matem_praktikum13

71

Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприменима. Иногда функцию плотности распределения называют дифференциальной функцией распределения. Линию y=f(x) называют кривой распределения.

Свойства плотности распределения

Свойство 1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина в результате испытания примет какое-нибудь значение из интервала (a, b), равна определенному интегралу от плотности вероятности в пределах от a до b:

b

P a X b f x dx .

a

Свойство 2. Если значения случайной величины принадлежат всей

числовой оси, то имеет место утверждение f x dx 1.

Свойство 3. Плотность вероятности функция неотрицательная f(x) 0.

Характеристики непрерывных случайных величин

Пусть непрерывная случайная величина Х

задана плотностью

распределения f(x) на отрезке [a, b].

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х,

возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называется определенный интеграл:

b

M X xf x dx .

a

Введем понятие дисперсии для непрерывной случайной величины, заданной

Дисперсией непрерывной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонений, если возможные значения принадлежат отрезку [a, b]:

b

D X [ x M X ] 2 f x dx .

a

72

Замечание. Для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины

b

удобно пользоваться формулой: D X x2 f x dx M X 2 . a

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется также как и для дискретной случайной величины:

X D X .

Нормальное распределение Нормальным называется распределение вероятностей случайной

величины, которое описывается плотностью

							x 2
f x		1					2 2
					e			.
			2
Нормальное распределение определяется двумя параметрами и									,	–

математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение.

График плотности нормального распределения называют нормальной кри-

вой (кривой Гаусса). Функция f(x) определена на всей оси х, при всех значениях х нормальная кривая расположена над осью Ох. Ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика (рис. 11.2); при x функция имеет максимум, равный

1

2 .

Влияние параметров нормального распределения на

форму нормальной кривой

Изменение величины параметра (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо,

если возрастает, и влево, если убывает.

Если изменяется параметр (среднее квадратическое отклонение). Так как

максимум дифференциальной функции нормального распределения равен		1			.
			2

73

Рис. 11.2. Кривая Гаусса при 2,

1

Рис. 11.3

Отсюда следует, что с возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т. е. сжимается к оси

Ох; при убывании нормальная кривая становится более островершинной и рас-

тягивается в положительном направлении оси Оу (рис.11.3). Подчеркнем, что при любых значениях параметров и площадь, ограниченная нормальной кривой и осью х, остается равной единице.

Вероятность попадания в заданный интервал

нормальной случайной величины

Если случайная величина Х задана функцией плотности распределения вероятностей, то вероятность того, что в результате испытания Х примет какое-

нибудь значение из интервала (a, b), равна определенному интегралу от плотности

74

вероятности в пределах от a до b, то P X f x dx .

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то можно

	a			a
доказать, что P X					.

Решение задач

П р и м е р 1 . Дискретная случайная величина Х задана таблицей распреде-

ления

Х	1	4	8
Р	0,3	0,1	0,6

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение. Если х .1 то F(x)=0 (третье свойство).

Если 1 < х 4, то F(х) = 0,3. Действительно, Х может принять значение 1 с

вероятностью 0,3.

Если 4 < х 8, то F(х) = 0,4. Действительно, если х1 удовлетворяет неравен-

ству 4 < х1 .8, то F(х1) равно вероятности события Х < х1, которое может быть осуществлено, когда Х примет значение 1 (вероятность этого события равна 0,3)

или значение 4 (вероятность этого события равна 0,1). Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события Х < х1 равна сумме вероятностей 0,3+0,1 =0,4.

Если х > 8, то F(x)=1. Действительно, событие Х<8 достоверно, следова-

тельно, его вероятность равна единице.

Итак,		функция распределения аналитически может быть записана так:
	0	при	x 1,
		при	1 x 4,
0,3
F x			4 x 8,
0,4		при
	1	при	х 8.

Сделаем рисунок:

75

Рис. 11.4

Пример 2. Случайная величина Х задана функцией распределения:

	0		при	x 1,
	х 1
F x			при	1 х 2,
	3
				х 2.
	1		при

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, за-

ключенное в интервале (0, 1).

Решение: так как на интервале (0, 1) функция распределения	F( x )	x 1	,
	3

то на основании следствия 1 из свойства 2 имеем: Р(а Х<b)=F(b)– F(a).

P( 0 X 1 ) F 1 F 0 23 31 31 .

Пример 3. Задана плотность вероятности случайной величины Х

	0	при	x 0,
		при	0 х 1,
f x 2x
	0	при	х 1.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение,

принадлежащие интервалу (0,5; 1).
Решение: на	основании	свойства функции плотности вероятности
b
P a X b f x dx F b F a		имеем:
a
P 0,5 X 1	1
	2хdx 0,75 .
	0,5

76

Пример 4. Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной слу-

чайной величины, если f x 2x на отрезке [0, 1].

b

Решение. Найдем математическое ожидание по формуле: M x xf x dx ;

																															a
		1		2
M x 2x2dx					.		Найдем															дисперсию								по	формуле:
		0	3
b	2		2			1	3				2						2		x			1			2		2		1
D x x f x dx M x						2x dx
a						0				3									4			0			3				18
Пример 5.			Нормально распределенная случайная величина Х задана диф-
						f x			1									x 1 2
ференциальной функцией													e					50						. Найти математическое ожидание
								5
										2

и дисперсию Х.

Ответ. М(Х)=1; D(Х)=25.

Пример 6. Случайная величина Х распределена по нормальному закону.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение,

принадлежащее интервалу (10, 50)

Решение. Если случайная величина распределена по нормальному закону,

		b			a
	то	P a X b					, где Ф(х) – функция Лапласа (приложение

		50 30			10 30
3). P 10 X 50							2 2 2 0,4772	0.9544
		10			10

Примерные задания для самостоятельного решения

1. Случайная величина Х задана функцией распределения. Найти вероят-

ность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интер-

вале (2, 3).

77

			0	при	x 2,
		х
	F x		1	при	2 х 4,
		2
			1	при	х 4.

2. Задана плотность вероятности случайной величины Х

		0	при	x 0,
f x	3x2		при	0 х 1,
		0	при	х 1.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение,

принадлежащие интервалу ( 21 ; 1).

3. Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной

величины на отрезке [0, 1], если f x x2 .

3

4. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нор-

мально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Най-

ти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение в интервале

(12, 14).

5. Автомат штампует детали. Контролируемая длина детали – случайная ве-

личина Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием (про-

ектная длина), равным 50 мм и средним квадратическим отклонением ζ=3 мм.

Фактическая длина изготовленных деталей не мерее 32 мм и не более 68 мм. Най-

ти вероятность того, что длина взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм. 6. Написать дифференциальную функцию нормально распределенной слу-

чайной величины Х, зная, что М(Х)=3, D(Х)=16.

7. В компьютерном классе средствами Excel построить функцию плотности распределения, полученную в задаче 6.

8. Случайная величина Х задана функцией распределения:

78

0,			при x 0,
					x 1,
F( x ) 3 x ,			при	0
1,			при	x	1.

1) Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение,

заключенное в интервале (0, 1).

2)Найти функцию плотности распределения вероятностей.

9.Известно, что для человека pН крови является случайной величиной,

имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием 7,4 и средним квадратическим отклонением 0,2. Найти вероятность того, что уровень рН нахо-

дится между 7,35 и 7,45 соответственно.

Контрольные вопросы

1.Непрерывная случайная величина.

2.Функция распределения случайной величины

3.Свойства функции распределения

4.Плотность распределения вероятностей.

5.Характеристики непрерывных случайных величин.

6.Нормальное распределение.

7.Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величи-

ны.

Теория

1.Лекция по теме «Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Точечные оценки параметров распределения».

2.Павлушков И.В. и другие стр. 269-283.

79

Лабораторная работа 12.Статистическое распределение выборки. Точеч-

ные оценки параметров распределения.

Актуальность темы: математическая статистика – это раздел математики,

изучающий приближенные методы отыскания законов и числовых характеристик по результатам эксперимента.

Цель занятия: закрепить основные понятия математической статистики;

научиться строить полигоны и гистограммы; закрепить методику отыскания оце-

нок характеристик генеральной совокупности по данным выборки.

Целевые задачи:

знать: понятия генеральной и выборочной совокупности; способы графиче-

ского представления вариационных рядов; понятие точечных и интервальных оценок распределения; формулы оценок характеристик распределения.

уметь: строить полигоны и гистограммы статистических распределений;

вычислять точечные оценки характеристики распределения; находить интерваль-

ные оценки.

Краткие сведения из теоретического курса

Генеральная и выборочная совокупности

Статистическая совокупность представляет собой множество объектов, од-

нородных относительно некоторого качественного или количественного призна-

ка, характеризующего эти объекты.

Совокупность, состоящая из всех объектов, которые могут быть к ней отне-

сены, называется генеральной. Число объектов генеральной совокупности назы-

вают ее объемом и обозначают N. Генеральная совокупность может содержать конечное и бесконечное число элементов.

Вследствие того, что в большинстве случаев невозможно сплошное иссле-

дование всех объектов совокупности, из генеральной совокупности выбирают для изучения часть объектов. Множество объектов, случайно отобранных из ге-

неральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Число выборки называется ее объемом и обозначается n. Чтобы свойства выборки

80

хорошо отражали свойства генеральной совокупности, выборка должна быть ре-

презентативной (представительной).

В зависимости от техники отбора объектов из генеральной совокупности выборки делятся на повторные и бесповторные. Если выборку отбирают по одному объекту, который исследуют и возвращают обратно, то выборка называется повторной. Если объекты выборки не возвращаются в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной. На практике обычно пользуются бесповторной выборкой.

Статистический дискретный ряд распределения

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n. Количе-

ственное значение изучаемого признака х1 появилось m1 раз, х2 – m2 раз,… хk –

k

mk раз. Причем mi n . Наблюдаемые значения хi называются вариантами, а i 1

последовательность вариант, записанную в возрастающем порядке, – вариацион-

ным рядом. Числа m1, m2, .. mk называют частотами (или весами), а их отношения к объему n выборки – относительными частотами:

k

m

k

k

i

n

i 1

p*1

m1

; p*2

m2

;...;p*i

mi

;...;p*k

mk

, причем p*i

mi

1.

n

n

n

n

i 1

i 1 n

n

n

Таблицу,

содержащую

значения

вариант признака и их частоты или

относительные частоты, называется

статистическим дискретным рядом

распределения или статистическим распределением выборки.

Х

х1

х2

….

хk

m

m1

m2

…

mk

p*=m/n

p1*

p2*

pk*

Статистический интервальный ряд распределения

В случае большого количества вариант и непрерывного распределения