 . Следовательно,
	2						4	5			dt				1	5			1		t		5		5		1	5 5	25
		x2 3 x3 dx						t 4									t 4 dt
											3				3				3		5						15
	1							2									2								2
					1				3157
						3125 32						.
				15
										15
		П р и м е р					3.	Найти						площадь				фигуры,							ограниченной				линиями
	x y ,				x 0,		y 4 .
		Решение: Сделаем чертеж. Из чертежа (рис. 6.2) видно, что искомая пло-
	щадь S			криволинейного треугольника													ОАВ равна разности											двух	площадей:

S SOABC SOBC , каждая из которых находится по геометрическому смыслу оп-

ределенного интеграла.

Рис. 6.2

y 4,			y 4
Решим систему		. Получаем, что точка В пересечения прямой
x	y

и кривой x y имеет координаты (2; 4). Тогда

2	2		2	2	x	3			2		8
SOABC	4dx 4 dx 4x			8 , SOBC x2dx								.
			0
0	0			0	3				0	3

Окончательно S 8 83 163 кв. ед.

Отметим, что данная задача может быть также решена другим способом. В

данном случае площадь вычисляется посредством проецирования криволинейной

45

трапеции на ось ординат. Пределы интегрирования найдены как ординаты точек пересечения данных линий. Тогда

4			2		3		4		2			3				16	кв. ед. .
S	ydy			y	2						4	2	0
			3						3							3
0							0

П р и м е р 5.4. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на

0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?

Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропор-

циональна этому растяжению х, т. е. F = kx, где k – коэффициент пропорциональ-

ности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01

м; следовательно, 100 = k . 0,01, откуда k =10000; следовательно, F =10000х.

	0,05	10000xdx 5000x2		0	,05 12,5 Дж .
Искомая работа равна A
	0			0

П р и м е р 5.5. Пусть скорость выражена формулой v(t)=10t+2 (м/с). Найти путь, пройденный телом от начала движения (t=0) до конца 4-й секунды.

Решение: Путь, пройденный телом равен:

				4		2		4			4
					S ( 10t 2 )dt 5t				2t			80 8 88( м ) .
				0				0			0
	Примерные задания для самостоятельного решения
	Вычислить определенные интегралы:
	1											8
1. 2х3dx .									5.					3		dx .
													2x		x
	0											0
	2		4 dx .
2.	2 x								6.			sin xdx .
	1											0
	2		3 x3 4 dx .
3. x2
	1
	e		2
4.	.	ln		x	dx .
			x
	1

46

Вычислить площади фигур ограниченных линиями:

7.у= соs x и осью Ох, в пределах от 0 до 2 .

8.у=х2, у=|х|.

9.Вычислить работу, произведенную при сжатии пружины на 0,03 м, если из-

вестно, что для укорочения ее на 0,005 м нужно приложить силу в 10 Н .

10.Скорость движения тела v=3t2–2t (м/с). Какой путь пройдет тело за 5 с от начала движения?

Контрольные вопросы

1.Определенный интеграл как предел интегральной суммы

2.Свойства определенного интеграла.

3.Геометрический смысл определенного интеграла.

4.Формула Ньютона-Лейбница

5.Задача о площади криволинейной трапеции.

6.Работа переменной силы.

7.Вычисление пути, пройденного телом.

Задание на дом Теория

1.Подготовить выступления к круглому столу.

47

Лабораторная работа 7. Круглый стол «Применение математического анализа при решении задач физики, химии, фармации»

Цель занятия: развитие творческого потенциала студентов, интеллекту-

альной и информационной культуры, способности к самосовершенствованию и саморазвитию; повышение активности студентов в самостоятельном научном по-

иске, отборе современной объективной информации, расширение и углубление знаний по изучаемым дисциплинам.

Целевые задачи:

знать: терминологию дисциплины, цели и задачи математики;

уметь: проявлять творческие навыки; представлять свою работу, отстаивать мнение, вести дискуссию.

Примерные темы докладов, презентаций, рефератов:

1.Производная функции. Производные высших порядков. Геометриче-

ский и механический смысл первой производной.

2.Приложение дифференциального исчисления к решению задач физи-

ки.

3.Дифференциал функции. Аналитический и геометрический смысл дифференциала.

4.Приложение дифференциального исчисления к решению прикладных задач химии.

5.Функции нескольких аргументов. Частные производные, частные и полный дифференциалы функции двух переменных.

6.Применение производных к решению прикладных задач.

7.Приложение дифференциального исчисления к решению задач биоло-

гии.

8.Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного ин-

теграла.

9. Приложение интегрального исчисления к решению прикладных задач

химии.

48

10.Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

11.Приложение интегрального исчисления к решению прикладных задач

биологии.

12.Применение определенного интеграла для решения прикладных задач

13.Приложение интегрального исчисления к решению задач физики.

14.Приложение аппарата дифференциальных уравнений при моделиро-

вании процессов химии.

Теория

1.Лекция по теме «Случайные события и их классификация. Классиче-

ское и статистическое определения вероятности. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий».

2.Павлушков И.В. и другие стр. 219-234

49

Лабораторная работа 8. Основные понятия теории вероятностей. Класси-

ческое и статистическое определение вероятности

Актуальность темы: классическое и статистическое определение вероят-

ности события являются базовыми понятиями теории вероятностей.

Цель занятия: закрепить понятия теории вероятностей и методы решения задач на классическое и статистическое определение вероятности.

Целевые задачи:

знать: понятия случайного события, классификацию случайных событий,

определение полной группы событий; классическое и статистическое определе-

ния вероятности, свойства вероятности;

уметь: решать задачи на вычисление вероятностей событий.

Краткие сведения из теоретического курса

Понятие испытания, события, виды событий

Под испытанием принято понимать набор некоторых условий, который можно повторить многократно. Каждое испытание может привести или не при-

вести к некоторому результату, исходу. Результат, исход испытания называют событием. События обозначают первыми заглавными буквами латинского алфа-

вита: А, В, С и т. д. Наблюдаемые события можно подразделить на три вида: слу-

чайные, достоверные и невозможные.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в ре-

зультате испытания. Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания. Случайным называется событие, появления которое невозможно прогнозировать. Случайные события подразделяют на со-

вместные, несовместные и равновозможные.

Два события называются несовместными, если появление одного из них ис-

ключает появление другого события в одном и том же испытании. Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого событий в одном и том же испытании. События называются равновоз-

можными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более

50

возможным, чем другое.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. В частности, если события А1, А2, … Ак, образую-

щие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот частный случай полной группы будет использоваться в дальнейшем.

События А1, А2, … Ак, образующие полную группу попарно несовместных равновозможных событий называется элементарными событиями или элементар-

ными исходами.

Элементарные события такой группы А1, А2, … Ак называются благоприят-

ствующими осуществлению события А, если осуществление любого из элемен-

тарных событий влечет за собой осуществление события А.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствую-

щих этому событию исходов к общему всех равновозможных несовместных эле-

ментарных исходов, образующих полную группу.

Вероятность события А определяется формулой Р(А)= mn .

Свойства вероятности:

1.Вероятность достоверного события равна единице.

2.Вероятность невозможного события равна нулю.

3.Вероятность случайного события – положительное число, заключенное между нулем и единицей: 0 P A 1.

Относительная частота события

Пусть проведено n испытаний в одних и тех же условиях. Частотой собы-

тия называется количество появлений события А в n испытаниях. Обозначают частоту события буквой m. Отношение частоты события к общему количеству всех проведенных испытаний называется относительной частотой события.

Относительная частота события А определяется формулой	P* A	m	.
		n