matem_praktikum13

31

П р и м е р 3 . 2 . Реакция на инъекцию х единиц лекарственного препарата описывается функцией y x2 a x te t , где t выражается в часах с момента инъ-

				y	,	y
екции, a – некоторая константа. Найти частные производные				x		t .
Решение. Найдем частные производные
y x2 a x te t te t x2		a x te t 2ax 3x2		;
x	x	x
y x2 a x te t x2 a x		te t x2	a x 1 t e t .
t	t	t

П р и м е р 3.3. Для функции z y ln x найти производные второго порядка.

Решение. Найдем частные производные первого порядка

z

y

,

x

x

Дифференцируя повторно, получим:

2 z

y

y

2 z

2 z

y

1

;

(ln x ) 0;

.

x2

x2

y2

y

x y

x x

y x

x

z ln x .

y

П р и м е р 3.4. Найти полный дифференциал функций:

1). z x y ; x y

2). u x y 2 z .

Решение. 1) Найдем частные производные

z		2 y	;
x		( x y )2
z		2x		.
y		( x y )2
Следовательно, dz					z dx	z dy	2 ydx 2xdy .
					x	y	x y 2

2) найдем частные производные по переменным х, у и z:

u	y 2 z x y 2 z 1,	u	x y 2 z ln x 2 yz ,	u	x y 2 z ln x y 2 ,
x		y		z

32

следовательно

du ux uy dy uz dz y 2 z x y 2 z 1dx 2 yz x y 2 z ln xdy y 2 x y 2 z ln xdz .

Примерные задания для самостоятельного решения

Найти частные производные функций:

1.	z x2 xy 1.	3.	z 23x 2 2 y3 .
2.	z 5x2 2xy y2 ln x y 6 .	4.	z cos x y2 .

Найти все частные производные второго порядка функции:

5.z x4 3x3 y y3 .

6.z x2 y2 2x 1.

Найти частные и полный дифференциал для следующих функций:

7. z ln( x2 y2 ).

8. z x y .

Контрольные вопросы

1.Определение функции двух аргументов.

2.Определение частного и полного приращений функции.

3.Определение частных производных функции двух аргументов.

4.Частные дифференциалы функции двух аргументов.

5.Полный дифференциал функции двух аргументов.

Задание на дом

Теория

1.Лекция по теме «Неопределенный интеграл. Основные свойства неоп-

ределенного интеграла. Основные способы интегрирования».

2.Павлушков И.В. и другие стр. 122-144.

33

Лабораторная работа 5. Неопределенный интеграл и его основные свойст-

ва. Основные методы интегрирования.

Актуальность темы: понятие неопределенного интеграла является одним из ключевых понятий математического анализа. Методы интегрирования позво-

ляют решать задачу восстановления функции по ее производной, которая находит широкое применение в естественнонаучных дисциплинах.

Цель занятия: закрепление понятия неопределенного интеграла; овладе-

ние способами и методами интегрирования.

Целевые задачи:

знать: понятие первообразной функции, определение неопределенного ин-

теграла, основные свойства неопределенного интеграла; свойства интеграла; сущ-

ность методов интегрирования;

уметь: применять основные формулы интегрирования при нахождении ин-

тегралов методом непосредственного интегрирования; использовать свойство инвариантности неопределенного интеграла, применять методы интегрирования.

Краткие сведения из теоретического курса

Основные понятия

Восстановление функции по известной производной этой функции основная задача интегрального исчисления (т.е. найти функцию F(x), зная ее производную или дифференциал).

Первообразной функцией для данной функции f(x) на интервале называ-

ется такая функция F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на рассматриваемом интервале.

Теорема. Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на не-

котором интервале, то множество всех первообразных для f(x) задается форму-

лой F(x)+C, где С – постоянное число:

F x C F x f x .

Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) или f(x)dx называ-

34

ется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается f x dx . Та-

ким образом можно записать f x dx F x C , если F’(x)=f(x).

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е. f x dx f x .

2.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. d f x dx f x dx .

3.Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной

идополнительному слагаемому С, т. е. dF x F x C.

4.Постоянный множитель не равный нулю можно вынести за знак неоп-

ределенного интеграла, т. е. kf x dx k f x dx, k 0.

5. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен ал-

гебраической сумме интегралов от слагаемых, т. е.

f1 x f2 x dx f1 x dx f2 x dx .

Таблица простейших интегралов

1.

dx x C ;

6.

sin xdx cos x C ;

xndx

xn 1

7.

cos xdx sin x C ;

2.

C,

n 1;

n

1

dx

8.

tgx C ;

dx

2

3.

ln

x

C , при x 0 ;

cos

x

x

9.

dx

ctgx C ;

a x

4.

a xdx

C , a 0, a 1;

sin2 x

10. 0dx C .

ln a

exdx ex C ;

5.

Метод непосредственного интегрирования

Метод непосредственного интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и использова-

35

нии свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Метод замены переменной (подстановки)

Этот способ заключается в переходе от данной переменной интегрирова-

ния к другой переменной для упрощения подынтегрального выражения и приведе-

ния его к табличному виду. В интеграле f x dx сделаем подстановку x t , где функция t имеет непрерывную производную. Тогда: f x f t ; dx t dt; на основании независимости неопределенного инте-

грала от выбора аргумента: f x dx f t t dt – формула замены пере-

менных в неопределенном интеграле. Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t x , тогда f x x dx f t dt , где t x .

Метод интегрирования по частям

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение

заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv (это, как правило, можно осуществить несколькими способами); затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирова-

ния по частям.

Если u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции, тогда d(uv)=vdu+udv,

откуда udv=d(uv)-vdu. Интегрируя последнее выражение, получа-

ем: udv uv vdu – формула интегрирования по частям, которая применяется в тех случаях, если интеграл в правой части более прост, чем исходный. Эта фор-

мула дает возможность свести вычисление интеграла udv к вычислению инте-

грала vdu, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.

Решение задач П р и м е р 1 . Найти интегралы:

	5x	2	2
1)		x		3 dx .

36

Решение. 1) Применяя свойства 4 и 5 неопределенного интеграла, а также алгебраические преобразования сведем интеграл к трем табличным интегралам:

	5x	2	2			2		2
				3 dx 5x			3 dx 5xdx		dx 3dx
		x				x		x

5 xdx 2

1

dx 3 dx 5

x2

2 ln

x

3x C ;

x

2

П р и м е р 2. Найти интегралы:

x

xdx

1) e4 dx .

2)

.

1 x2

Решение. 1) Введем замену: пусть x=4t, тогда dx=d(4t)=4dt. Следовательно,

можем записать:

x

x

e

et 4dt 4 et dt 4et C 4e 4

C .

4

dx

2) Положим t 1 x2 . Тогда dt d 1 x2 1 x2 dx 2xdx , следовательно

dx

1

dt . Можем записать:

2

1

1

xdx

x

2x dt 1 dt

t C 1 x2 C .

1 t 2 dt 1 t 2 C

1

2 1

1 x2

t

2 t

2

2

П р и м е р 3 .

Найти интегралы:

1) ( 2x3 5x2 7x 3 )dx .

3) ( 2x 1)20dx .

1

2) (

)2 dx .

4 x2

x3 5 dx ;

x

3 x

Решение: 1). Применим

метод

непосредственного

интегрирования:

( 2x3 5x2

7x 3 )dx 2 x3dx 5 x2dx 7 xdx 3 dx

2x4

5x3

7x2

3x C

4

3

2

2). Воспользуемся формулой сокращенного умножения для преобразования

подынтегральной функции и применим метод непосредственного интегрирова-

37

ния:

															1
						1 2																															1					2
														x 2												1
x										dx x 2																					dx ( x 2x6 x											3 )dx
					3										1											2
							x
														x 3											x 3
1										2					7														1
												x2																							x2
																x6											x 3										12
																																							x 6		x 3 3
xdx 2 x6 dx x										3 dx			2																					C											x C .
												2			7											1									2		7
																	6											3

3). Этот интеграл можно найти с помощью замены переменной. Полагая

2x 1 t , имеем 2dx dt , т.е. dx (1 2 )dt . Отсюда получим

							( 2x 1 )20dx							1	t 20dt			1		1		t 21 C			1	( 2x 1 )21			C .
													2			2				21					42
					4). Введем подстановку: x3 5 t ,															3x2dx dt					x2dx			dt
																											3
							1			3										3
		1				1				1 t 2						2							2
				tdt			t 2 dt						C				( x3 5 )2				C			( x3 5 )(			x3 5 ) C
		3				3				3 3 2						9					9

Примерные задания для самостоятельного решения

Найти интегралы

1. 6 x3 8x 5dx . x2

2.	2x			x		dx .
	3 x

dx

3. x 1 .

4. tgxdx .

5. ( x4 4 x )dx .

6. x3 3 x x dx . x2

7. sin 2x dx . sin x

8. sin x dx . cos3 x

9. lnxxdx ..

Контрольные вопросы

1.Определение первообразной функцией

2.Определение неопределенного интеграла.

38

3.Свойства неопределенного интеграла.

4.Таблица простейших интегралов.

5.Простейшие методы интегрирования.

Задание на дом.

Теория.

1. Лекция по теме «Понятие определенного интеграла. Формула Ньюто-

на-Лейбница. Приложение определенного интеграла к решению прикладных за-

дач».

2. Павлушков И.В. и другие стр. 157-177.

39

Лабораторная работа 6. Определенный интеграл и его основные свойства.

Приложения определенного интеграла.

Актуальность темы: понятие определенного интеграла широко использу-

ется в математике и других науках для вычисления площадей плоских фигур, ра-

боты переменной силы и т.п.

Цель занятия: освоить методы вычисления определенного интеграла, ре-

шения прикладных задач.

Целевые задачи:

знать: понятие определенного интеграла, свойства определенного интеграл,

формулу Ньютона-Лейбница, определенный интеграл с переменным верхним пределом;

уметь: вычислять определенный интеграл, пользуясь формулой Ньютона-

Лейбница; применять методы интегрирования для вычисления определенного ин-

теграла, решения прикладных задач.

Краткие сведения из теоретического курса.

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a, b], a<b. Выполним сле-

дующие действия: разобьем отрезок [a, b] точками а=х0,х1…,хn=b (х0<х1<…<хn)

на n частичных отрезков [x0, x1], [x1, x2],… [xn-1, xn]; в каждом частичном отрезке

[xi-1, xi] возьмем произвольную точку сi и вычислим f(ci); умножим f(ci) на длину соответствующего частичного отрезка xi=xi–xi-1: f(ci) xi и составим сумму всех

n

таких произведений. Сумма всех таких произведений f ci xi Sn называется i 1

интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a, b]. Найдем предел инте-

гральной суммы, когда n ∞ или max xi 0.

Если при этом интегральная сумма имеет предел I, который не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора в них, то

b	f x dx .
число I называют определенным интегралом и обозначается
a

			40
	b			n
	Таким образом, f x dx	lim		f ci xi .
	a	n		i 1
		max x 0
	Числа а и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами ин-

тегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – подынтегральной функцией,

отрезок [a, b] – областью (отрезком) интегрирования.

Функция у= f(x), для которой на отрезке [a, b] существует определенный

b

интеграл f x dx , называется интегрируемой на этом отрезке. a

Свойства определенного интеграла

1.Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегриро-

	b	b	b
вания:		f x dx	f t dt f z dz...
	a	a	a
			a
2.	Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: f x dx 0 .
			a
	b	a
3.	f x dx f		x dx .
	a	b
4.	Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то
b		b
cf x dx c f x dx , т. е. постоянный множитель с можно вынести за знак опре-
a		a

деленного интеграла.

5. Если функции f1(x) и f2(x) интегрируемы на [a, b], тогда

b		b	b
( f1	x f2	x )dx	f1 x f2	x dx , т. е. интеграл от суммы равен сумме инте-
a		a	a

гралов.

6.Свойство аддитивности. Если f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и a<c<b,

b	c	b
то	f x dx f	x dx f	x dx , т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме ин-
a	a	c